第九章第三节成对数据的统计分析讲义-2025届高三数学一轮专题复习

新高考数学一轮复习 第九章 统计 　第三节　成对数据的统计分析 一、课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义. 2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题. 3.会利用统计软件进行数据分析． 二、 命题规律及备考策略 一般以解答题的形式重点考查用变量的散点图及样本相关系数判断两个变量间的相关性及应用、经验回归方程的求法及应用． 三、知识梳理 知识点一　变量的相关关系 1.变量的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是　相关关系　；与函数关系不同，　相关关系　是一种非确定性关系. 2.散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据（简称为成对数据），如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点（xi，yi），i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图. 3.正相关、负相关的概念 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关. 正相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关.如图（1）. 负相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.如图（2）. 知识点二　样本相关系数 1.r＝ ＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为样本相关系数. 2.样本相关系数的性质 （1）｜r｜≤1，且y与x正相关的充要条件是r＞0，y与x负相关的充要条件是r＜0. （2）｜r｜越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；｜r｜越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值. （3）｜r｜＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归线上. 知识点三　一元线性回归模型 1.一元线性回归模型 x与Y的关系可以表示为 我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型. 　Y　称为因变量或响应变量，　x　称为自变量或解释变量，a和b为模型的未知参数，a称为　截距参数　，b称为　斜率参数　，e是Y与bx＋a之间的　随机误差　. 2.一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （1）经验回归方程 我们将＝x＋， 其中 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为　经验回归直线　. 这种求经验回归方程的方法叫做　最小二乘法　，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. （2）残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为　残差　，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. （3）利用R2刻画回归效果 R2的计算公式为R2＝1－，其意义是R2越大，残差平方和（yi－）2越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 四、课堂考点突破 考点一　成对数据的相关性 [例1]　两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（　　） A.①②③　　B.②③① C.②①③　　D.①③② [例2]　某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y（单位：万件）之间的关系如表： x 1 2 3 4 y 12 28 42 56 （1）在图中画出表中数据的散点图； （2）根据（1）中的散点图判断y与x的回归模型的类型，并用相关系数加以说明. 附： ≈32.7，≈2.24，xiyi＝418.相关系数r＝，回归方程＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－. 变式训练 1.（多选）有一散点图如图所示，在5组（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　） A.经验回归方程不变 B.样本相关系数r变大 C.各组数据对应的点到经验回归直线的距离的平方和变小 D.变量x与变量y的相关程度变强 2.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A.－1　　B.0 C.　　　D.1 [例3]　设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相同）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘估计得到的经验回归直线（如图），以下结论正确的是（　　） A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间 C.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l过点（，） 变式训练 3.（多选）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是（　　） A.y与x具有正的线性相关关系 B.经验回归直线过样本点的中心（，） C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 考点三　非线性回归模型 [例4]　近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县主要产业之一.已知蕲艾的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度x（单位：℃）有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图： 现根据散点图利用y＝a＋b或y＝c＋建立y关于x的经验回归方程，令s＝，t＝得到如下数据： 10.15 109.94 3.04 0.16 siyi－ 13· tiyi－ 13· － 13 － 13 － 13 13.94 －2.1 11.67 0.21 21.22 且（si，yi）与（ti，yi）（i＝1，2，3，…，13）的相关系数分别为r1，r2，且r2＝－0.995 3. （1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适. （2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程. （3）已知蕲艾的利润z与x，y的关系为z＝20y－x，当x为何值时，z的预报值最大？ 附：参考数据和公式：0.21×21.22＝4.456 2，11.67×21.22＝247.637 4，≈15.736 5，对于一组数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线方程＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－， 相关系数r＝ . 变式训练 4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值. （xi－）2 （wi－）2 （xi－） ·（yi－） （wi－）· （yi－） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝wi. （1）根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程. （3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x. 根据（2）的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ＝，＝－. 五、课后作业 一、单项选择题 1．为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a－b－c等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－ B. C．－1 D．1 3．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为(　　) A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 4．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是(　　) A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 5．某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示： 价格x(元) 90 95 100 105 110 销售量y(件) 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是＝－0.32x＋，样本相关系数r＝－0.992 3，则下列说法不正确的是(　　) A．变量x与y负相关且相关性很强 B．＝40 C．当x＝85时，y的估计值为15 D．对应点(105,6)的残差为－0.4 6.某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型Y＝p0e－kX去拟合过滤过程中废气的污染物浓度Y mg/L与时间X h之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝ln Y，其变换后得到回归直线方程为＝－0.5X＋2＋ln 300，则当经过6 h后，预报废气的污染物浓度为（　　） A.300e2 mg/L　　B.300e mg/L C. mg/L　　　D. mg/L 二、多项选择题 7．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，则该学生经常锻炼的概率为 C．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 14.（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量. （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）. （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝，≈1.377. 15.某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星、4星和3星，其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下： 物品类别 5星 4星 3星 基础概率 0.600％ 5.100％ 94.300％ 基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率. 保底机制：现假定玩家α从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随着未抽中5星（或4星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示： 连续未抽中4星的次数i [0，7） [8，＋∞） 下一次抽中4星的概率 5.100％ min{5.100％＋51.000％（i－7），100.000％} 连续未抽中5星的次数i [0，73） [73，＋∞） 下一次抽中5星的概率 0.600％ min{0.600％＋6.000％（i－7），100.000％} 注：①min{a，b}表示a，b中的最小值. ②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除. ③若发现下一次抽奖中，抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1，则下一次抽奖抽中5星的概率等于表中的值（记为p），而抽中4星的概率为（1－p）. 现记玩家α获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N. （1）统计10名玩家α抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示： 玩家序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总次数y 30 78 64 80 85 79 55 83 66 81 四星个数x 4 8 7 9 9 8 6 9 8 9 计算得：xiyi＝5 643，＝617，＝7.7，＝70.1，已知y与x之间存在很强的线性相关关系，求出其线性回归方程，并求出使得｜－N｜最小的x（回归方程中的和取两位小数）. （2）若玩家α恰好在第0.2N次抽到了第1个5星物品，且总共抽到了2个4星物品，记玩家α在第ai次抽中第i个4星奖品，记集合A＝{a1，a2}，求A的所有可能的个数. 参考公式：线性回归方程＝x＋斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第九章 统计 　第三节　成对数据的统计分析 一、课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义. 2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题. 3.会利用统计软件进行数据分析． 二、 命题规律及备考策略 一般以解答题的形式重点考查用变量的散点图及样本相关系数判断两个变量间的相关性及应用、经验回归方程的求法及应用． 三、知识梳理 知识点一　变量的相关关系 1.变量的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是　相关关系　；与函数关系不同，　相关关系　是一种非确定性关系. 2.散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据（简称为成对数据），如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点（xi，yi），i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图. 3.正相关、负相关的概念 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关. 正相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关.如图（1）. 负相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.如图（2）. 知识点二　样本相关系数 1.r＝ ＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为样本相关系数. 2.样本相关系数的性质 （1）｜r｜≤1，且y与x正相关的充要条件是r＞0，y与x负相关的充要条件是r＜0. （2）｜r｜越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；｜r｜越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值. （3）｜r｜＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归线上. 知识点三　一元线性回归模型 1.一元线性回归模型 x与Y的关系可以表示为 我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型. 　Y　称为因变量或响应变量，　x　称为自变量或解释变量，a和b为模型的未知参数，a称为　截距参数　，b称为　斜率参数　，e是Y与bx＋a之间的　随机误差　. 2.一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （1）经验回归方程 我们将＝x＋， 其中 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为　经验回归直线　. 这种求经验回归方程的方法叫做　最小二乘法　，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. （2）残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为　残差　，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. （3）利用R2刻画回归效果 R2的计算公式为R2＝1－，其意义是R2越大，残差平方和（yi－）2越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 四、课堂考点突破 考点一　成对数据的相关性 [例1]　两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（　　） A.①②③　　B.②③① C.②①③　　D.①③② [答案]　D [解析]　第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②. [例2]　某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y（单位：万件）之间的关系如表： x 1 2 3 4 y 12 28 42 56 （1）在图中画出表中数据的散点图； （2）根据（1）中的散点图判断y与x的回归模型的类型，并用相关系数加以说明. 附： ≈32.7，≈2.24，xiyi＝418.相关系数r＝，回归方程＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－. [解]　（1）作出的散点图如图： （2）由（1）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，故可用一元线性回归模型拟合y与x的关系. 又＝，＝，＝30，（xi－）（yi－）＝xiyi－4 ＝418－4××＝73， ＝＝＝≈2.24， ∴r＝≈≈0.996 6. ∵y与x的相关系数近似为0.996 6，说明y与x的线性相关程度相当强， ∴可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系. 变式训练 1.（多选）有一散点图如图所示，在5组（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　） A.经验回归方程不变 B.样本相关系数r变大 C.各组数据对应的点到经验回归直线的距离的平方和变小 D.变量x与变量y的相关程度变强 答案：BCD 解析：根据D点在散点图中的位置可知，D比较偏离经验回归直线，故去掉D（3，10）后，数据比原来集中，相关程度变强，经验回归方程有所改变，A错误，B，C，D都正确. 2.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A.－1　　B.0 C.　　　D.1 答案：D 解析：因为所有点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，故其相关系数为1. 考点二　经验回归方程的概念 [例3]　设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相同）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘估计得到的经验回归直线（如图），以下结论正确的是（　　） A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间 C.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l过点（，） [答案]　D [解析]　根据样本相关系数和回归系数的计算公式可知A错误；由回归直线的趋势可知变量x，y负相关，故x和y的相关系数在－1到0之间，故B错误；C显然错误；经验回归直线一定过点（，），故D正确. 变式训练 3.（多选）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是（　　） A.y与x具有正的线性相关关系 B.经验回归直线过样本点的中心（，） C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：ABC 解析：为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170 cm，则由经验回归方程可预测其体重在58.79 kg左右. 考点三　非线性回归模型 [例4]　近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县主要产业之一.已知蕲艾的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度x（单位：℃）有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图： 现根据散点图利用y＝a＋b或y＝c＋建立y关于x的经验回归方程，令s＝，t＝得到如下数据： 10.15 109.94 3.04 0.16 siyi－ 13· tiyi－ 13· － 13 － 13 － 13 13.94 －2.1 11.67 0.21 21.22 且（si，yi）与（ti，yi）（i＝1，2，3，…，13）的相关系数分别为r1，r2，且r2＝－0.995 3. （1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适. （2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程. （3）已知蕲艾的利润z与x，y的关系为z＝20y－x，当x为何值时，z的预报值最大？ 附：参考数据和公式：0.21×21.22＝4.456 2，11.67×21.22＝247.637 4，≈15.736 5，对于一组数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线方程＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－， 相关系数r＝ . [解]　（1）由题意知r2＝－0.995 3， r1＝＝≈≈0.885 8，因为｜r1｜＜｜r2｜＜1，所以用y＝c＋模型建立y与x的回归方程更合适. （2）因为t＝，所以＝＋t. 因为＝＝＝－10， ＝－＝109.94＋10×0.16＝111.54， 所以关于x的回归方程为＝111.54－. （3）由题意知＝20－x＝20×－x＝2 230.8－≤2 230.8－20＝2 210.8，所以≤2 210.8，当且仅当x＝20时等号成立， 所以当x＝20时这种草药的利润最大. 变式训练 4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值. （xi－）2 （wi－）2 （xi－） ·（yi－） （wi－）· （yi－） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝wi. （1）根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程. （3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x. 根据（2）的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ＝，＝－. 解：（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. （2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于 ＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68. （3）①由（2）知，当x＝49时，年销售量y的预报值 ＝100.6＋68＝576.6， 年利润z的预报值 ＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据（2）的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2×（100.6＋68）－x ＝－x＋13.6＋20.12， 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时， 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 五、课后作业 一、单项选择题 1．为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a－b－c等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21， ∴a－b－c＝52－21－22＝9. 2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－ B. C．－1 D．1 答案　D 解析　由题意可知，所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x－5上， 则这组样本数据完全正相关，且样本相关系数为1. 3．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为(　　) A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 答案　C 解析　按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立．故排除A，B； 依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论，故C正确，D错误． 4．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是(　　) A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 答案　A 解析　由题意知χ2＝≈7.822，因为7.822<10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误； 又因为7.822>6.635，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C和D错误． 5．某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示： 价格x(元) 90 95 100 105 110 销售量y(件) 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是＝－0.32x＋，样本相关系数r＝－0.992 3，则下列说法不正确的是(　　) A．变量x与y负相关且相关性很强 B．＝40 C．当x＝85时，y的估计值为15 D．对应点(105,6)的残差为－0.4 答案　C 解析　由经验回归方程可得变量x与y 负相关，且由样本相关系数|r|＝0.992 3，可知相关性很强，故A正确； 由表中数据可得＝×(90＋95＋100＋105＋110)＝100，＝×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，故经验回归直线过点(100,8)， 故8＝－0.32×100＋，解得＝40，故B正确； 当x＝85时，＝－0.32×85＋40＝12.8，故C错误； 对应点(105,6)的残差为6－(－0.32×105＋40)＝－0.4，故D正确． 6.某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型Y＝p0e－kX去拟合过滤过程中废气的污染物浓度Y mg/L与时间X h之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝ln Y，其变换后得到回归直线方程为＝－0.5X＋2＋ln 300，则当经过6 h后，预报废气的污染物浓度为（　　） A.300e2 mg/L　　B.300e mg/L C. mg/L　　　D. mg/L 答案：D 解析：当X＝6时，＝－1＋ln 300＝ln， 所以Y＝ez＝. 二、多项选择题 7．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，则该学生经常锻炼的概率为 C．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 答案　ABD 解析　由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍， 故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人， 故男生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.6＝60(人)， 故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，故A正确； 女生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.4＝40(人)， 故从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，则该学生经常锻炼的概率为＝，故B正确； 由题意结合男、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表如表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 100 60 160 女 100 40 140 合计 200 100 300 则χ2＝≈2.679<2.706＝x0.1， 故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，故C错误； 由题意可得 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 200 120 320 女 200 80 280 合计 400 200 600 则此时χ2＝≈5.357>3.841＝x0.05， 故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确． 14.（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量. （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）. （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝，≈1.377. 解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为＝＝0.06（m2）， 平均一棵的材积量为＝＝0.39（m3）. （2）样本相关系数r＝ ＝ ＝ ＝＝≈≈0.97. 即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97. （3）设这种树木的根部横截总面积为X m2，总材积量为Y m3， 则＝，则Y＝＝＝1 209， 所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 15.某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星、4星和3星，其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下： 物品类别 5星 4星 3星 基础概率 0.600％ 5.100％ 94.300％ 基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率. 保底机制：现假定玩家α从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随着未抽中5星（或4星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示： 连续未抽中4星的次数i [0，7） [8，＋∞） 下一次抽中4星的概率 5.100％ min{5.100％＋51.000％（i－7），100.000％} 连续未抽中5星的次数i [0，73） [73，＋∞） 下一次抽中5星的概率 0.600％ min{0.600％＋6.000％（i－7），100.000％} 注：①min{a，b}表示a，b中的最小值. ②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除. ③若发现下一次抽奖中，抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1，则下一次抽奖抽中5星的概率等于表中的值（记为p），而抽中4星的概率为（1－p）. 现记玩家α获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N. （1）统计10名玩家α抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示： 玩家序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总次数y 30 78 64 80 85 79 55 83 66 81 四星个数x 4 8 7 9 9 8 6 9 8 9 计算得：xiyi＝5 643，＝617，＝7.7，＝70.1，已知y与x之间存在很强的线性相关关系，求出其线性回归方程，并求出使得｜－N｜最小的x（回归方程中的和取两位小数）. （2）若玩家α恰好在第0.2N次抽到了第1个5星物品，且总共抽到了2个4星物品，记玩家α在第ai次抽中第i个4星奖品，记集合A＝{a1，a2}，求A的所有可能的个数. 参考公式：线性回归方程＝x＋斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解：（1）因为＝＝，代入数据得＝≈10.18，所以＝－＝70.1－7.7×10.18≈－8.29，所以y与x的线性回归方程为＝10.18x－8.29.当连续未抽中5星的次数i∈[0，73），下一次抽中5星的概率为0.600％，所以下一次可能抽不中5星；当连续未抽中5星的次数i∈[73，＋∞），下一次抽中5星的概率为min{0.600％＋6.000％（i－7），100.000％}，由0.600％＋6.000％（i－7）≥100％有：i≥23.57，所以玩家α获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为73. 所以｜－N｜＝｜10.18x－8.29－73｜＝｜10.18x－81.29｜，由10.18x－81.29＝0可得x≈7.99，所以使得｜－N｜最小的x为8. （2）由（1）有：N＝73，所以0.2N＝0.2×73＝14.6，所以玩家α恰好在第15次抽到了第1个5星物品，且在前14次抽到了2个4星物品，所以集合A的所有可能个数为＝91. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$