第六章 平面向量初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第六章 平面向量初步（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 即，则， 故. 故选：B. 3．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】运用向量共线的结论可解. 【详解】向量，由，得，所以. 故选：C 4．（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 5．（22-23高一下·甘肃·期末）在中，分别是的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算，将用基底和表示，即可得解． 【详解】因为是的中点， 所以， 所以，所以． 故选：D． 6．（24-25高二上·河南周口·开学考试）已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出单位向量，建立等式求解即可. 【详解】设该单位向量为，由题可知 解得 或，即或 故选：C 7．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量基本定理，利用坐标运算求解即可. 【详解】如图，以A为原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系，    设，则，故，， 作,交的延长线于点，由题意可知， 又，则，所以，所以， 因为，所以，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是9 【答案】ACD 【分析】利用三点共线证明. 所以选项A正确，选项B错误；利用基本不等式证明选项C和选项D正确. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以. 所以选项A正确，选项B错误； ，且，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以选项C正确； 因为当且仅当， 即时，等号成立，所以选项D正确. 故选：ACD 10．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．当且仅当时， B．存在，使得 C．存在，使得 D．向量在向量上的投影向量是向量 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，可得到，即可判断出选项A的正误；利用向量的坐标运算及向量相等，即可判断出选项B的正误；根据条件利用数量积的运算律得到，从而有，即可求解；选项D，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】向量，，， 对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为，假定存在θ，使得，则有， 而，即不成立，因此不存在θ，使得，所以选项B错误； 对于选项C，因为， 即，则，因此存在θ，使得，所以选项C正确. 对于选项D，因为，则在上的投影向量为，所以选项D正确； 故选：ACD. 11．（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC 【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 13．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意知， 又因，，所以，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·开学考试）设定义域为的函数的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点是C上任意一点，向量，且满足，又设向量，现定义函数在上“可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中为常数.给出下列结论： ①A、B、N三点共线； ②直线MN的法向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④函数在上“可在标准k下线性近似”，则. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】①②④ 【分析】根据题意得到得到①正确，计算得到得到轴，②正确，取，计算得到，③错误，，根据均值不等式得到答案. 【详解】对①，，即，即，故三点共线，①正确； 对②，，，， 故，，故，即轴，即直线的法向量可以为，故②正确； 对③，当，则，当，则，则，， 取，则，故，，故，即，③错误； 对④，函数在上，易知该函数在上单调递增，当，，当，， 则，，故直线方程为：. ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 16．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)，(2)3 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 17．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，且． (1)求的值； (2)求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值； （2）利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在向量方上的投影向量. 【详解】（1）∵，且 ，则. （2）由（1）得 所以在上的投影向量为. 18．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1)(2)(3). 【分析】（1）首先表示出，根据共线可列出方程组求解； （2）直接由向量线性运算的坐标表示即可求解； （3）根据，可列方程组求解. 【详解】（1）. 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得. 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得. （2）. （3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以. 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为. 19．（22-23高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【详解】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量初步（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．10 D． 4．（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23高一下·甘肃·期末）在中，分别是的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高二上·河南周口·开学考试）已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是9 10．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．当且仅当时， B．存在，使得 C．存在，使得 D．向量在向量上的投影向量是向量 11．（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 13．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为 . 14．（24-25高二上·上海·开学考试）设定义域为的函数的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点是C上任意一点，向量，且满足，又设向量，现定义函数在上“可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中为常数.给出下列结论： ①A、B、N三点共线； ②直线MN的法向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④函数在上“可在标准k下线性近似”，则. 其中所有正确结论的序号为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 16．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 17．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，且． (1)求的值； (2)求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 18．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 19．（22-23高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$