精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

2024~2025学年西安市铁一中学高三上学期开学考试数学试卷 一、单选题 1. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 设为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，已知，且，则其前项和的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ） A. 4048 B. －4048 C. 2024 D. －2024 二、多选题 9. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若存在实数满足，则正确的是（   ）． A. B. C. D. 三、填空题 12. 抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________． 13. 已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为______. 14. 设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为________． 四、解答题 15. 已知函数的图象在点处的切线过点． （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值． 16. 身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图. （1）求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； （2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 17. 如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. （1）证明：平面BOP； （2）若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，即函数的图象与直线至多有个交点，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由: （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值; （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年西安市铁一中学高三上学期开学考试数学试卷 一、单选题 1. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将，，与和进行比较，从而得到它们之间的大小关系，得到答案. 【详解】， ， 而，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查比较指数和对数的大小，属于简单题. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断B、C；再利用特殊值排除D. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、C； 又，故排除D. 故选：A 3. 设为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据为锐角，且，利用诱导公式得到 ，进而得到，然后再利用商数关系求解. 【详解】因为为锐角，且， 所以， 所以， 故选：B 4. 已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集. 【详解】由，即，解得或， 所以函数的定义域为集合，则值域为集合， 所以. 故选：D 5. 在数列中，已知，且，则其前项和的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用并项求和的方式，自第二项起每两项作和，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】. 故选：C. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，由椭圆的定义得到，则，得到为的中点，结合中位线定理，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 又由圆可化为，可得圆心，半径，则， 根据椭圆的定义，可得，则， 因为，可得为的中点， 又因为为的中点，可得. 故选：C. 7. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ） A. 4048 B. －4048 C. 2024 D. －2024 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的周期，然后对所求式分奇偶讨论分别进行计算即可. 【详解】由已知，， 所以， 所以函数的周期为， 又， 所以， 所以， 又， 所以，则， 所以，， ， ， 所以 . 故选：D. 二、多选题 9. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误. 【详解】由，，得：； 对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即，），B错误； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C正确； 对于D，（当且仅当，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】， 若在上不单调，令， 对称轴方程为，则函数与轴在上有交点． 当时，显然不成立； 当时，有，即，解得或． 四个选项中的范围，为的真子集， ∴在上不单调的一个充分不必要条件是和. 故选：BC． 11. 已知函数，若存在实数满足，则正确的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象可知，判断D；利用局部对称性可判断B；由化简整理可判断C；结合基本不等式可判断A. 【详解】作出函数的函数图象，如图： 对D，令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同的交点，由图象可知，D正确； 对B，因为关于对称，所以，B正确； 对C，由，得， 即，则， 整理得，C正确； 对A，，由图得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 三、填空题 12. 抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点P坐标代入抛物线方程求出p，求出F，结合两点间距离公式计算即可求解. 【详解】把代入得， 所以C的焦点为， 所以． 故答案为：2 13. 已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由内切球的表面积得球的半径，从而求出正三棱柱的高，再根据底面正三角形内切圆的半径求得正三角形的边长，代入棱柱体积公式求解即可. 【详解】设正三棱柱的底面棱长为，高为，内切球的半径为， 依题意，解得，所以正三棱柱的高， 正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为， 由题意，所以， 所以正三棱柱的体积. 故答案为： 14. 设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值． 【详解】不等式，所以， 即为，即有，可令，则成立， 由和互为反函数，可得图象关于直线对称， 可得有解，则，即， 令，则， 当时，，则函数在上递减， 当时，，则函数在上递增， 所以当时，取得最大值， 所以有，所以，可得，即k的最大值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答． 四、解答题 15. 已知函数的图象在点处的切线过点． （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2） 的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【小问1详解】 由已知得， 则，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. 【小问2详解】 所以，定义域为， 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 16. 身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图. （1）求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； （2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1），，； （2）分布列： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及百分位数的求法计算即可； （2）根据分层抽样的抽样方法先确定抽取的肥胖人数与非肥胖人数，再利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 由图象计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为， 前四个区间所占频率为， 所以80%分位数在区间内，不妨设为， 所以； 【小问2详解】 根据对照组的频率分布直方图可知在区间内的人数有人， 非肥胖的人数为人， 可取， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以. 17. 如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. （1）证明：平面BOP； （2）若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，故，，，. . 故，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据圆锥PO的侧面积求得及，求出平面的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆锥PO的侧面积，， 由（1）可知，为平面的法向量， 设平面的法向量为，而，， 故，令得， 则， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到之间的关系，再结合椭圆过点，求出的值，从而得到椭圆的方程. （2） ①利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点的坐标，再根据三点共线得之间的关系；②求得，并利用等比数列的前项和公式求得. 【小问1详解】 因，可得： ①， 又椭圆过点，可得 ②， 联立①，②，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立，消去，整理得：， 因直线交椭圆于两点，则，且，则， 因直线的方程为，同理可得：， 因三点共线，则，即， 易知，则， 因，则； ②结合①可知，则 ， 因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列， 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题，属于难题.解题的关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和三点共线，求出点的坐标，从而得到. 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，即函数的图象与直线至多有个交点，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由: （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值; （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 【答案】（1） 函数不是“旋转函数”，理由如下： 的斜率为，倾斜角为，逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，不满足函数定义， 因此函数不是“旋转函数”. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 即函数与函数最多有1个交点， 所以函数在上单调， 因为，所以， 若恒成立，则恒成立，则， 因为，所以，矛盾， 所以，所以， 即，得，所以的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当趋于0时，趋于， 所以， 令，则， 因为在上单调递减，且， 所以存在，使得， 即， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，即， 所以的取值范围. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化： 函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数；另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $