第二十一章 一元二次方程单元测试A卷-九年级上册（人教版）

第二十一章一元二次方程单元测试A卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．2，5 B．2， C．，5 D．， 3．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1 4．若是关于x的一元二次方程的一个解，则常数k的值为（　　） A．1或 B． C．1 D． 5．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值是(    ) A．且 B．< C．且 D． 6．若方程的两个实数根为、，则的值为（    ） A．7 B．3 C．－5 D．9 7．若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为（    ） A．，9 B．，5 C．9，5 D．，或9，5 8．已知、是方程的两根，且，则的值等于 A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（    ）    A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 10．把方程2x2-4x-1=0 化为(x+m)2=n 的形式，则m、n的值是（ ） A．m=2，n= B．m=-1，n= C．m=1,n=4 D．m=n=2 11．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题 12．方程的一次项系数是 ． 13．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 ． 14．某种商品进价为500元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可以打 折． 15．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长xm，则可列方程 ． 16．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值 . 17．已知一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，则此多边形的内角和为 ． 18．若x，y都是实数，且满足 ，则的值为 ． 三、解答题 19．解方程：． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 21．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 22．某网店以每件40元的价格购进一批商品，若以单价50元销售，每月可售出200件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．为了尽可能的减少快递支出，网店决定采取适当的涨价措施．设每件商品涨价x元．据此规律，请回答： (1)该网店月销售量减少_______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）； (2)在上述条件下，每件商品售价多少元时，网店月盈利可达到2000元？ 23．小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． (1)你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； (2)写出你的解答过程． 24．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 25．如图，有长为的篱笆，围成矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体．（墙体的最大可用长度为），如果围成的花圃的面积为，试求的长．    26．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 2．B 【分析】将化为一般形式进行判断即可． 【详解】解：∵化为一元二次方程的一般形式， ∴一次项系数、常数项分别是2，， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：，a，b，c是常数，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，解题的关键是正确进行变形． 3．A 【分析】代入公式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式，本题难度较低，主要考查学生对一元二次方程根的判别式知识点的掌握． 4．D 【分析】将代入原方程，求出k的值，再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意得值，即可进行解答． 【详解】解：把代入原方程得：， 解得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握“使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程方程的解”以及一元二次方程的二次项系数不为0． 5．B 【分析】根据方程没有实数根可得，结合二次项系数不等于0，即可得出答案. 【详解】由题意得，且， 解得 故选B. 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握时一元二次方程无实数根是解题的关键. 6．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵方程的两个实数根为、， ∴，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个根，则，；是解本题的关键． 7．D 【分析】设较小的数为x，那么较大的数应该为，根据“积为45”可得出：，解方程即可求得这两个数． 【详解】解：设较小的数为x，根据题意得， 解得，． 那么这两个数就应该是5，9或，． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 8．C 【详解】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根 ∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1 ∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3 ∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8 ∴（7+a）×（﹣4）=8 ∴a=﹣9． 故选C． 9．B 【分析】先求解，设运动时间为，可得，，再利用面积建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设运动时间为， ∴，， ∵的面积为，即 ，解得：，． 当时，，不成立，舍去， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是解本题的关键． 10．B 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，∴m=﹣1，n=．故选B． 11．B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的面积公式构造方程是解决问题的关键．设正方形B的边长为a，其中，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为，依题意得图②中大正方形的边长为，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可． 【详解】解：设正方形B的边长为a，其中， ∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1， ∴阴影部分为正方形，且边长为1， ∴图①中大正方形的边长为， 即正方形A的边长为， 又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示： ∴图②中大正方形的边长为：， ∵图②中阴影部分的面积为7， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴图②中大正方形的边长为： ∴图②中大正方形的面积为15． 故选：B． 12．8 【分析】找出方程的一次项系数即可． 【详解】解：方程的一次项系数是8 故答案为：8 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 13．0 【分析】根据题意由为方程的解，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意将代入方程得：， 整理得：，即， 解得：或2， 当时，方程为，不合题意，舍去； 则， 故答案为：0． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 14．5##五 【分析】根据题意,可以设打x折时,利润率为20%,根据利润=进价×20%这个等量关系列方程解答. 【详解】解：设至多打x折 则， 解得， 即，最多可打5折 15．（x﹣1）（x﹣2）=18． 【详解】试题分析：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18， 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 16．3或﹣5. 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可知，即可求出常数的值 【详解】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ，即 ， 故答案为3或 【点睛】本题考查了一元二次方程(a≠0)根的判别式，当方程有两个不相等的实数根；当，方程没有实数根，当，方程有两个相等的实数根. 17．##540度 【分析】根据n边形的对角线条数，以及多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得或（应舍去）． ∴这个多边形的内角和为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与对角线，解一元二次方程，解题的关键是能够根据n边形的对角线条数公式列方程，熟练运用因式分解法解方程． 18．4 【分析】设m=x2+y2，则原方程转化为关于m的方程，由因式分解法解该方程即可． 【详解】设m=x2+y2，则原方程转化为 ， 整理得： 解得：或（舍）， 所以x2+y2=4， 故填：4． 【点睛】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 19．， 【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 21．(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， （2）由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 22．(1)10x，10+x； (2)每件商品售价为60元时，网店月盈利可达到2000元． 【分析】（1）根据题中已知条件“每件40元的价格购进一批商品，若以单价50元销售，每月可售出200件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件”即可表示； （2）利用销量×每件的利润＝总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意每件商品涨价x元，销量减少10x件， 每件盈利：50-40+x=（10+x）元， 故答案为：10x，10+x； （2）解：设每件商品涨价x元，网店月盈利可达到2000元， 则， 解得：（舍去） 售价为50+10=60（元）， 即每件商品售价为60元时，网店月盈利可达到2000元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列方程是解题的关键． 23．(1)×，× (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，小颖×，小明×， 故答案为：×，×； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，，． 24．(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当在取得最大值，在取得最小值时， 有 ，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 25．的长为12米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键．设的长为，则，根据围成的花圃的面积为建立方程求解，排除不符合实际的解，即可得出结果． 【详解】解：设的长为，则， 由已知，， 则 依据题意列方程得：， 解得：（舍）， 答：的长为12米． 26．(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$