第六章 平面向量初步（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第六章 平面向量初步（压轴题专练） 题型一：三点共线系数中的关系 1．（23-24高一下·山东滨州·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 6．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：平面向量中确定四心问题 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（    ） A．线段的中点 B．线段靠近的四等分点 C．重心 D．线段靠近的三等分点 2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知点O为所在平面内一点，且，，，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 5．（23-24高二上·上海徐汇·开学考试）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量解决模长问题 1．（23-24高一下·广西柳州·阶段练习）已知方向相同，且，则等于（    ） A．16 B．256 C．8 D．64 2．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）已知圆O的半径为2，弦的长为2，C为圆O上一动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（14-15高三下·浙江衢州·阶段练习）在中，若，，，则＝（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·浙江金华·阶段练习）在中，点满足，且所在直线交边于点，有，，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 6．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示正八边形为正八边形的中心，且，则下列选项正确的是（    ）    A． B．在上的投影的数量为 C． D． 题型四：奔驰定理解决面积问题 1．（22-23高一下·全国·单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 5．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 6．（2023·陕西安康·一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：平面向量解决几何最值问题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 5．（22-23高一下·福建漳州·期中）已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（22-23高一下·北京石景山·期末）如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 题型六：平面向量解决几何中夹角问题 1．（23-24高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·安徽·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型七：平面向量中的定比分点 1．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 3．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 4．（19-20高二上·福建福州·期中）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且,则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 6．（19-20高一下·全国·课后作业）在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型八：投影向量的求算 1．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北·期中）已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南驻马店·二模）已知向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）已知向量，若向量与反向，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A．7 B． C．17 D． 5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 题型九：极化恒等式的妙用 1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 2．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高三上·上海浦东新·期中）已知半径为的圆上的一条动弦，且，为圆内接正三角形边上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（18-19高一下·山东德州·期末）已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（    ） A．2 B． C． D．－2 5．（19-20高一上·浙江杭州·期末）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（　　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（19-20高三·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A．-2 B．0 C．-3 D．-4 题型十：利用共线求参数 1．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，且，则的坐标是（    ）． A． B．或 C． D．或 2．（22-23高三上·山东·阶段练习）向量，，，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 4．（21-22高一下·山东枣庄·期末）在平面直角坐标系 中， ， 点 满足 ，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·福建厦门·阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（19-20高二上·四川凉山·开学考试）已知梯形中，，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量初步（压轴题专练） 题型一：三点共线系数中的关系 1．（23-24高一下·山东滨州·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的三角形法则得，根据可得到与的关系. 【详解】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示： .故选：B. 2．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以，故选：A. 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误.故选：D. 4．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 5．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：D 6．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案. 【详解】由题意有， 所以．故选：A 题型二：平面向量中确定四心问题 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（    ） A．线段的中点 B．线段靠近的四等分点 C．重心 D．线段靠近的三等分点 【答案】D 【分析】根据重心的性质，结合平面向量的线性运算化简求解即可. 【详解】由是的重心，得，， 则， 所以点为的线段靠近的三等分点. 故选：D 2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 3．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知点O为所在平面内一点，且，，，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题利用已知条件可判断出点O是的外心、重心、垂心，由此可得出的三边相等，即为等边三角形. 【详解】如图所示，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD，于是四边形BOCE是平行四边形， ，又， ，四点共线，AD是中线， 同理可证BO、CO的延长线均为的中线， O是的重心． 又， , , , ，，， O是的垂心． 又，O是的外心． 有上述可知：，， 同理可证，，△ABC是等边三角形．故选：C. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 5．（23-24高二上·上海徐汇·开学考试）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算结合三角形四心的定义即可得解. 【详解】取线段BC的中点E，则， 动点P满足：， 则，则，所以， 又为两向量的公共起点，所以三点共线， 所以直线一定通过的重心． 故选：C． 6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取的中点，根据题意，可得为的重心，则在上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案. 【详解】取的中点，连接，则， 由，知为的重心，则在上， 所以，而， 所以，，，四点共线，所以，即， 不妨令，则，，则， 所以．    故选：D． 题型三：平面向量解决模长问题 1．（23-24高一下·广西柳州·阶段练习）已知方向相同，且，则等于（    ） A．16 B．256 C．8 D．64 【答案】A 【分析】根据向量方向相同，得，进而得到答案. 【详解】因为方向相同，且， 所以， 所以， 故选：A. 2．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）已知圆O的半径为2，弦的长为2，C为圆O上一动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，数形结合得到的最值，从而得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，故， 设直线与圆分别交于点，， 因为圆O的半径为2，弦的长为2，故为等边三角形，故， 显然当与重合时，取得最小值，最小值为， 当当与重合时，取得最大值，最大值为， 故. 故选：D 3．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果. 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. 4．（14-15高三下·浙江衢州·阶段练习）在中，若，，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的平行四边形法则可得，由，，可得，从而得到答案. 【详解】由向量的平行四边形法则，知当时，，又，， 故，，则，所以． 故选：B 5．（22-23高一下·浙江金华·阶段练习）在中，点满足，且所在直线交边于点，有，，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用向量和角平分线的概念分析可得点为三角形内心，根据内切圆的性质，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以是的角平分线， 又因为所在直线交边于点，且， 所以是的角平分线， 所以点是的内心，    由可得， 由题意作图，如图所示，分别为圆与三角形三边的切点，    由三角形内切圆的几何性质可得， 所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B 6．（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示正八边形为正八边形的中心，且，则下列选项正确的是（    ）    A． B．在上的投影的数量为 C． D． 【答案】C 【分析】A选项，根据向量相等的定义判断； B选项，根据向量投影的数量公式计算； C选项，计算，的模长然后比较即可； D选项，根据数量积的定义计算. 【详解】如图所示的正八边形被过的线段分成八个全等的等腰三角形，每个顶角均为. A选项，根据相等向量定义，应该是，A选项错误； B选项，由图所示，的夹角含有三个等腰三角形的顶角，故为， 于是在上的投影的数量为，B选项错误； C选项，，连接，则为等腰直角三角形，故， 又，故，C选项正确； D选项，结合图形可知的夹角为，根据数量积的定义， ，D选项错误. 故选：C    题型四：奔驰定理解决面积问题 1．（22-23高一下·全国·单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值． 【详解】， ． 如图，，分别是对应边的中点，    由平行四边形法则知，， 故， 在正三角形中， ， ， 且三角形与三角形的底边相等，面积之比为, 所以，得. 故选：B. 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，即可确定点的位置，再求出、、与的关系，即可得解. 【详解】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B 4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解. 【详解】    因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 故选：C. 5．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】如图所示 是的重心， , , , , ，即， 点为的中点，即点为边中线的两个三等分点， ， ， 故选：B. 6．（2023·陕西安康·一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值. 【详解】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，，∴，∴， ∴. 故选：D 题型五：平面向量解决几何最值问题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】设，由，可得点在以为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得的最大值. 【详解】 设，因为， 即，即， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 又是单位向量，则， 故最大值为，即的最大值为4. 故选：B. 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的反向延长线与单位圆交于点，得出，求出到圆心的距离的最值后根据圆的性质可得． 【详解】如图，的反向延长线与单位圆交于点，则， ， 所以， 又由题意的最大值是，最小值是2，而在单位圆上， 因此的最大值是，最小值是，即所求值域是． 故选：B．    3．（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D 4．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案. 【详解】连接，如下图所示： 因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以 . 当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为 故选：C. 5．（22-23高一下·福建漳州·期中）已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用图形结合向量的几何意义求出最小值作答. 【详解】依题意，作，使，如图，    显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线， 于是为点与直线上的点的距离，过作线段于， 所以. 故选：C 6．（22-23高一下·北京石景山·期末）如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算可得，由数量积的定义可得，，当取最大值时，取得最大值当与同向时，取得最大值为，代入求解即可． 【详解】因为， ， ， 所以 即当取最大值时，取得最大值． 当与同向时，取得最大值为， 此时，取得最大值． 故选：C． 题型六：平面向量解决几何中夹角问题 1．（23-24高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 2．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 3．（22-23高一下·安徽·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A 4．（2022·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案. 【详解】依题意，，同理． 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，解得， ，又， 所以． 故选：C． 5．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与的夹角为，由，可得 ，利用的范围可得答案. 【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以， 因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，， 又因为，所以 ， 因为，所以，所以当时最大， 此时，最大的值为. 故选：A. 6．（2021·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，， ∴，，则， 故选：D. 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力. 题型七：平面向量中的定比分点 1．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 2．（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【分析】A选项，由已知只需证明即可； B选项，由进行判断； CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断. 【详解】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 3．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 【答案】C 【分析】根据题意，不妨设，利用向量的坐标运算，用表示出，再对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】由已知不妨设， 则， 因为C、D和谐分割点A、B， 所以， 所以， 代入得，（*） 若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故A错误； 若是靠近点A的线段AB的三等分点， 则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故B错误； 若C，D同时在线段AB上，则，则， 当时，，此时符合题意， 所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确； 若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则， 所以，这与矛盾， 所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误. 故选：C. 4．（19-20高二上·福建福州·期中）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且,则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,所以,根据定比分点坐标公式可得弦的中点坐标,再根据弦的中点在椭圆内列不等式可解得. 【详解】设, 因为,,所以, 因为,所以, 由定比分点坐标公式得,,化简得, 所以弦的中点坐标为, 根据弦的中点在椭圆内可得, 所以,所以,又离心率,所以. 故选:A 5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 6．（19-20高一下·全国·课后作业）在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 题型八：投影向量的求算 1．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算法则，以及投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由， 可得，解得 则在上的投影向量为. 故选：D. 2．（23-24高一下·河北·期中）已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，再由，两边平方可得，由投影向量计算公式即可得到在上的投影向量. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，得， 所以向量在上的投影向量为． 故选：B． 3．（2024·河南驻马店·二模）已知向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出与的坐标，然后由投影向量的计算方法计算即可. 【详解】由题意得， 则在方向上的投影向量为：. 故选：C 4．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）已知向量，若向量与反向，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A．7 B． C．17 D． 【答案】D 【分析】借助平面向量共线定理与投影向量定义计算即可得. 【详解】由向量与反向，故且， 即有，由向量在向量上的投影向量为， 可得，即，故， 则. 故选：D. 5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为是的外接圆圆心，， 所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径， 因为，所以为等边三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：A 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】C 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的夹角为，所以A错误， 对于B，由于四边形不是平行四边形，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以，所以C正确. 结合图形可知在上的投影向量与的方向相反，所以D错误. 故选：C 题型九：极化恒等式的妙用 1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【详解】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 2．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则， ∴， 设，， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， 即的最小值为. 故选：B. 3．（19-20高三上·上海浦东新·期中）已知半径为的圆上的一条动弦，且，为圆内接正三角形边上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设是动弦的中点，判断点的轨迹是以为圆心、半径为2的圆，根据向量的线性运算法则，表达，即可求解. 【详解】由题意，是半径为的圆上的一条动弦，设是动弦的中点， 则，故点的轨迹是以为圆心、半径为2的圆， 则 由是的中点，则， 则，由，则 因为是圆内接正三角形边上一动点，是动弦的中点， 所以当取点的轨迹与正三角形交点时，是最小值， 此时 故选：C 4．（18-19高一下·山东德州·期末）已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（    ） A．2 B． C． D．－2 【答案】C 【分析】由，结合投影几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解. 【详解】由,结合投影几何意义有：过点作的垂线，垂足落在的延长线上，且 , 以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 设，其中 则 解析式是关于的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值， 当时取得最小值 故选： 5．（19-20高一上·浙江杭州·期末）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（　　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】建立如图坐标系： 则，， ， ， 因在矩形内， 所以，即， 所以，又， 所以，即的最大值为. 故选：C. 6．（19-20高三·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A．-2 B．0 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】设点，点，,可得，利用二次函数求最值即可. 【详解】设点，点，，则，， ∴； 当时，的最小值为-3， 故选：C 题型十：利用共线求参数 1．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，且，则的坐标是（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意，设，由可求出的值，进而得解. 【详解】由，，可设， 又，所以，解得， 所以或. 故选：D 2．（22-23高三上·山东·阶段练习）向量，，，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标表示得到关于、的方程组进行求解. 【详解】由题意，得 ，， 因为，所以，解得， 则， 即，解得，故. 故选：C. 3．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标运算公式可求得，再利用向量平行的坐标表示可求解. 【详解】 又，，解得 故选：D 4．（21-22高一下·山东枣庄·期末）在平面直角坐标系 中， ， 点 满足 ，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则由列方程组可求出的值，从而可得点的坐标 【详解】设，由， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以点的坐标为， 故选：A 5．（21-22高一下·福建厦门·阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，进而根投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为，，且， 所以，解得. 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C 6．（19-20高二上·四川凉山·开学考试）已知梯形中，，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点A为原点，建立如图的直角坐标系，设，，由求得，再由解得，从而可得答案. 【详解】解：以点A为原点，建立如图的直角坐标系，依题意，，不妨设，则， 则，设，则由得， 所以，即，， 又，所以，因为，解得，所以， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$