第二十一章 一元二次方程单元测试B卷-九年级上册（人教版）

第二十一章一元二次方程单元测试C卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值为（ ） A．2或-1 B．0或1 C．2 D．-1 5．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 6．二次三项式x2﹣3x+2的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．0，，2 B．0，，-2 C．1，，2 D．1，3，2 7．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为(      ) A．5 B．3或5 C．13 D．11或13 8．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了关于一元二次方程的几何解法．以方程即为例：构造图1中四个小矩形的面积各为14，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，可得，那么对于一元二次方程可以构造图2来解，已知图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a，b分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是 A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ）． ①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2． ②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒ ③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ． ④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12． A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④ 二、填空题 11．若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 ． 12．若方程是关于 的一元二次方程，则的取值范围是 ． 13．老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程 ． 14．解方程时，的值为 ． 15．已知命题“对于非零实数 a，关于 x 的一元二次方程 ax24x 10 必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是 . 16．已知、满足，，则的值等于 ． 17．已知，是方程的两个实根，则 ． 18．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为12），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26． （1）根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图1），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为 ； （2）如图2，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度为 ．    三、解答题 19．完成下列各题 （1）计算：       （2）解方程： 20．已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 21．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)当m取何值时，方程有两个相等的实数根？ 23．一个边长为36cm的正方形纸片． (1)如图1，把它沿对角线剪开成4个小三角形，可以拼成两个小正方形，则每个小正方形的边长是 　 　； (2)若想把它做成一个底面积为288cm2，长、宽比为16：9的无盖长方体盒子（粘贴处忽略不计），能做出来吗？如果能，在图2画出剪裁示意图，并计算出长方体盒子的高最大是多少？如果不能，请说明理由． 24．为执行“两免一补”政策，某地区2015年投入教育经费2500万元，2017年投入3600万元． (1)求这两年投入教育经费的年平均增长百分率是多少？ (2)预计2018年投入的教育经费是多少？ 25．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    26．在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意 当时， (1)已知函数，的最大值为多少？ (2)已知函数，的最小值为多少？ (3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【详解】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．故A.是二元一次方程； B.是一元一次方程； C.是一元一次方程； D.x2=0符合要求． 故选D. 2．A 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即． 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．A 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 他漏掉的解是． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 4．C 【详解】解：因为任何一个不为零的数的零次方为1， 所以可得方程 解方程得x的值为2或-1， 但当x=-1时，x+1=0，无意义， ∴x=2． 故选：C 5．D 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键． 6．C 【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b是一次项系数，c叫做常数项进行分析即可． 【详解】解：x2-3x+2=0的二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是2， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握判断二次项系数，一次项系数，常数项时要先化成一般式． 7．C 【分析】先解一元二次方程，然后根据三角形三边关系定理，将不合题意的解舍去． 【详解】解：x2－8x＋15＝0， 得：x1=3，x2=5； 当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意； 当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形； 所以这个三角形的周长为5+6+2=13． 故选C． 【点睛】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论． 8．B 【分析】根据题意把x2+ax+b=0，变形为x（x+a）=-b，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案． 【详解】解：∵x2+ax+b=0， ∴x（x+a）=-b， ∴四个小矩形的面积各为-b，大正方形的面积是（x+x+a）2， 其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×（-b）+a2， ∵图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴-b=3，a2=4， 解得：b=-3，a=±2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的证明，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键． 9．D 【详解】设2016年的国内生产总值为1， ∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%； ∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%）， ∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：， ∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D． 10．A 【分析】①由可得4a-2b+c=0，当x=-2时，4a-2b+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可． 【详解】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0， 一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确； ②：有两实数根， :原方程是一元二次方程． ，故②说法错误； ③设这个多边形的边数为n， 则 解得n=11或0(舍去） :这个多边形是11边形． :这个多边形的内角和为： (11-2)×180°=9×180°=1620°． 故③说法正确； 一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及多边形内角和定理，灵活应用所学知识是正确解答本题的关键． 11．7 【分析】解方程，求出方程的解，根据两位数的十位不为0从而求出答案． 【详解】依题意解方程： ， 又因为是两位数， 所以十位数字是7， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了用因式分解解一元二次方程，关键是正确求解方程，并结合题意两位数的十位确定出取值． 12． 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得：，解得：． 故答案是：． 【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件． 13． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2022年投入资金为1440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 14．17 【分析】先把方程化为一般式，即可求解. 【详解】把方程化为, 故a=2,b=9,c=8, =92-4×2×8=17， 故填：17. 【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知各项系数的求解. 15．a=-5 (答案不唯一，满足a＜-4均可) 【详解】分析：根据可知a≠0且△=b2-4ac≥0，解不等式组即可求出a的取值范围，然后取一个不在这一范围的反例即可． 详解：∵关于 x 的一元二次方程 ax24x 10 必有实数根 ∴△=b2-4ac=16+4a≥0， ∴a≥-4 所以反例为x=-5 (答案不唯一，满足a＜-4均可)，这时代入根的判别式△＜0，方程没有实数根. 点睛：此题主要考查了真假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，二判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，也考查了根的判别式. 16．或． 【分析】分两种情况：当时，由，，构造一元二次方程，则其两根为，利用根与系数的关系可得答案， 当时，代入代数式即可得答案， 【详解】解：时， 、满足，， 、是关于的方程的两根， ，， 则 当时，原式 的值等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，掌握分类讨论，一元二次方程的构造是解题的关键． 17． 【分析】根据x1是方程的根可知3x12=2x1+4，根据根与系数的关系即可得答案． 【详解】解：∵x1、x2是方程3x2-2x-4=0的两个实根， ∴x1+x2=， 3x12-2x1-4=0， ∴3x12=2x1+4， ∴3x12+2x2=2x1+4+2x2=2（x1+x2）+4=2×+4= ， 故答案为 【点睛】本题考查一元二次方程的根的含义及根与系数的关系，x1+x2=-，x1x2=，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 18． 米、米 1 【分析】（1）设与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米，根据矩形车棚的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙的可用长度为12，即可得出结论； （2）设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据停放自行车的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）设矩形车棚与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为米， 根据题意可得， 整理可得， 解得，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴这个矩形车棚相邻两边长分别为米、米； （2）设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意得， 整理得， 解得 ，（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽度为1米． 故答案为：（1）10米、8米；（2）1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（1）2；（2）， 【分析】（1）先化简二次根式，再用二次根式乘法运算，最后合并同类项； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1） （2） 解得：，． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，及一元二次方程的解法，熟知以上运算法则是解题的关键． 20．k的值为0，该方程的另一个根2． 【分析】根据根与系数的关系建立方程组求解即可得出结论． 【详解】解：设关于x的一元二次方程x2﹣（k-1）x﹣6=0的另一根为m， 根据根与系数的关系得，-3+m=k-1，-3m=-6， ∴m=2，k=0， 即：k的值为0，方程的另一个根为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记方程根与系数的关系是解本题的关键． 21． 【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案． 【详解】解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0， 由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1， 解得：a＝2，b＝1，c＝−2， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用． 22．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“”是解题关键． （1）方程有实数根时，由此即可求解． （2）方程有两个相等的实数根即，由此即可求解． 【详解】（1）证明： ， 不论实数m取何值，方程总有实数根． （2）由（1）问可知：， 方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故当时，方程有两个相等的实数根． 23．(1)18cm (2)能，长方体盒子的高最大为（18﹣8）cm 【分析】（1）根据大、小正方形面积之间的关系进行计算即可； （2）设未知数求出无盖长方体的底面的长与宽，再求出其高即可． 【详解】（1）解：边长为36cm的正方形纸片的面积为36×36＝1296（cm2）， 所以每个小正方形的面积为 因此小正方形的边长为（cm）， 故答案为：18cm； （2）能做出来，理由如下： 解：设底面长为16x，宽为9x， 16x•9x＝288， 解得，或（舍去）， 即长为cm，宽为cm， ∴无盖长方体的高最大为cm， 即能做出来，长方体盒子的高最大为（18﹣8）cm． 【点睛】本题考查几何体的展开图，求出底面的长与宽是解决问题的关键． 24．(1)20%；(2)2018年投入的教育经费是4320万元． 【分析】（1）设这两年投入教育经费的年平均增长百分率是x，根据2015年及2017年投入的资金数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2018年投入的教育经费=2017年投入的教育经费×（1+增长率），即可求出结论． 【详解】解：(1)设这两年投入教育经费的年平均增长百分率是x， 依题意，得：2500(1+x)2＝3600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2(舍去)． 答：这两年投入教育经费的年平均增长百分率是20%． (2)3600×(1+20%)＝4320(万元)． 答：2018年投入的教育经费是4320万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．(1)5 (2)10年；2.5万元 (3) 【分析】（1）直接利用可得结论； （2）先求解年平均保养费用，利用可得结论； （3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，的最小值为5； （2）解：由题意得：， 年平均费用． 当时， ， 即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元； （3）解：设直线为：， 把代入解析式得：， ， 直线为：， 令，， ， 令， ， ， ， 由题意知：， ， 由题意得：， ． 当时，即时，最小， 直线为：． 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键． 26．(1) (2) (3)当时，取最小值，最小值是 【分析】（1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令求解即可； （2）将变换为一元二次方程，令求解即可； （3）设，则，勾股定理求得，再利用一元二次方程的计算求值即可． 【详解】（1）解：∵， 即， ， 解得， 即的最大值是； （2）解：∵， ， 即， ， 解得：，即的最小值是， 时，， 解得：（经检验符合题意）， ∴的最小值是； （3）解：设，则， ， ， ∴， 设，即， ， ， 解得， ∴， 将代入方程得：， 解得（经检验符合题意）， ∴当时，取最小值，最小值是． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程根的判别式、勾股定理，读懂题意、利用求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$