第二十二章 单元测试A卷-九年级上册（人教版）

第二十二章  二次函数单元测试A卷 时间：120 分钟 满分：120 分 一、单选题（每题 3 分，共计 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1．抛物线顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．把函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　） A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣2）2 C．y＝﹣3x2+2 D．y＝﹣3（x+2）2 3．二次函数的图象与x轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关 4．若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．-0.5 D．0.5 5．抛物线和直线在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．对于二次函数的性质，下列叙述正确的是（    ） A．当时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线有两个交点 C．当时，y有最小值3 D．与抛物线形状相同 7．已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ） A．11 B．12 C． D．13 8．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ） A． B．若点，均在二次函数图象上，则 C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D．满足的x的取值范围为 二、填空题（每题 3 分，共计 24 分） 9．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ． 10．把二次函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度，与y轴的交点为C，则C点坐标是 ． 11．抛物线与轴交于点，如果点和点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值是 . 12．已知点，是抛物线上的两点，且满足，则m的取值范围是 ． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝ ． 14．我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点 （1）如图，直线上的格点坐标为 ； （2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是 ． 15．二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为 16．在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则表中m的值为 ． x -2 -1 0 1 2 3 4 y 7 2 -1 -2 m 2 7 17．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线经过不同的三点，其中点在第二象限且为抛物线的顶点，点在轴的负半轴上，点位于点之间的抛物线图象上，若的周长为，则四边形的周长为 ． 18．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两根之积是 ． 三、解答题（共 66 分）解答应写成文字说明、演算步骤或证明过程 19．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，连结，将沿折叠，使点落在点处，与轴交于点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求过点的双曲线的解析式． 20．已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点． 21．“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 22．已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    (2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； (3)当时，的取值范围为_________． 23．画出函数的图象，观察图象回答下列问题： (1)求顶点坐标与对称轴方程． (2)当取何值时，随的增大而增大当取何值时，随的增大而减小 (3)当为何值时，函数有最大值或最小值其值是多少 (4)当取何值时，，， 24．已知：二次函数的图象经过点． (1)求b的值； (2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 25．二次函数和一次函数（k是常数）相交于点A． (1)证明：交点A的横坐标必是方程的根． (2)二次函数和一次函数有两个不同的交点B和C，其中B点的坐标为．求点C的坐标． (3)在（2）的条件下求点B、C与顶点所构成三角形的面积． 26．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．    （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 2．B 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】二次函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位， 得：y＝﹣3（x﹣2）2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3．C 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：令得一元二次方程， ∵， ∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当Δ>0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点；掌握这个知识点是解题的关键． 4．D 【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程得到，然后求出a即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 5．A 【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可． 【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求； B．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除； C．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除； D．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除； 故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负． 6．D 【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断A、C；联立和，得到方程，各级一元二次函数根的判别式，即可判断B；根据二次函数平移的性质，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵，函数开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故A错误，不符合题意； B、当时，， 整理得： ∴， ∴方程无实数根，则抛物线与直线没有交点，故B错误，不符合题意； C、∵，，函数开口向下， ∴当时，y有最大值3，故C错误，不符合题意； D、∵可由向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到， ∴与抛物线形状相同，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 7．B 【分析】根据题意可知，抛物线的顶点M（），则抛物线解析式为：，由AB=4，利用抛物线的对称性，得点A的横坐标为，代入解析式，求出纵坐标，然后求出点M到直线l的距离. 【详解】解：∵抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M， ∴点M为抛物线的顶点，其坐标为：（，）， 则抛物线解析式为：， ∵抛物线与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点，且AB=4， ∴点A的横坐标为：，点B的横坐标为：， 把代入抛物线，得： ， ∴直线l为：， ∴点M到直线l的距离为：11﹣（﹣1）=12； 故选择：B. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及抛物线与直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确求出直线l的方程. 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，故A错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵关于直线对称的点为， 又∵， ∴，故B错误， 根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， ∵关于直线对称的点为， ∴x的取值范围为，故D正确； 故选：D 9．-4 【详解】解：由对称轴公式得=2， 求得b=-4． 故答案为：-4． 10． 【分析】本题考查二次函数图像的平移及其与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．先根据抛物线的平移规律得到平移后的二次函数的解析式，即可求得图像与y轴的交点C的坐标． 【详解】解：把二次函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度得到新图像的解析式为： 当时，， 所以C点坐标是． 11．-2 【分析】由点和点关于该抛物线的对称轴对称，可知：抛物线的对称轴是：直线x=1，进而可得b的值. 【详解】∵抛物线与轴交于点， ∴点A的坐标是：（0，2）， ∵点和点关于该抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是：直线x=1，即：， ∴，解得：b=-2. 故答案是：-2. 【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴公式，理解二次函数图象的轴对称性，是解题的关键. 12． 【分析】根据题意可得抛物线开口向上，且对称轴为直线为，再根据抛物线的对称性，可得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线为， ∵点，，且， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 13． 【详解】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答） 详解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2） ∴-=-1则-=-2 ∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 ∴x1+x2=- 又∵x1=1.3 ∴x1+x2=1.3+x2=-2 解得x2=-3.3． 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键． 14． 【分析】（1）令即可求出格点坐标； （2）画出抛物线的大致图像，求出取值范围即可得出答案． 【详解】（1）横、纵坐标都为整数的点称为格点， 由图可知，当时，， 直线上的格点坐标为， 故答案为：； （2）抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点， 如图所示： 当时，，即， 当时，，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数性质以及二次函数性质，掌握格点的定义是解决本题的关键． 15． 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=6，在4<x<5这一段位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在7<x<8这一段位于x轴的上方，而图象在8<x<9这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（8，0），然后把（8，0）代入y=ax2-12ax+36a-5可求出a的值． 【详解】∵抛物线y=ax²−12ax+36a−5的对称轴为直线x=6， 而抛物线在4<x<5这一段位于x轴的下方， ∴抛物线在7<x<8这一段位于x轴的下方， ∵抛物线在8<x<9这一段位于x轴的上方， ∴抛物线过点(8,0)， 把(8,0)代入y=ax²−12ax+36a−5得64a−96a+36a−5=0， 解得：a= . 故答案为. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 16．－1； 【详解】解：根据图表可以得到，点(−2，7)与(4，7)是对称点，点(−1，2)与(3，2)是对称点， ∴函数的对称轴是：x=1， ∴横坐标是2的点与(0，−1)是对称点， ∴m=−1 故答案为；-1 17．12 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用了抛物线的对称性得到，即可求解，解题关键是把求四边形的周长转化为三角形的周长值． 【详解】解：由题意知，对称轴为直线，抛物线经过原点，与轴负半轴交于点， ∴， ∵由抛物线的对称性知， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 18． 【分析】根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解，进一步可求出两根之积． 【详解】解：由题意可知： 二次函数的对称轴是x=1， 关于x=1的对称点是． 则一元二次方程的两个实数根是x1=−2，x2=4． ∴两根之积是-8． 故答案为：-8 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握抛物线的性质，利用对称轴求出另一点坐标． 19．(1)证明过程见详解 (2)的长为 (3)过点的双曲线的解析式为： 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握折叠的性质，等边对等角，勾股定理，锐角三角函数的计算，待定系数法求反比例含解析式等知识的综合是解题的关键． （1）首先根据轴对称的性质可知，得出，再由，根据平行线的性质得出，那么，最后根据等角对等边得出； （2）根据轴对称的性质可知，得出，．如果设，用含的代数式表示．在直角中，运用勾股定理列出关于的方程，求出的值即可； （3）欲求过点的双曲线的解析式，只需求出点的坐标．为此，过点作轴，垂足为点．在直角中，先求出，的值，再由，得出，最后在直角中，运用三角函数的定义得出的值，从而得出点的坐标． 【详解】（1）证明：∵将沿折叠， ∴， ∴， ∵轴于点， ∴轴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：已知点的坐标为，轴于点， ∴， ∴根据折叠可得，， 设，则，， 在直角中，，即， 解得，， ∴， ∴的长为； （3）解：由（2）可知，，， ∴，， 如图所示，过点作轴，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴过点的双曲线的解析式为：． 20．见解析 【分析】根据函数表达式，求出对应方程的，再对的值进行判断即可． 【详解】解：证明：令， 则， 该二次函数图象与轴有两个交点． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键． 21．每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解． 【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，分析题目中的数量关系，列出函数表达式，掌握二次函数的知识是解题的关键． 22．(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【详解】（1）解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画出函数图象，如图：    （2）由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； （3）由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 23．(1)顶点坐标，对称轴方程为 (2)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)当时，函数有最大值，最大值是 (4)当或时，；当或时，；当时， 【分析】先画出对应的函数图象，再根据函数图象逐一求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，顶点坐标，对称轴方程为； （2）解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值是； （4）解：由函数图象可知，当或时，；当或时，；当时， 【点睛】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，正确画出对应的函数图象，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 24．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法． （1）直接把点代入到二次函数解析式中进行求解即可； （2）根据（1）所求把二次函数化成顶点式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 25．(1)见解析 (2)（6，29） (3)60 【分析】（1）联立一次函数与二次函数解析式即可得到答案； （2）先求出一次函数的解析式，然后联立一次函数和二次函数即可求解； （3）先求出抛物线的顶点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，从而求出点E的坐标，得到BE的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：联立得， ∵二次函数和一次函数（k是常数）相交于点A， ∴点A既在二次函数图象上，也在一次函数图象上， ∴交点A的横坐标必是方程的根； （2）解：∵二次函数与一次函数的一个交点为（-2，13）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴， ∴点C的坐标为（6，29）； （3）解：设抛物线的顶点为D， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4） 设直线CD的解析式为，直线CD与直线交于点E ∴， ∴， ∴直线CD的解析式为， ∴点E的坐标为， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形面积，熟知待定系数法求函数解析式和求一次函数与二次函数的交点坐标是解题的关键． 26．（1）y=；0≤x≤12 ；（2）不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；（3）15． 【详解】试题分析：（1）根据点P（6，6）为抛物线的顶点坐标可设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，在根据图象经过原点即可求得结果； （2）把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.； （3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），即可得到OB=m，AB=DC=－m2+2m，再根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，从而可以得到BC=12－2m，即AD=12－2m，即可得到L关于x的函数关系式，最后根据二次函数的性质即可求得结果． （1）∵M（12，0），P（6，6）． ∴设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6， ∵把（0，0）代入解得a=－， ∴这条抛物线的函数解析式为y=－(x－6)2+6， 即y=－x2+2x（0≤x≤12）； （2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时，y=4.5＜5   ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆； （3）设点A的坐标为（m，－m2+2m）， ∴OB=m，AB=DC=－m2+2m 根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m， ∴BC=12－2m，即AD=12－2m ∴L=AB+AD+DC=－m2+2m+12=－(m－3)2+15 ∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$