3.3 一元一次方程的应用（7种题型基础练+能力提升练）数学新教材沪科版七年级上册

3.3 一元一次方程的应用（7种题型基础练+能力提升练） 一、和、差、倍、分型应用题 1．（2023秋•利辛县期末）一停车场上有24辆车，其中一辆汽车有4个轮子，一辆摩托车有3个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有84个轮子，那么摩托车应为　　 A．14辆 B．12辆 C．16辆 D．10辆 2．（2022秋•颍州区校级期末）三个连续奇数的和为27，则最小的奇数是 　　． 3．（2024•合肥一模）春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了，从而燃尽时间延长了，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多，求慢引线燃烧的速度． 二、等积变形类应用题 1．（2024•龙亭区校级开学）一个长方形的周长是2.4分米，长和宽的比是，这个长方形的面积是 　　平方厘米． 2．（2023秋•达州期末）如图，在长方形的边上有，两个动点，速度分别为，，两个点同时出发，运动过程中，一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止运动，动点从点出发，沿折线 向终点运动，动点从点出发，沿射线向终点运动，运动时间为秒．若，，当和的面积之和为12平方米时，的值为 　 　． 3．（2024•利辛县校级开学）把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱．这个圆柱的高是多少厘米？ 4．（2023•五华县校级开学）有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？ 三、工程类应用题 1．（2023秋•凤台县校级月考）一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要25天，则由甲先做2天，然后甲、乙合做余下的部分还要　　天才能完成． 2．（2022秋•淮南期末）某项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，若甲先做3天，然后甲、乙合作完成此项工作，则甲一共做了 　　天． 3．（2022秋•凤台县期末）某工程队承包了全段全长1800米的过江隧道任务，甲、乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲比乙平均每天多掘进，经过五天施工，两组共掘进60米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，照此施工速度，能够比原来少 　　天完成任务． 4．（2023秋•金寨县期末）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共干12天完成，问乙做了几天？ 四、销售类应用题 1．（2024春•全椒县月考）某商店的老板销售一种商品，他以不低于超过进价的的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价　　 A．80元 B．100元 C．120元 D．160元 2．（2023秋•瑶海区校级期末）《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”． 译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？ 3．（2023秋•蜀山区期末）天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共80台．进价和售价见表． 空调 电热水器 进价（元台） 2800 1600 售价（元台） 3500 1900 设商场计划购进空调台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若该商场计划最多投入资金18万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？ 4．（2023秋•蚌山区期末）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单件利润销售量） 价格商品 进价（元件） 售价（元件） 甲 120 135 乙 100 120 （1）该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？ 5．（2023秋•谢家集区期末）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 五、行程类应用题 1．（2022秋•颍州区校级期末）学校组织秋游，带队老师和同学们以的速度从学校步行出发，20分钟后，张老师骑自行车从学校出发，以的速度沿相同路线追赶队伍，求张老师需要多长时间追上队伍．根据题意列出方程，则表示的是　　 A．张老师行驶的时间 B．队伍行进的路程 C．张老师与队伍的距离 D．队伍行驶的时间 2．（2024•金安区校级三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步．现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 3．（2022秋•芜湖期末）面对新一轮疫情，芜湖市开展围绕家庭战“疫”健身活动，周末张华和张明兄弟两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知张华骑行的速度是张明的1.2倍． （1）若张明先骑行2千米，张华才开始从地出发，则张华出发半小时恰好追上张明，求张华骑行的速度； （2）若张明先骑行20分钟，张华才开始从地出发，则两人恰好同时到达地，求张华骑行的速度． 4．（2023秋•金安区校级月考）【背景知识】 数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合． 如图1，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【问题情境】 如图2，，两点在数轴上对应的数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度秒，乙的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒． （1）　　． 【综合运用】 （2）如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，则点表示的数为 　　，此时　　． （3）如果甲、乙都向左运动， ①当为何值时，乙恰好追上甲？ ②当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 六、环形跑道与时钟问题 1．（2022秋•江汉区期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心匀速转动．（本题中的角均指小于的角）， （1）分针每分钟转 　　度，时针每分钟转 　　度，当时间为时，分针和时针的夹角为 　　度； （2）求开始后几分钟分针第一次追上时针； （3）点为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，分钟后，，求的值． 2．（2023秋•萧县期末）周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： 请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度． 七、方案选择类问题 1．（2024春•包河区期中）某单位准备购买文化用品件，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）当时，在甲超市的购物金额为 　　元；乙超市的购物金额为 　　元； （2）若时，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 2．（2023秋•临泉县期末）“元旦”假期，某学校的3位老师带领名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． （1）这3位老师和名学生选择甲旅行社所需费用为 　 　元，选择乙旅行社所需费用为 　　 元；（用含的式子表示） （2）若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ （3）若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 3．（2023秋•庐江县期末）姥山岛地处巢湖市中庙镇西南方向，全国五大淡水湖之一的巢湖之中，是巢湖中最大岛屿．姥山岛四面皆水，如同一叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿洲”，是湖天第一胜境．某校七年级2班学生计划周末去巢湖姥山游玩，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元小时 120元小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时，请解决下面问题： （1）若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ （2）若每只船均坐满，直接列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 4．（2024春•瑶海区校级期末）学校于5月份开展了科技节，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料．已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量用2600元购买乙品牌材料数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？ （2）若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对这两种品牌材料的售价进行调整：甲品牌比上一次购买时售价提高了，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？ 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•霍邱县期中）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•杜集区校级开学）小李的表每小时比标准钟慢3分钟，小张的表每小时比标准钟快3分钟．早上10点整两人把表对准．到下午某个时刻，小李的表是，小张的表是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•太湖县期末）某鞋店销售某种品牌的运动鞋，去年每双可获利元，利润率为，今年进价提高了，鞋店将这种鞋的售价也相应提高，使每双仍可获利元，则今年提价后的利润率为　　 A． B． C． D． 4．（2023•临泉县校级开学）观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是　　 A．45 B．55 C．60 D．75 5．（2023秋•合肥期末）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费　　 A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 6．（2023秋•埇桥区期末）如表是2023年1月份的月历，月历中有正方形和阶梯形两个阴影图形分别覆盖其中四个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，可以重叠覆盖），设正方形覆盖的四个数字之和为，阶梯形覆盖的四个数字之和为．若，则的值可能是　　 A． B．66 C．82 D．91 7．（2023秋•霍邱县期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由、两个工程队先后接力完成．工程队每天维修12米，工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则工程队维修堤岸多少米？　　 A．160 B．170 C．180 D．190 8．（2023秋•利辛县期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对　　道题． A．16 B．15 C．14 D．13 9．（2023秋•亳州月考）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则，的值可能为　　 A．， B．， C．， D．， 10．（2023秋•涡阳县期末）10月8日，备受关注的杭州第19届亚运会圆满落幕，作为杭州亚运会官方指定功能饮料，东鹏特饮在赛场上为中国运动健儿提供能量支持，助力他们勇夺金牌、为国争光．某工厂用铝片做东鹏特饮听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套．设用张铝片制瓶身，则下面所列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 11．（2023秋•舒城县校级月考）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有名快递员，则可列方程为 　　． 12．（2023秋•芜湖期中）如表，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是19，则的值是 　　． 5 10 13．（2023秋•庐阳区校级月考）已知数轴上、两点对应的数分别为、，且满足． （1）求点、两点对应的有理数是 　　； （2）若点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 　　秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍． 14．（2023秋•利辛县月考）如图，电子蚂蚁，在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形顺时针运动，同时电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形逆时针运动． （1）它们第1次相遇在点 　　； （2）它们第2023次相遇在点 　　． 15．（2023秋•桐城市期中）有理数与在数轴上的位置如图，有理数对应的点为，有理数对应的点为，且，比大24． （1）点与点之间的距离为 　　； （2）若点和点分别从点和点同时出发，相向运动，点运动的速度为4个单位，点运动的速度为2个单位，相遇前当点与点之间的距离为18时，两点运动停止，则运动时间为 　　． 16．（2023秋•贵池区校级期中）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数的和都相等． 大 美 安 0 徽 （1）　　． （2）“大美安徽”四个汉字表示的数的和为 　　． 17．（2023秋•埇桥区期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现计划由一部分人先做，然后增加6人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 　　人工作． 18．（2023秋•宣城期末）2024年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为，则这张长方形宣纸的面积为 　　． 19．（2023秋•包河区期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是　　． 三．解答题（共13小题） 20．（2023秋•涡阳县期末）已知数，，满足，请回答问题： （1）请直接写出，，的值：　　，　　，　　； （2）数轴上，，三个数所对应的点分别为，，，则，两点的距离可表示为　　，数轴上有一点，它表示的数为．若，则点表示的数是 　　； （3）点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为． ①当时，求的长； ②当，两点的距离为2时，求的值． 21．（2023秋•大观区校级月考）为了更好的落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组，学校用1000元从体育用品商店购入、两种款式的跳绳各40条，且购买的种跳绳的单价比种跳绳单价的2倍还少5元，求购买、两种款式跳绳的单价各是多少元？ 22．（2024•宣州区校级开学）一辆轿车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，2小时后在距中点36千米处相遇．已知轿车和货车的速度比是，求甲、乙两地相距多少千米？ 23．（2024•铜官区开学）甲、乙两人骑自行车分别从、两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇．相遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达地．甲每小时行多少千米？ 24．（2024•铜官区开学）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 25．（2023秋•太湖县期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足． （1）求、两点之间的距离； （2）点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； （3）在（2）的条件下，动点以3个单位长度秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 26．（2023春•谯城区校级期末）2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张 101张及以上 单价（元张） 60元 50元 40元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？ 27．（2023秋•萧县期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物元（其中． （1）当时，顾客到哪家超市购物优惠． （2）当为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同． 28．（2023秋•泗县期中）将连续的正整数1，2，3，4，，排列成如下的数表，用的方框框出9个数（如图）． （1）图中方框框出的9个数的和与方框正中间的数10有什么关系？ （2）将方框上下左右平移，但一定要框住数表中的9个数．若设正中间的数为，用含的代数式表示方框框住的9个数字，并计算这9个数的和． （3）能否在方框中框出9个数，使这9个数的和为270？若能，求出这9个数；若不能，请说明理由． 29．（2023秋•合肥月考）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？ （2）若城区四校联合购买100套队服和个足球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； （3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 30．（2023秋•蜀山区校级月考）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是，的3倍点，例如：如图1，点是，的3倍点，点不是，的3倍点，但点是，的3倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点　　，的3倍点（填写“是”或“不是” ；，的3倍点是点 　　（填写或或或； （2）如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是，的3倍点，则点表示的数是 　　； （3）若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示） 31．（2023秋•潜山市期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． （1）种商品每件进价为 　　元，每件种商品利润率为 　　． （2）若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？ （3）在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 32．（2023秋•黄山期末）“绿色环保，人人有责；节水用水，共创美好明天”，某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，经物价部门审核，该市2023年自来水收费的价目表如下，请根据表中的信息解答下列问题： 每月用水量 价格 价目表 不超过 3元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 6元 （1）若某用户5月份用水，则应交水费 　　元； （2）若该用户7月份应收水费77元，则用水 　　； （3）若该用户9、10两个月共用水，共收水费93元月份用水量超过了10月份），求9月份用水量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 一元一次方程的应用（7种题型基础练+能力提升练） 一、和、差、倍、分型应用题 1．（2023秋•利辛县期末）一停车场上有24辆车，其中一辆汽车有4个轮子，一辆摩托车有3个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有84个轮子，那么摩托车应为　　 A．14辆 B．12辆 C．16辆 D．10辆 【分析】先设摩托车为辆，根据轮子总数为84的等量关系列方程求解即可． 【解答】解：设摩托车辆，则汽车为辆， 由题意得，， 解得，， 摩托车有12辆， 故选：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． 2．（2022秋•颍州区校级期末）三个连续奇数的和为27，则最小的奇数是 　　． 【分析】设最小的奇数为，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设最小的奇数为， 根据题意得，， 解得， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 3．（2024•合肥一模）春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了，从而燃尽时间延长了，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多，求慢引线燃烧的速度． 【分析】设慢引线燃烧的速度为 ，则快引线的燃烧速度为，根据引线的总长达到了，从而燃尽时间延长了，即可列方程，进而作答． 【解答】解：设慢引线燃烧的速度为 ，则快引线的燃烧速度为， 根据题意，得， 解得， 答：慢引线燃烧的速度为． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系． 二、等积变形类应用题 1．（2024•龙亭区校级开学）一个长方形的周长是2.4分米，长和宽的比是，这个长方形的面积是 　　平方厘米． 【分析】根据已知求出长方形的长和宽，即可求出长方形的面积． 【解答】解：2.4分米厘米， 设长方形的长是厘米，则宽是厘米，根据题意得： ， 解得， 长方形的长是7厘米，宽是5厘米， 面积为（平方厘米）， 故答案为：35． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是求出长方形的长与宽． 2．（2023秋•达州期末）如图，在长方形的边上有，两个动点，速度分别为，，两个点同时出发，运动过程中，一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止运动，动点从点出发，沿折线 向终点运动，动点从点出发，沿射线向终点运动，运动时间为秒．若，，当和的面积之和为12平方米时，的值为 　 　． 【分析】分点在上，点在上时和点、点在上时两种情况，用的式子分别表示和的面积，列出方程从而解决问题． 【解答】解：当点在上，点在上时， 此时，， ， ， 由和的面积之和为12平方米， 得， 解得； 当点、点在上时， 此时，， ， ， 由和的面积之和为12平方米， 得， 解得， 综上所述，的值为或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题的关键是理解题目条件分类讨论解决问题． 3．（2024•利辛县校级开学）把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱．这个圆柱的高是多少厘米？ 【分析】设这个圆柱的高是厘米，根据熔铸成圆柱体，体积没变，是长方体和正方体的体积之和，列方程求解即可． 【解答】解：设这个圆柱的高是厘米， 根据题意得， 解得， 答：这个圆柱的高是0.04厘米． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，找出相等关系是解题的关键． 4．（2023•五华县校级开学）有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？ 【分析】设长方体铁块的长是分米，根据长方体体积公式列出方程并解答． 【解答】解：设长方体铁块的长是分米，则： ， 解得． 答：长方体铁块的长是16分米． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 三、工程类应用题 1．（2023秋•凤台县校级月考）一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要25天，则由甲先做2天，然后甲、乙合做余下的部分还要　　天才能完成． 【分析】工作量问题常用等量关系：工效时间工作总量．本题的等量关系为：甲工作量乙工作量，还需注意甲比乙多工作2天． 【解答】解：设余下部分需天完成， 则 解得： 故填10． 【点评】本题考查的知识点是工作量问题．常用等量关系：工效时间工作总量． 2．（2022秋•淮南期末）某项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，若甲先做3天，然后甲、乙合作完成此项工作，则甲一共做了 　　天． 【分析】设甲一共做了天，则乙做了天，根据工作总量甲完成的工作量乙完成的工作量即可得出关于的一元一次方程，解出结果即可． 【解答】解：设甲一共做了天，则乙做了天， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：6． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据数量关系（工作量工作效率工作时间，工作总量甲的工作总量乙的工作总量）列出关于的一元一次方程是解题的关键． 3．（2022秋•凤台县期末）某工程队承包了全段全长1800米的过江隧道任务，甲、乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲比乙平均每天多掘进，经过五天施工，两组共掘进60米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，照此施工速度，能够比原来少 　　天完成任务． 【分析】设乙组原来平均每天掘进，则甲组原来平均每天掘进，根据“经过五天施工，两组共掘进60米”列出方程，解得，则乙组原来平均每天掘进，甲组原来平均每天掘进，则按照原来进度还需要（天，根据题意可得在剩余的工程中，甲组平均每天掘进，乙组平均每天掘进，照此施工速度，还需：（天，再用现在的天数减去原来的天数即可解答． 【解答】解：设乙组原来平均每天掘进，则甲组原来平均每天掘进， 根据题意得， ， 解得：， 则， 乙组原来平均每天掘进，甲组原来平均每天掘进， 则按照原来进度还需要：（天， 在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进， 现在甲组平均每天掘进，乙组平均每天掘进， 照此施工速度，还需：（天， （天， 照此施工速度，能够比原来少29天完成任务． 故答案为：29． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键． 4．（2023秋•金寨县期末）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共干12天完成，问乙做了几天？ 【分析】根据工作时间、工作总量、工作效率之间的关系及甲完成的工作量乙完成的工作量来解答． 【解答】解：设乙做了天，则甲做了天， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：乙做了8天． 【点评】此题是运用工作时间、工作总量、工作效率三者之间的关系来解决． 四、销售类应用题 1．（2024春•全椒县月考）某商店的老板销售一种商品，他以不低于超过进价的的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价　　 A．80元 B．100元 C．120元 D．160元 【分析】先求出进价，然后设让价元，根据商店老板不低于进价的价格才能出售，列不等式求解． 【解答】解：由题意得，进价为：（元， 设让价元， 则有，， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列不等式求解． 2．（2023秋•瑶海区校级期末）《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”． 译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？ 【分析】根据题干中价格相等的条件列出，求解即可． 【解答】解：设购买物品的人数是人， 根据题意得，， 解得， 所以这件物品的价格是（元， 答：购买物品的人数是7人，这件物品的价格是53元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键． 3．（2023秋•蜀山区期末）天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共80台．进价和售价见表． 空调 电热水器 进价（元台） 2800 1600 售价（元台） 3500 1900 设商场计划购进空调台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若该商场计划最多投入资金18万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据利润（售价进价）数量，总利润空调的利润电热水器的利润，即可求出与的函数关系式； （2）根据总数量为80台，最多投入资金18万元，全部销售后利润超过4万元，得到一元一次不等式组，求出满足题意的的正整数值即可； （3）利用与的函数关系式的增减性和（2）中求得的满足题意的的范围来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【解答】解：（1）由题意得： ， 答：与的函数关系式为：； （2）由题意得： ， 解得：， 为正整数， ，42，43， 即商场有三种方案可供参考： 方案1：购空调41台，购电热水器39台； 方案2：购空调42台，购电热水器38台； 方案3：购空调43台，购电热水器37台； （3），， 随的增大而增大， 即当时，有最大值， （元， 答：在（2）的条件下，选择方案3进货方案：购空调43台，购电热水器37，商场获利最大，最大利润是41200元． 【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是自变量的取值范围和值的灵活运用． 4．（2023秋•蚌山区期末）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单件利润销售量） 价格商品 进价（元件） 售价（元件） 甲 120 135 乙 100 120 （1）该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？ 【分析】（1）设该商场第1次购进件甲种商品，则购进件乙种商品，利用总利润每件的销售利润销售数量（购进数量），可列出关于的一元一次方程，解之可得出该商场第1次购进甲种商品的数量，再将其代入中，即可求出该商场第1次购进乙种商品的数量； （2）设乙种商品是按折销售的，利用总利润每件的销售利润销售数量（购进数量），可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该商场第1次购进件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意得：， 解得：， （件． 答：该商场第1次购进200件甲种商品，150件乙种商品； （2）设乙种商品是按折销售的， 根据题意得：， 解得：． 答：乙种商品是按九折销售的． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•谢家集区期末）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 【分析】（1）设第一次每个的进价为元，则第二次进价为，根据等量关系，列出分式方程，即可求解； （2）根据总利润总售价总成本，列出算式，即可求解． 【解答】解：（1）设第一次每个的进价为元，则第二次进价为， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元； （2）（元， 答：该商店两次购进吉祥物的总利润为4560元． 【点评】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 五、行程类应用题 1．（2022秋•颍州区校级期末）学校组织秋游，带队老师和同学们以的速度从学校步行出发，20分钟后，张老师骑自行车从学校出发，以的速度沿相同路线追赶队伍，求张老师需要多长时间追上队伍．根据题意列出方程，则表示的是　　 A．张老师行驶的时间 B．队伍行进的路程 C．张老师与队伍的距离 D．队伍行驶的时间 【分析】根据题意，20分钟小时，根据速度时间路程，即可得出结论． 【解答】解：分钟小时， 设张老师的行驶时间为小时， 根据题意列方程得，， 故选：． 【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据等量关系得出题设是解题的关键． 2．（2024•金安区校级三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步．现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【分析】根据题意，设善于走路的人追上不善于走路的人需用个单位时间，可列方程：，解得：，因此需要走：（步，才能追上他． 【解答】解：设善于走路的人追上不善于走路的人需用个单位时间， 可列：， 解得：， 需要走：（步， 答：需要走250步才能追上他． 【点评】本题考查的是数学常识，一元一次方程的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 3．（2022秋•芜湖期末）面对新一轮疫情，芜湖市开展围绕家庭战“疫”健身活动，周末张华和张明兄弟两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知张华骑行的速度是张明的1.2倍． （1）若张明先骑行2千米，张华才开始从地出发，则张华出发半小时恰好追上张明，求张华骑行的速度； （2）若张明先骑行20分钟，张华才开始从地出发，则两人恰好同时到达地，求张华骑行的速度． 【分析】（1）设张明骑行的速度是千米小时，则张华骑行的速度是千米小时，利用路程速度时间，结合张华出发半小时恰好追上张明，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出张华骑行的速度； （2）设张明骑行的速度是千米小时，则张华骑行的速度是千米小时，利用时间路程速度，结合张明比张华多用20分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出张华骑行的速度． 【解答】解：（1）设张明骑行的速度是千米小时，则张华骑行的速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， ． 答：张华骑行的速度是24千米小时； （2）设张明骑行的速度是千米小时，则张华骑行的速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：张华骑行的速度是18千米小时． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 4．（2023秋•金安区校级月考）【背景知识】 数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合． 如图1，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【问题情境】 如图2，，两点在数轴上对应的数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度秒，乙的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒． （1）　　． 【综合运用】 （2）如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，则点表示的数为 　　，此时　　． （3）如果甲、乙都向左运动， ①当为何值时，乙恰好追上甲？ ②当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 【分析】（1）根据距离公式得出结论即可； （2）列方程求出时间，然后求出相遇点即可； （3）①根据路程差是20，列方程求解即可； ②分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：20； （2）由（1）知，， 解得， ， 点表示的数为， 故答案为：；5． （3）①依题意，有， 解得； ②分两种情况， 情况一，乙追上甲之前相距5个单位长度， 根据题意得， 解得； 情况二，乙追上甲之后相距5个单位长度， 根据题意得， 解得， 综上所述，当或12.5时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 六、环形跑道与时钟问题 1．（2022秋•江汉区期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心匀速转动．（本题中的角均指小于的角）， （1）分针每分钟转 　　度，时针每分钟转 　　度，当时间为时，分针和时针的夹角为 　　度； （2）求开始后几分钟分针第一次追上时针； （3）点为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，分钟后，，求的值． 【分析】（1）根据圆周是，分别计算时针和分针的转速即可，再根据时时针和分针夹角是2.5个大格计算夹角度数即可； （2）设分钟后分针第一次追上时针，根据题意列方程求解即可； （3）根据题意分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）分针每分钟转，时针每分钟转， 时时针和分针夹角是2.5个大格， 时，分针和时针的夹角为， 故答案为：6，0.5，75； （2）设分钟后分针第一次追上时针， 由题意得，， 解得， 分钟后分针第一次追上时针； （3）①没追上之前，由题意知，， 解得， ②超过之后，由题意知，， 解得， 分钟或分钟后，． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 2．（2023秋•萧县期末）周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： 请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度． 【分析】设小明的骑行速度为米分，则爸爸的骑行速度为米分，根据距离速度差时间即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明的骑行速度为米分，则爸爸的骑行速度为米分， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小明的骑行速度为200米分，爸爸的骑行速度为400米分． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解． 七、方案选择类问题 1．（2024春•包河区期中）某单位准备购买文化用品件，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）当时，在甲超市的购物金额为 　　元；乙超市的购物金额为 　　元； （2）若时，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【分析】（1）利用总价单价数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额； （2）设购买件这种文化用品，当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）（元，， 在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为元； 故答案为：300；240； （2）购买件这种文化用品，且， 在甲超市的购物金额为（元，在乙超市的购物金额为（元， 若，则； 若，则； 若，则． 综上，当购买数量大于40且不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据两超市给出的优惠方案，用含的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键． 2．（2023秋•临泉县期末）“元旦”假期，某学校的3位老师带领名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． （1）这3位老师和名学生选择甲旅行社所需费用为 　 　元，选择乙旅行社所需费用为 　　 元；（用含的式子表示） （2）若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ （3）若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 【分析】（1）根据两个旅行社收费标准列代数式即可； （2）把代入（1）所得的代数式，再比较大小即可得到结果； （3）根据“他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样”，列方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠， 这3位老师和名学生选择甲旅行社所需费用为（元， 乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠， 这3位老师和名学生选择甲旅行社所需费用为（元， 故答案为：，； （2）把代入（1）所得的代数式， 得甲旅行社的费用为：（元， 乙旅行社的费用为：（元， ， 选择甲旅行社更划算； （3）由题意得，， 解得， 答：这3位老师共带了6名学生去游玩． 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是理解题意分别列出两个旅行社的收费代数式解题． 3．（2023秋•庐江县期末）姥山岛地处巢湖市中庙镇西南方向，全国五大淡水湖之一的巢湖之中，是巢湖中最大岛屿．姥山岛四面皆水，如同一叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿洲”，是湖天第一胜境．某校七年级2班学生计划周末去巢湖姥山游玩，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元小时 120元小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时，请解决下面问题： （1）若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ （2）若每只船均坐满，直接列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【分析】（1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程求解即可； （2）先计算出共有学生数量，再分别计算出方案一到方案四所花费用，进行比较即可得到答案． 【解答】解：（1）设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船， 根据题意，得， 解得， 答：租用了7条四座电瓶船； （2）由（1）可知，共有学生（名， 方案一：租用7条四座电瓶船，3条六座电瓶船，总费用为1060（元， 方案二：租用10条四座电瓶船，1条六座电瓶船，总费用为（元， 方案三：租用4条四座电瓶船，5条六座电瓶船，总费用为（元， 方案四：租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船，总费用为（元， ， 最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知条件找出等量关系并列出方程是解题的关键． 4．（2024春•瑶海区校级期末）学校于5月份开展了科技节，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料．已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量用2600元购买乙品牌材料数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？ （2）若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对这两种品牌材料的售价进行调整：甲品牌比上一次购买时售价提高了，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？ 【分析】（1）设购买一个甲品牌材料需要元，则购买一个乙品牌材料需要元，利用数量总价单价，结合用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即购买一个甲品牌材料所需费用），再将其代入中，即可求出购买一个乙品牌材料所需费用； （2）设该学校此次购买个甲品牌材料，则购买个乙品牌材料，利用总价单价数量，结合总价不超过5800元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一个甲品牌材料需要元，则购买一个乙品牌材料需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个甲品牌材料需要80元，一个乙品牌材料需要130元； （2）设该学校此次购买个甲品牌材料，则购买个乙品牌材料， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为28． 答：该学校此次最少购买28个甲品牌材料． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•霍邱县期中）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则　　 A． B． C． D． 【分析】男生人数女生人数．本题中，男生有人．男生人数女生人数． 【解答】解：由题意可得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 2．（2024•杜集区校级开学）小李的表每小时比标准钟慢3分钟，小张的表每小时比标准钟快3分钟．早上10点整两人把表对准．到下午某个时刻，小李的表是，小张的表是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“经过的时间相等”列方程求解． 【解答】解：设实际经过了小时， 则， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 3．（2023秋•太湖县期末）某鞋店销售某种品牌的运动鞋，去年每双可获利元，利润率为，今年进价提高了，鞋店将这种鞋的售价也相应提高，使每双仍可获利元，则今年提价后的利润率为　　 A． B． C． D． 【分析】设原来的进价为元，由进价利润率）进价利润，可得原售价，再由新进价利润率）新售价列出方程求解即可． 【解答】解：设原来的进价为元，则原售价为元， 由题意得：， 解得：， 这种商品的进价提高， 新进价为元， 设提价后的利润率为． 则， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023•临泉县校级开学）观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是　　 A．45 B．55 C．60 D．75 【分析】设正中间的数为，则另外四个数分别为，，，，可求得这五个数的和是，再假设这五个数的和分别为45，55，60，75，求出相应的的值，再进行检验，即可得到问题的答案． 【解答】解：设正中间的数为，则另外四个数分别为，，，， 这五个数的和是， 由得，， 这五个数分别为1，3，9，15，17，符合题意， 故正确； 由得，， 在第一列，不能是正中间的数， 不符合题意， 故错误； 由得，， 这五个数分别为4，6，12，18，20，符合题意， 故正确； 由得，， 这五个数分别为7，9，15，21，23，符合题意， 故正确， 故选：． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示框住的每个数及它们的和是解题的关键． 5．（2023秋•合肥期末）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费　　 A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 【分析】4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：超过60米的立方数所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以0.88即为煤气费． 【解答】解：设4月份用了煤气立方， 则， 解得：， 元， 故选：． 【点评】考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到煤气费的等量关系是解决本题的关键． 6．（2023秋•埇桥区期末）如表是2023年1月份的月历，月历中有正方形和阶梯形两个阴影图形分别覆盖其中四个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，可以重叠覆盖），设正方形覆盖的四个数字之和为，阶梯形覆盖的四个数字之和为．若，则的值可能是　　 A． B．66 C．82 D．91 【分析】先根据月历的特点设未知数列出方程，再根据条件求值． 【解答】解：设正方形覆盖的四个数字左上角为，阶梯形覆盖的四个数字的左上角为， 则， ， ， ， 则， ， ，且，16，23， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 7．（2023秋•霍邱县期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由、两个工程队先后接力完成．工程队每天维修12米，工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则工程队维修堤岸多少米？　　 A．160 B．170 C．180 D．190 【分析】设工程队维修堤岸米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【解答】解：设工程队维修堤岸米， 根据题意得：， 解得． 答：设工程队维修堤岸180米． 故选：． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．正确理解题意找到等量关系式是关键． 8．（2023秋•利辛县期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对　　道题． A．16 B．15 C．14 D．13 【分析】设他做对道，则做错或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解． 【解答】解：设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 9．（2023秋•亳州月考）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则，的值可能为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意找到规律即可解答． 【解答】解：月历横排相邻的两个数字相差1，竖排两个数字相差7， ， 整理得：， 当，时，，故不符合题意； 当，时，，故不符合题意； 当，时，，故不符合题意； 当，时，，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 10．（2023秋•涡阳县期末）10月8日，备受关注的杭州第19届亚运会圆满落幕，作为杭州亚运会官方指定功能饮料，东鹏特饮在赛场上为中国运动健儿提供能量支持，助力他们勇夺金牌、为国争光．某工厂用铝片做东鹏特饮听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套．设用张铝片制瓶身，则下面所列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由一个瓶身与两个瓶底才能配成一套，可知瓶底的个数是瓶身个数的2倍；根据这一数量关系列方程解答即可． 【解答】解：设用张铝片制瓶身，根据题意，得： ， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 二．填空题（共9小题） 11．（2023秋•舒城县校级月考）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有名快递员，则可列方程为 　　． 【分析】设该分派站有名快递员，根据“每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，以包裹总数量为等量关系列方程即可． 【解答】解：设该分派站有名快递员， 由题意得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意建立等量关系是关键． 12．（2023秋•芜湖期中）如表，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是19，则的值是 　4　． 5 10 【分析】任何相邻三个数的和都是19，得，则，所以，求得，由，求得，所以，则，即可由，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设、、、、、、、、、均表示其所在方格中的数， 任何相邻三个数的和都是19， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查等式的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，根据“任何相邻三个数的和都是19”列出等式是解题的关键． 13．（2023秋•庐阳区校级月考）已知数轴上、两点对应的数分别为、，且满足． （1）求点、两点对应的有理数是 　，3　； （2）若点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 　　秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍． 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）分点在点左侧右侧两类讨论，结合距离问题列式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）， ， ，， 解得：，， 故答案为：，3； （2）当点在点左侧时， ，， 到的距离刚好等于到的距离的2倍， ， 即：， 解得：， 当点在点右侧时， ，， 到的距离刚好等于到的距离的2倍， ， 即：， 解得：， 故答案为：或． 【点评】本题考查数轴，一元一次方程的应用，非负数的性质，解题的关键是注意分类讨论． 14．（2023秋•利辛县月考）如图，电子蚂蚁，在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形顺时针运动，同时电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形逆时针运动． （1）它们第1次相遇在点 　　； （2）它们第2023次相遇在点 　　． 【分析】设两只电子蚂蚁每隔秒相遇一次，根据正方形周长等于二者速度之和乘以时间，可求出两只电子蚂蚁相遇一次的时间，再结合电子蚂蚁的速度、出发点及运动方向可得出它们第1次、第2次、第3次、第4次、第5次相遇点，根据相遇点的变化规律可得出结论． 【解答】解：设两只电子蚂蚁每隔秒相遇一次， 根据题意得：， 解得：． 电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形作逆时针运动，2秒后它到达点，即第一次它们相遇在点， 第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点， 又， 第2023次相遇和第3次相遇地点相同，即第2023次相遇在点． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，规律型：图形的变化类，计算出相遇时间，得到相遇位置的规律，是解决本题的关键． 15．（2023秋•桐城市期中）有理数与在数轴上的位置如图，有理数对应的点为，有理数对应的点为，且，比大24． （1）点与点之间的距离为 　24　； （2）若点和点分别从点和点同时出发，相向运动，点运动的速度为4个单位，点运动的速度为2个单位，相遇前当点与点之间的距离为18时，两点运动停止，则运动时间为 　　． 【分析】（1）根据“比大24”即可得解； （2）根据“相遇前当点与点之间的距离为18时，两点运动停止”列出方程求解即可． 【解答】解：（1）根据题意知．即． （2）设运动时间为 ． 当点与点之间的距离为18时，两点运动停止，则，解得． 即当运动时间为时点和点之间的距离为18． 故答案是：（1）24；（2）1． 【点评】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键． 16．（2023秋•贵池区校级期中）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数的和都相等． 大 美 安 0 徽 （1）　3　． （2）“大美安徽”四个汉字表示的数的和为 　　． 【分析】根据幻方的特点列出徽徽，求出，按照同样的方式，分别求出“大美安徽”四个汉字表示的数，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据题意知徽徽， 解得：， 故答案为：3； （2）根据题意知，大美大， 解得：“美” ． 又由（1）知，， 对角线上三个数的和为美， 每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数的和为0， “大”表示的数为9，“安”表示的数为1，“徽”表示的数为5， “大美安徽”四个汉字表示的数的和为． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查有理数的运算及代数式，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及观察出幻方的特点列出等式． 17．（2023秋•埇桥区期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现计划由一部分人先做，然后增加6人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 　3　人工作． 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【解答】解：设应先安排人工作，根据题意得： ， 解得：， 答：应先安排3人工作． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 18．（2023秋•宣城期末）2024年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为，则这张长方形宣纸的面积为 　3888　． 【分析】根据题中宣纸的长为和边空宽、字宽、字距之比为，设边空宽、字宽、字距分别为，，，列方程求解得到宣纸宽，利用长方形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：边空宽、字宽、字距之比为， 设边空宽、字宽、字距分别为，，， 宣纸的长为，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等， ， 解得， 宣纸的宽为， 这张长方形宣纸的面积为， 故答案为：3888． 【点评】本题考查一元一次方程解应用，关键是求长方形面积，比例的应用． 19．（2023秋•包河区期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是　25或125　． 【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得两根木条的小圆孔之间的距离． 【解答】解：当与重合或与重合时，设两根木条的小圆孔之间的距离是， ， 解得，， 当与重合或与重合时，设两根木条的小圆孔之间的距离是， ， 解得，， 由上可得，两根木条的小圆孔之间的距离是或， 故答案为：25或125． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和分类讨论的方法解答． 三．解答题（共13小题） 20．（2023秋•涡阳县期末）已知数，，满足，请回答问题： （1）请直接写出，，的值：　　，　　，　　； （2）数轴上，，三个数所对应的点分别为，，，则，两点的距离可表示为　　，数轴上有一点，它表示的数为．若，则点表示的数是 　　； （3）点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为． ①当时，求的长； ②当，两点的距离为2时，求的值． 【分析】（1）由非负数的性质得，，，则，，，于是得到问题的答案； （2）由、1对应的点分别为点、点，得，由，得，则或，于是得到问题的答案； （3）①动点表示的数是，当时，，则点表示的数是13，所以； ②动点表示的数是，则，而，所以，则或． 【解答】解：（1），，，且， ，，， ，，， 故答案为：，1，5． （2）、1对应的点分别为点、点， ， 点对表示的数是，且， ， 或， 解得或， 故答案为：2，或2． （3）由题意可知，动点表示的数是，动点表示的数是， ①当时，， 点表示的数是11， ， 的长是14． ②，且， ， 或， 解得或， 的值为1或3． 【点评】此题重点考查数轴、绝对值、非负数的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识，正确地用代数式表示运动中的点所对应的数是解题的关键． 21．（2023秋•大观区校级月考）为了更好的落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组，学校用1000元从体育用品商店购入、两种款式的跳绳各40条，且购买的种跳绳的单价比种跳绳单价的2倍还少5元，求购买、两种款式跳绳的单价各是多少元？ 【分析】设购买种跳绳的单价为元，则购买种跳绳的单价元，然后根据一共花费1000元，列出方程求解即可． 【解答】解：设购买种跳绳的单价为元，则购买种跳绳的单价元， 依题意得：， 解得：， ， 答：购买种跳绳的单价为10元，购买种跳绳的单价15元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 22．（2024•宣州区校级开学）一辆轿车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，2小时后在距中点36千米处相遇．已知轿车和货车的速度比是，求甲、乙两地相距多少千米？ 【分析】设轿车的速度为千米时，则货车的速度为千米时，所以轿车、货车行驶的距离分别为千米、千米，于是列方程得，解方程求出的值，再求出甲、乙两地间的距离即可． 【解答】解：设轿车的速度为千米时， 轿车和货车的速度比是， 货车的速度为千米时， 根据题意得， 解得， （千米）， 答：甲、乙两地相距288千米． 【点评】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示轿车、货车各自行驶的距离是解题的关键． 23．（2024•铜官区开学）甲、乙两人骑自行车分别从、两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇．相遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达地．甲每小时行多少千米？ 【分析】设甲每小时行千米，根据“甲行驶1.5小时的路程千米甲继续行驶1小时的路程千米”列出方程并解答． 【解答】解：设甲每小时行千米，则： ． 解得． 答：甲每小时行12千米． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用行程问题，审清题意找到等量关系是解决问题的关键． 24．（2024•铜官区开学）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【分析】设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【解答】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． 所以． 所以（人． 答：高、初中毕业班学生一共有3000人． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 25．（2023秋•太湖县期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足． （1）求、两点之间的距离； （2）点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； （3）在（2）的条件下，动点以3个单位长度秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 【分析】（1）直接利用非负数的性质得出，的值； （2）利用已知得出，表示的数据，进而得出两点之间的距离； （3）直接利用两点运动速度得出运动时间，进而得出点运动路程，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：，， 则，， 解得：，， 、两点之间的距离； （2）点表示的数为：， 点表示的数为：， 点与点之间的距离； （3）设运动时间为秒，根据题意可得：， 解得：（秒， 相遇时点所走的路程为：， ， 两点3.6秒时相遇，相遇点表示的数为． 【点评】此题主要考查了非负数的性质以及数轴、一元一次方程的应用，正确得出对应点在数轴上位置是解题关键． 26．（2023春•谯城区校级期末）2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张 101张及以上 单价（元张） 60元 50元 40元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？ 【分析】（1）运用分别购票的费用和联合购票的费用就可以得出结论； （2）设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元”建立方程求出其解即可； （3）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买101张门票．分别求出三种方案的付费，比较即可． 【解答】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需（元， 则比各自购买门票共可以节省：（元； （2）设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工人． 依题意得：， 解得：． 则乙单位人数为：． 答：甲单位有62人，乙单位有40人； （3）方案一：各自购买门票需（元； 方案二：联合购买门票需（元； 方案三：联合购买101张门票需（元； 综上所述：因为． 故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱． 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用，解答时建立方程求出各单位人数是关键． 27．（2023秋•萧县期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物元（其中． （1）当时，顾客到哪家超市购物优惠． （2）当为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同． 【分析】（1）根据超市的销售方式先用式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用，然后将代入确定到哪家超市购物优惠； （2）由（1）得到的购物所付的费用使其相等，求出，使两家超市购物所花实际钱数相同． 【解答】解：（1）在甲超市购物所付的费用是：元， 在乙超市购物所付的费用是：元； 当时，在甲超市购物所付的费用是：， 在乙超市购物所付的费用是：， 所以到乙超市购物优惠； （2）根据题意由（1）得：， 解得：， 答：当时，两家超市所花实际钱数相同． 【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物所需的费用． 28．（2023秋•泗县期中）将连续的正整数1，2，3，4，，排列成如下的数表，用的方框框出9个数（如图）． （1）图中方框框出的9个数的和与方框正中间的数10有什么关系？ （2）将方框上下左右平移，但一定要框住数表中的9个数．若设正中间的数为，用含的代数式表示方框框住的9个数字，并计算这9个数的和． （3）能否在方框中框出9个数，使这9个数的和为270？若能，求出这9个数；若不能，请说明理由． 【分析】（1）求得图中方框框出的9个数的和，然后找到该和与10的数量关系； （2）找出所框数字上下两行间的数量关系，左右数字间的数量关系，找到规律； （3）代入270看看求出的结果是整数就可以，不是整数就不可以． 【解答】解：（1）， ， 则方框框出的9个数的和是方框正中间的数10的9倍． （2）中间的数为，则有其他的数的数值如下表： ， 故九个数的和为． （3）不能，理由如下： 个数的和为270 中间的数为30 在第5行、第6列，在边上， 无法框出这样的9个数． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解决此类问题的关键在于，找出题目中数字排列的规律，根据这个规律写出式子解决问题． 29．（2023秋•合肥月考）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？ （2）若城区四校联合购买100套队服和个足球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； （3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【分析】（1）设每个足球的定价是元，则每套队服是元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可； （2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解； （3）把代入（2）中所列的代数式，分别求得在两个商场购买所需要的费用，然后通过比较得到结论：在乙商场购买比较合算． 【解答】解：（1）设每个足球的定价是元，则每套队服是元，根据题意得 ， 解得， ． 答：每套队服150元，每个足球100元； （2）到甲商场购买所花的费用为：（元， 到乙商场购买所花的费用为：（元； （3）在乙商场购买比较合算，理由如下： 将代入，得 （元． （元， 因为， 所以在乙商场购买比较合算． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 30．（2023秋•蜀山区校级月考）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是，的3倍点，例如：如图1，点是，的3倍点，点不是，的3倍点，但点是，的3倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点　是　，的3倍点（填写“是”或“不是” ；，的3倍点是点 　　（填写或或或； （2）如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是，的3倍点，则点表示的数是 　　； （3）若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示） 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）点恰好是和 两点的3倍点，可分得或或，从而解得与的关系． 【解答】解：（1）由图可知：， 是，的3倍点， ， ，的3倍点是点， 故答案为：是，； （2）， 当点在线段上时， 点是，的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是，的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； （3），， ， 恰好是和两点的3倍点， 点是，的3倍点或点是，的3倍点 或 即：或或， 或或， 当或或时，点恰好是和两点的3倍点． 【点评】此题主要考查了对3倍点的理解和认识，解本题的关键是分清3倍点的两种不同的情况． 31．（2023秋•潜山市期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． （1）种商品每件进价为 　40　元，每件种商品利润率为 　　． （2）若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？ （3）在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 【分析】（1）设种商品每件进价为元，种商品每件售价为60元，利润率为，列方程即可求出的值；根据利润率利润成本，可以求出每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据总利润为1580元，列方程求解即可； （3）若没有优惠促销，设小明在该商场购买同样商品要付元，分两种情况讨论：①当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时和②当打折前一次性购物总金额超过600元，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）设种商品每件进价为元， 种商品每件售价为60元，利润率为， 可列方程：， 解得：， 每件种商品利润率， 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，购进种商品件， 由题意可得：， 解得：， 答：购进种商品52件． （3）若没有优惠促销，设小明在该商场购买同样商品要付元， 分两种情况讨论： ①当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时， 可列方程：， 解得：， ②当打折前一次性购物总金额超过600元， 可列方程：， 解得：， 答：若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付590或668元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系并利用方程思想求解． 32．（2023秋•黄山期末）“绿色环保，人人有责；节水用水，共创美好明天”，某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，经物价部门审核，该市2023年自来水收费的价目表如下，请根据表中的信息解答下列问题： 每月用水量 价格 价目表 不超过 3元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 6元 （1）若某用户5月份用水，则应交水费 　36　元； （2）若该用户7月份应收水费77元，则用水 　　； （3）若该用户9、10两个月共用水，共收水费93元月份用水量超过了10月份），求9月份用水量． 【分析】（1）根据题意，，每月水费的价格为3元，再计算即可； （2）当每月用水量是，应交65元，，因此设该用户7月份用水量为，再列方程求解即可； （3）设9月份用水，则10月份用水，分两种情况讨论：①当时和②当时，列方程求解即可． 【解答】解：（1）月份用水， 应交水费：（元， 故答案为：36． （2）当每月用水量是，应交45元； 当每月用水量是，应交65元； ， 设该用户7月份用水量为， 可得方程：， 解得：， 故答案为：22． （3）设9月份用水，则10月份用水， 月份用水量超过了10月份， 月份用水量大于，10月份用水量小于， ①当时， 9月份水费：， 10月份水费：， 可得：， 解得：， ②当时， 9月份水费：， 10月份水费：， 可得：， 解得：，不符合题意，舍去， 综上所述，， 答：9月份用水量是． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$