第六章 平面向量初步知识归纳与题型突破（单元复习 重点17类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第六章 平面向量初步知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识3．应用平面向量基本定理的关键点 （1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． （2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． （3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 知识4．向量共线（平行）的坐标表示 1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为（），然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量． 2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便． 3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线． 4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解． 知识5．平面向量基本定理和性质 （1）共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 知识6．线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 知识7．三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识8．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识9．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识10．平面向量数量积的应用 1．平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 2．平面向量数量积主要有两个应用： （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： （1）向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． 知识11．常见的向量表示形式： （1）重心．若点G是的重心，则或 （其中P为平面内任意一点）．反之，若，则点G是的重心． （2）垂心．若H是的垂心，则．反之，若 ，则点H是的垂心． （3）内心．若点I是的内心，则．反之，若 ，则点I是的内心． （4）外心．若点O是的外心，则或．反之，若，则点是的外心． 知识12．平面向量常用结论 1．设非零向量，是与的夹角． （1）数量积：． （2）模：． （3）夹角： ． （4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|． 知识13．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 知识14．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识15．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识16．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 题型一：向量的表示方法 例题1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 例题2．下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 巩固训练 3．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 4．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 题型二：向量加法运算律的应用 例题1．已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】. 故选：D. 例题2．设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的性质求解即可. 【详解】因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号. 故选：C 巩固训练 3．若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 4．向量 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由，故B正确. 故选：B. 题型三：向量减法法则的应用 例题1．在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 例题2．在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 巩固训练 3．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 4．下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，由向量加法的运算律可知，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D正确， 故选：B. 题型四：用已知向量表示其他向量 例题1．在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法运算法则分别对四个选项进行判断. 【详解】，故A、B错误； ，故C错误； 由平行四边形法则可知，故D正确； 故选：D． 例题2．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 巩固训练 3．点是平行四边形的两条对角线的交点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】由点是平行四边形的两条对角线的交点，且 则. 故选：A. 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，再结合从而可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以， 则，故C正确. 故选：C. 题型五：三点共线的常用结论 例题1．在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一是由三角形的重心性质易知；解法二是用向量的共线运算和中线向量公式，利用向量三点共线的性质：即三点A、B、C共线等价于且，即可求得结果. 【详解】解法一：因为M，N分别是边BC，AC的中点，可由三角形重心的性质知. 解法二：设， 则， 又由B，D，N三点共线，可知，解得， 所以，故， 故选：C. 例题2．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理的推论可得. 【详解】因为，所以， 所以， 因为P，B，N三点共线，所以，解得. 故选：D 巩固训练 3．在中，点为的中点，与交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后由三点共线定理得出结论． 【详解】由题意 ， 因为三点共线，所以，解得． 故选：C． 4．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线定理的推论求解． 【详解】在圆外，则且，又， 所以， 又三点共线， 所以，，而，所以． 故选：D． 题型六：求两向量的数量积 例题1．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍. 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 例题2．P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，可知点为的一个三等分点（靠近点A），即可得面积. 【详解】因为，则， 即点为的一个三等分点（靠近点A），    所以的面积为. 故选：B. 巩固训练 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，可求. 【详解】由，有，即， 则，所以. 故选：B 4．已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：. 题型七：向量的模和夹角的计算问题 例题1．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，得到点为线段的中点，得出为直角三角形，且为等边三角形，进而求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由，可得， 所以，即点为线段的中点， 又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以 因为，可得，所以为等边三角形， 故点作，可得，所以， 因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为. 故选；A. 例题2．已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值. 【详解】, , 即, . 故选：D. 巩固训练 3．已知平面向量，，，当最小时，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】作图分析，根据时取得最小值可解. 【详解】如图，作，则，记，的夹角为，所在直线为l， 易知，当时，最小， 由题可知，此时，所以 因为，所以. 故选：C 4．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解. 【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反， 当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得， 故选：A 题型八：与垂直有关的问题 例题1．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 例题2．若在中，，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】，平方计算得到得到答案. 【详解】，则，故， 故，故三角形为等腰直角三角形. 故选：D. 巩固训练 3．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断； 【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 题型九：用基底表示向量 例题1．如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】，故， 则. 故选：A 例题2．如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理得到. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A 巩固训练 3．如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用表示，结合平面向量基本定理得到方程组，求解后代入即可求得. 【详解】设，， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B. 4．如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加减法和数乘运算用表示出，然后可得的值，可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， ， 又为的中点， 所以. 所以，所以. 故选：A 题型十：平面向量加、减运算及数乘运算的坐标表示 例题1．已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由于， 则， 又， 则，即点的坐标为， 故选：D． 例题2．已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可. 【详解】由，，有， 平行四边形中，有，即， 故选：D. 巩固训练 3．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用单位向量及相反向量的意义求解即得. 【详解】向量，则， 所以与向量方向相反的单位向量是. 故选：C 4．已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 题型十一：利用向量解决平面几何求值问题 例题1．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理得， 故． 所以， 当过点圆上一点作平行于的圆的切线时，此时最大， 由于到的距离为,所以的最大值为 故选：B 例题2．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图所示，    以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以. 故选：C. 巩固训练 3．如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】先根据条件求得到的距离，再把所求转化为，进而求得答案. 【详解】在矩形中，，动点在以为圆心，且与相切的圆上， 所以， 如图所示，连接,设到的距离为，则， 则， 其中，， 当且仅当与同向时，等号成立， 所以， 即的最大值为. 故选：A. 4．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果. 【详解】设，则， 是的中点， ， 当时，取得最小值. 故选：B. 题型十二：利用向量共线的坐标表示求参数 例题1．已知向量，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】对于A，根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解；对于B，由向量平行的坐标公式计算即可得解；对于C，由向量垂直的坐标表示直接计算即可得解；对于D，直接由已知结合投影向量的定义和公式计算即可. 【详解】对于A，由题，故A错； 对于B，因为，所以有，整理得，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 例题2．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角的余弦判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，若，则，又，则，C正确； 对于D，若，则，又，于是， 则向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：AC 巩固训练 3．已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对A，，故A错误； 对B，若，则，解得，故B正确； 对C，若，则，则，故C错误； 对D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：BD. 4．已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD 【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D. 【详解】对A，当时，，所以，故A正确； 对B，若，则，解得，故B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 解得且，即，故D正确， 故选：ACD 题型十三：定比分点坐标公式及应用 例题1．已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 例题2．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 【答案】 【分析】根据题意转化为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为点，点在线段的延长线上，且， 可得， 设，则，即 ， 解得，即点的坐标为. 故答案为：. 巩固训练 3．在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则 ． 【答案】 【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得的坐标，由，列方程组，解方程组可得和的值即可求解. 【详解】建立如下图的平面直角坐标系， 由已知得，，，， 由得， 设，则， 可得，解得，所以，， 又因为， 所以，解得，，则. 故答案为：. 4．已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据即可求出P的坐标. 【详解】由题可知， 设，则， ，， ∴. 故答案为：. 题型十四：平面向量利用坐标求模 例题1．已知与，点在直线上，且，则点坐标为 . 【答案】或 【分析】根据题意，可得或，设P点坐标，利用向量的坐标运算，可得到满足条件的点P坐标． 【详解】由点P在直线AB上，且，可得或， 当时，设，有，解得，， 点坐标为. 当时，设，有，解得，， 点坐标为. 故答案为：或. 例题2．已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】因为点在直线上，所以可利用向量共线定理得到，结合题中条件求出的值，再将该向量等式用坐标的形式表示，根据相应坐标相等列方程，解方程组即可. 【详解】由题设，因为和， 所以，，. 因为点在直线上，所以存在实数使得， 又，所以 当时，由，得 解得，点. 当时，由，得 解得，点. 综上可知，点的坐标为或. 故答案为：或. 巩固训练 3．如图所示，在平行四边形中，，，是边的中点，，若，则 ． 【答案】 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，依次求出各点坐标，求出和，然后根据数量积的坐标表示求解． 【详解】解： 方法一：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设（为锐角），则，，， ∴，由中点坐标公式得， 又，，则， ∴，， ∴ ， ∴，则， 方法二：∵，，是边的中点，， ∴由平面向量加法的三角形法则得 ， ∴， ∵为锐角，∴ 故答案为：． 4．若两点、，点在直线上，且，则点的坐标为 . 【答案】或 【分析】根据题意，可得或，代入向量的坐标公式，直接求得点的坐标. 【详解】设 根据，可得或， 当时， ， 即 ，解得 ， ； 当 ， 即，解得 ，. 故答案为：或. 题型十五：平面向量坐标解决夹角、垂直问题 例题1．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意令，再排除与同向时的情况即可得解. 【详解】由，得. 当与同向时，，则. 故的取值范围为且. 故答案为： 例题2．设平面向量，，若的的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据与的夹角为锐角或，所以只需求出且不共线时的取值范围即可. 【详解】与的夹角为锐角，所以， 而时，方向相同，夹角为， 所以的取值范围是. 故答案为： 巩固训练 3．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得且不成立，由此可求出答案． 【详解】解：∵与的夹角为钝角， ∴，解得且， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，属于易错的基础题． 4．是单位向量,且,若,,则向量,的夹角为 . 【答案】 【分析】因为是单位向量,且,因此可以设是横轴、纵轴正方向上的单位向量. 设出,的坐标,根据,,得到两个方程组,解这两个方程组,求出,的坐标,运用夹角公式求出向量,的夹角. 【详解】因为是单位向量,且,因此可以设是横轴、纵轴正方向上的单位向量. 设,因为,所以, 又因为,所以,因此有且. ,,所以 设向量,的夹角为,,于是有, 因为,所以. 故答案为： 题型十六：利用向量相等或共线进行证明 例题1．如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    【答案】证明见解析 【分析】根据给定的条件，利用向量加法计算得，即可推理得出结论. 【详解】依题意，， ， 因此，而有公共点，所以P、A、Q三点共线. 例题2．设平面内不相同的四点A、B、C、D，判断下列结论是否正确，并说明理由. (1)若，则A、B、C三点共线； (2)若，则A、B、C、D四点共线. 【答案】(1)正确，理由见解析(2)错误，理由见解析 【分析】（1）运用向量共线，有公共点判断； （2）运用向量共线，没有公共点判断. 【详解】（1）正确，,且与有公共点A，所以A、B、C三点共线. （2）错误，直线可能平行于直线. 巩固训练 3．设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与平行，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，得出，根据共线向量定理，即可证得三点共线． （2）根据题意，得到存在实数，使得，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）证明：由向量 可得， ， 所以，可得，又因为和有公共点， 所以三点共线． （2）解：由向量与平行，则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，可得，解得， 所以实数的值为. 4．如图，设分别是梯形的对角线的中点. (1)试用向量的方法证明：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用向量线性运算可得，由可设，由此可得，结合可得结论； （2）由可知，代入即可得到结果. 【详解】（1）分别为中点，，， ； ，可设， ，又，，. （2），， 由（1）知：，， ，则，. 题型十七：利用向量证明平面几何问题 例题1．如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【分析】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【详解】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 例题2．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【答案】证明见解析 【分析】用向量证明，从而证明四边形EFGH为平行四边形. 【详解】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 巩固训练 3．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    【答案】，理由见解析 【分析】根据向量基本定理得到，结合三点共线，求出，同理可证出，得到结论. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以， 设， 因为是的中点，所以， 故， 又因为三点共线， 可设，即， 即， 故，相加可得，解得， 故， 同理可证，故可知为的三等分点，故. 4．如图，已知，，，分别是四边形的边，，，的中点，用向量法证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】连接，证得和，，即可求解. 【详解】如图所示:连接， 因为，是、的中点，所以，且，即， 同理可得：； 所以， 又因为、不在一条直线上，所以四边形是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量初步知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识3．应用平面向量基本定理的关键点 （1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． （2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． （3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 知识4．向量共线（平行）的坐标表示 1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为（），然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量． 2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便． 3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线． 4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解． 知识5．平面向量基本定理和性质 （1）共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 知识6．线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 知识7．三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识8．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识9．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识10．平面向量数量积的应用 1．平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 2．平面向量数量积主要有两个应用： （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： （1）向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． 知识11．常见的向量表示形式： （1）重心．若点G是的重心，则或 （其中P为平面内任意一点）．反之，若，则点G是的重心． （2）垂心．若H是的垂心，则．反之，若 ，则点H是的垂心． （3）内心．若点I是的内心，则．反之，若 ，则点I是的内心． （4）外心．若点O是的外心，则或．反之，若，则点是的外心． 知识12．平面向量常用结论 1．设非零向量，是与的夹角． （1）数量积：． （2）模：． （3）夹角： ． （4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|． 知识13．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 知识14．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识15．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识16．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 题型一：向量的表示方法 例题1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 例题2．下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 巩固训练 3．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 4．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 题型二：向量加法运算律的应用 例题1．已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 例题2．设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 3．若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D．    4．向量 （    ） A． B． C． D． 题型三：向量减法法则的应用 例题1．在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 巩固训练 3．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 题型四：用已知向量表示其他向量 例题1．在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 例题2．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 3．点是平行四边形的两条对角线的交点，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：三点共线的常用结论 例题1．在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（    ）．    A． B． C． D． 巩固训练 3．在中，点为的中点，与交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：求两向量的数量积 例题1．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 例题2．P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 巩固训练 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C．2 D． 题型七：向量的模和夹角的计算问题 例题1．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例题2．已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 巩固训练 3．已知平面向量，，，当最小时，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型八：与垂直有关的问题 例题1．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 例题2．若在中，，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 巩固训练 3．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型九：用基底表示向量 例题1．如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 例题2．如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 3．如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十：平面向量加、减运算及数乘运算的坐标表示 例题1．已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2．已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 3．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D．或 4．已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十一：利用向量解决平面几何求值问题 例题1．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 例题2．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 3．如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 4．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 题型十二：利用向量共线的坐标表示求参数 例题1．已知向量，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 例题2．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 巩固训练 3．已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 4．已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 题型十三：定比分点坐标公式及应用 例题1．已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 例题2．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 巩固训练 3．在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则 ． 4．已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为 ． 题型十四：平面向量利用坐标求模 例题1．已知与，点在直线上，且，则点坐标为 . 例题2．已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为 . 巩固训练 3．如图所示，在平行四边形中，，，是边的中点，，若，则 ． 4．若两点、，点在直线上，且，则点的坐标为 . 题型十五：平面向量坐标解决夹角、垂直问题 例题1．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 例题2．设平面向量，，若的的夹角为锐角，则的取值范围是 . 巩固训练 3．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 4．是单位向量,且,若,,则向量,的夹角为 . 题型十六：利用向量相等或共线进行证明 例题1．如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    例题2．设平面内不相同的四点A、B、C、D，判断下列结论是否正确，并说明理由. (1)若，则A、B、C三点共线； (2)若，则A、B、C、D四点共线. 巩固训练 3．设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与平行，求实数的值． 4．如图，设分别是梯形的对角线的中点. (1)试用向量的方法证明：； (2)若，求的值. 题型十七：利用向量证明平面几何问题 例题1．如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    例题2．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    巩固训练 3．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    4．如图，已知，，，分别是四边形的边，，，的中点，用向量法证明：四边形是平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $$