数列求和（二）学案-2025届高三数学一轮复习

数列求和（二） 课标要求学生掌握数列求和的几种常用方法，进而能够解决数列求和问题。 本节课主要解决分组求和法和并项求和法. 题型一　分组求和 【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝anan＋1＋log2(anan＋1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 【例2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,其公比q≠-1,,且S4=a3+93. (1)求数列{an}的通项公式; (2)已知bn=求数列{bn}的前n项和Tn. 【对点1】已知等差数列{an}的首项为1，且an>0，________.在①S11＝66；②a3，a9，9a3成等比数列；③Sn－nan＝，其中Sn是数列{an}的前n项和这三个条件中选择一个，补充在横线上，并进行解答． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． . 【对点2】已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＋2an＝2n＋2. (1)证明：数列{an－2n}为等比数列； (2)已知bn＝Tn为数列{bn}的前n项和，求T10. 题型二　并项求和 【例3】数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an＋1－1，n∈N*，且a1＝1. (1)求an； (2)设bn＝(－1)n(an－1)，求数列{bn}的前2n项和T2n. 【对点1】在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1. (1)证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an; (2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11. 　 【对点2】已知正项数列{an}满足a1=1,=8n. (1)求{an}的通项公式; (2)记bn=an·sin(·π),求数列{bn}的前2 023项的和. 答案解析 题型一　分组求和 【例1】解　(1)因为Sn＋1＝2Sn＋1， 所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)， 又S1＋1＝a1＋1＝2，所以数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以Sn＋1＝2×2n－1＝2n，即Sn＝2n－1， 当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1成立， 故an＝2n－1，n∈N*. (2)bn＝anan＋1＋log2(anan＋1) ＝2n－1·2n＋log2(2n－1·2n) ＝22n－1＋2n－1， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝21＋23＋25＋…＋22n－1＋1＋3＋5＋…＋2n－1 ＝＋ ＝(4n－1)＋n2. 【例2】解 (1)因为{an}是等比数列,则a4=a1q3,a5=a1q4,a7=a1q6,a8=a1q7,又公比q≠-1,所以,解得q=3,由S4=a3+93,可得=9a1+93,解得a1=3,所以数列{an}的通项公式为an=3n. (2)由(1)得bn= 当n为偶数时,Tn=b1+b2+…+bn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=-(1+3+…+n-1)+(32+34+…+3n)=-(3n-1)-; 当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=(3n+1-1)--3n+1=(3n+1-9)- 综上所述, Tn= 【对点1】解　(1)若选择①：设{an}的公差为d， 因为S11＝66，a1＝1，所以11＋×d＝66， 解得d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 若选择②：因为a3，a9,9a3成等比数列， 所以a＝9a， 又an>0，所以a9＝3a3， 又a1＝1，设{an}的公差为d (d>0)， 所以1＋8d＝3(1＋2d)，解得d＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 若选择③：设{an}的公差为d， 因为Sn－nan＝， 所以na1＋d－n[a1＋(n－1)d]＝， 又a1＝1， 即n＋d－n－n(n－1)d＝d＝，解得d＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. (2)由(1)知bn＝＋2an＝3n＋2n. 所以Tn＝(3＋2)＋(32＋4)＋…＋(3n＋2n)， 所以Tn＝3＋32＋…＋3n＋2＋4＋…＋2n， 所以Tn＝＋＝＋n2＋n， 所以Tn＝ 【对点2】解(1)证明　由an＋1＋2an＝2n＋2可得 an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)． 又a1－21＝1≠0， 所以数列{an－2n}是以1为首项，－2为公比的等比数列． (2)解　由(1)可得an－2n＝(－2)n－1， 即an＝2n＋(－2)n－1. 当n为奇数时，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1； 当n为偶数时，bn＝log2an＝log2[2n＋(－2)n－1] ＝log22n－1＝n－1. 所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋(b2＋b4＋b6＋b8＋b10) ＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9) ＝＋＝1 048. 题型二　并项求和 【例3】解　(1)因为Sn＝an＋1－1， 当n＝1时，a1＝S1＝a2－1， 由a1＝1可得a2＝2， 当n≥2时，Sn－1＝an－1， 作差得Sn－Sn－1＝an＋1－1－(an－1)， 即2an＝an＋1，n≥2， 又＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝(－1)n2n－1－(－1)n， 所以b2n＝22n－1－1，b2n－1＝－22n－2＋1， 所以b2n－1＋b2n＝4n－1， 所以T2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n) ＝1＋4＋…＋4n－1 ＝＝. 【对点1】(1)证明 因为an+1=2an+n-1,所以=2,又a1+1=2,所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n. (2)解 因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,① 所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1, 当n≥2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,② ①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1 360, 即S11=1 360. 【对点2】(1)对任意的n∈N*,因为=8n,所以当n≥2时,=()+…+()+=8(n-1)+…+8×1+1=8[1+2+3+…+(n-1)]+1=8+1=(2n-1)2,因为an>0,所以an=2n-1,n≥2.当n=1时,a1=1符合an=2n-1,所以an=2n-1,n∈N*. (2)bn=an·sinπ=(-1)n+1·(2n-1),所以当k∈N*时,b2k+b2k+1=-(4k-1)+4k+1=2, 故b1+b2+b3+…+b2 023=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2 022+b2 023)=1+2×1 011=2 023. 学科网（北京）股份有限公司 $$