第十一章三角形 求角思想方法（四）分类讨论思想求角度 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 求角思想方法（四）分类讨论思想求角度 【分类讨论思想】 当问题情形指代不明确,可能存在多种情况时,按不同情况分类,然后再逐一研究解 决的数学思想,称之为分类讨论思想. 【题型剖析】 1．（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握角平分线的定义和三角形的内角和为180度． （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角定理得出，最后根据，即可解答； （2）根据题意，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【详解】（1）解：为的角平分线， ， ， ， 为的高， ， ； （2）解：当时，， 当时，． 2．（24-25八年级·辽宁大连·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． (1)如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； (2)是“友好三角形”，，求的度数； (3)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理求出，，再利用“友好三角形”的定义解答即可； （2）根据“友好三角形”的定义分为和两种情况讨论，根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意推出，根据“友好三角形”的定义分为六种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，即可求解． 【详解】（1）证明： 是“友好三角形”， 与互为“友好角”，， ， ， ， ， ，， 于， ， 在中，， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 在中，， ， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 和都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”，， 与(或)互为“友好角”， 若，则， ， ， ， ， 若，则， ， ； 综上所述，的度数为或； （3）点在边上，不与点，重合， ， ， ， 是“友好三角形”， ①当时， ， ， ； ②当时，（不合题意舍去）， ③当时，， （不合题意舍去）； ④当时，，（不合题意舍去）； ⑤当时，，，符合题意， ； ⑥当时，， ， （不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1)________． (2)若，求证：为“智慧三角形”． (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或或或 【分析】（）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）求出的度数，得到，据此即可求证； （）由可得，再分、、、、和六种情况解答即可求解； 本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）证明：∵，， ， ， 为“智慧三角形”； （3）解：∵， ， ∵为“智慧三角形”， ①、当时，， ； ②、当时，， ∵， ∴此种情况不存在； ③、当时， 则， ， ； ④、当时，， ， ； ⑤、当时，， ； ⑥、当时， 则， ， ∴此种情况不存在； 综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 4．（24-25八年级·江西·阶段练习）在中，，平分交于点，为射线上一动点，过点向射线的右侧作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，若，当点在的延长线上时，求的度数； (2)若点在线段上，且与不重合时，直接写出的度数（用含式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、平行线的性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． （1）首先解得的值，结合角平分线的定义可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，再求得的值，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）分点在线段上和当点在线段上两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）当点在线段上时，如下图， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如下图， 此时的平分线与射线没有交点． 综上所述，的度数为． 5．（24-25八年级·江西南昌·阶段练习）解答题 【概念认识】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图1，，，是的“三分线”，则______； （2）如图2，在中，，，若的“三分线”交于点，则_____________； （3）如图3，在中，，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”，且，求的度数； 【延伸推广】 （4）在中，是的外角，的“三分线”所在的直线与的“三分线”所在的直线交于点．苦，，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）的度数是或或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，数形结合，准确运用分类讨论思想分析是解题的关键． （1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可； （2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案； （3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】解：（1），，是的“三分线”， ， ， 故答案为：； （2）如图， 当是“邻三分线”时， ，， ； 当是“邻三分线”时， ，， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （3）如图， ∵， ， 、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， ； （4）分为四种情况： 情况一：如图， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 情况三、 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，如图， 由外角可得：， ； 当时，如图， 由外角及对顶角可得：， ； 情况四、如图， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 综合上述：的度数是或或或或． 6．（24-25八年级·广东佛山·阶段练习）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分, (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：； (3)如图3，过点C作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点N，与交于点M．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，准确识别各角之间的关系是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线定义求出和，然后利用三角形内角和定理计算即可； （2）根据角平分线定义求出，利用三角形外角的性质可得，结合已知证明，再根据平行线的判定得出结论； （3）由题意可知，分两种情况：①当时，②当时，先分别求出，再利用三角形外角的性质求出，然后根据角平分线定义计算即可． 【详解】（1） ,， ， 平分，平分, ，， ， （2）证明： 平分，平分, ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）分情况讨论：①当时， ∵，即， ∴， ∴， ∵是的外角平分线所在直线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分, ； ②当时， ∴， ∵是的外角平分线所在直线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 综上，的度数为或． 7．（24-25八年级·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 【答案】（1），理由见解析；（2）图见解析，或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （2）画出符合条件的图形，根据图形和（1）的结论解答即可． 【详解】解：（1）结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （2）如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 8．（24-25八年级·福建厦门·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 9．（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（A，B，C不与点O重合），连接，连接交射线于点D，设． (1)如图1，若， ①的度数是_________； ②当时，的度数是_________； 当时，的度数是_________； (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 【答案】(1)①； ②， (2)的值是或或 【分析】（1）①先利用角的平分线的定义，得到，再根据两直线平行，内错角相等，等量代换求得的度数即可； ②当时，根据①得，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得，结合；当时，根据①得，，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得，结合解答即可； （2）利用分类思想，分；三种情况解答即可． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴， ∵， ∴； ②当时， 根据①得， ∵， ∴； ∴， ∴； 当时，根据①得，， ∵， ∴； ∴， ∴， 故答案为：①； ②，； （2）①当时，如图， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点C在F左边，时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； ③当点C在F右边，时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； 综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，垂直的定义，直角三角形的性质，角的平分线定义，分类思想．本题利用角平分线的定义，三角形内角和定理求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 10．（24-25八年级·江苏泰州·期中）已知点，分别在和上，且． (1)如图，若，，则的度数为_____； (2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变； 【分析】（1）过点作，则，利用平行线的性质，进行求解即可； （2）延长交于点，设交于点，设，利用平行线的性质，外角的性质推出，，求出，即可得出结果； （3）分点在点左侧和右侧两种情况分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，设交于点， ∵平分，平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在点左侧时：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点右侧时：如图，过点作， 设：，， 同法可得：， ， ∴， ∴； 综上：与之间的关系不发生改变． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角等知识点，解题的关键是过拐点构造平行线，利用数形结合和分类讨论的思想求解． 11．（24-25八年级·江苏泰州·期中）中，，，点，分别是边，上的点（不与、、重合），点是射线上一动点（不考虑与、重合），连接，，画出图形，探索、、之间的数量关系． 【答案】或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，对顶角的定义，解题的关键是分类讨论，正确作出辅助线．分四种情况讨论：当在线段上时，连接；当、、三点共线时；当在的右边时，延长交于点；当在的左边时，设与相交于点，延长交于点；根据三角形的外角性质和对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图，当在线段上时，连接， ，，，， ， ； 如下图，当、、三点共线时，则， 是的外角， ， ，， ， ； 如下图，当在的右边时，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 即； 如下图，当在的左边时，设与相交于点，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ，， ， 即； 综上所述，、、之间的数量关系为：或或或． 12．（24-25八年级·河南郑州·期中）如图1，，，，求的度数． （1）下面是小明同学的解答过程，请你补充完整； 解：过点P作， ∵，， ∴．（_________） ∴， 又∵，（已知）， ∴_________，_________， ∴_________． 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、C两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】 （3）在（2）的条件下，如果点P在C、B两点外侧运动时（点P与点C、B、O三点不重合），请你直接写出与、之间有何数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行，，，；（2），理由见解析；（3）当P在延长线上时，；当P在延长线上时，． 【分析】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质和判定的应用，三角形外角的性质，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图，过作交于，根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）如图所示，当在延长线上时，当在延长线上时，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论． 【详解】解：（1）下面是小明同学的思考过程，请你补充完整； ，， （平行于同一条直线的两直线平行）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 又，（已知）， ，， ． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行，，，； （2）， 理由：如图，过作交于， ， ， ，， ，， ； （3）如图所示，当在延长线上时，过作， ， ， ，， ，， ； 如图所示，当在延长线上时，过作， ， ， ，， ，， ； 综上所述，与、的关系为或． 13．（24-25八年级·江苏淮安·期末）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 【答案】(1) (2)的值不会变化，理由见详解 (3)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的的性质，解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，这个值不会变化，理由如下， 由（1）可知，， ∵，， ∴，即是定值， ∴，不会发生变化； （3）解：当时，如图所示， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； 当时，如图所示，设， 由（2）可知，（Ⅰ）， ∵，平分， ∴，即是等腰三角形， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴②， 把②代入①得，，整理得，（Ⅱ）， 由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，， 解得，， ∴； 当时，如图所示， 同理，是等腰三角形，，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时，， ∵， ∴，即， ∴该种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或或． 14．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图1，点分别在直线上，． (1)求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索） (2)如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）延长交于点，再根据平行线的判定与性质求证即可； （2）延长交于点，交于点，利用三角形外角性质得到得到，结合平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论； （3）根据点在射线上，分当在直线下方时和当在直线上方时，两种情况，根据上述情况作出草图，并结合平行线性质、三角形外角性质、以及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：如下图，延长交于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如下图，延长交于点，交于点， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ； （3）解：或，理由如下： 当在直线下方时，如图，设射线交于点， ， ， 平分， ， ， ，， ， ，， ， 即， 解得：， 当在直线上方时，如下图： 同理可证得， 则有， 解得：， 综上所述，的度数为或， 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 15．（24-25八年级·辽宁大连·期末）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①延长交于点N，连接，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况进行讨论：当在之间时，当G在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点N，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在之间时，连接，如图所示： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当G在上时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质． 16．（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，，于点． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，点在射线上，平分，平分，直线、交于点，求的度数； (3)如图3，的平分线交于点，点在射线上运动（点不与点、重合），点在直线上，比大，若，则______． 【答案】(1)40 (2) (3)或或或 【分析】（1）过O作，利用平行线的传递性可得，利用平行线的性质得出，，利用角的和差关系可得出，然后代入相关角的度数求解即可； （2）解：过O作，过P作，利用平行线的传递性可得，利用平行线的性质得出，，利用角的和差关系可得出，由（1）可知，又，可求，结合角平分线的定义可得出，即可求解； （3）分Q在线段上，F在线段上；Q在线段上，F在线段延长线上；Q在线段延长线上，F在线段上；Q在线段延长线上，F在线段延长线上，四种情况讨论即可。 【详解】（1）解：过O作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：过O作，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又比大， ∴， ①当Q在线段上，F在线段上，如图，过Q作， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当Q在线段上，F在线段延长线上，如图，过Q作， 同（1）可得； ③当Q在线段延长线上，F在线段上，如图，过Q作， 同（1）可得； ④当Q在线段延长线上，F在线段延长线上，如图，过Q作， 同①可求，， ∴， 综上，的度数为或或或， 故答案为：或或或. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键. 17．（24-25八年级·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 求角思想方法（四）分类讨论思想求角度 【分类讨论思想】 当问题情形指代不明确,可能存在多种情况时,按不同情况分类,然后再逐一研究解 决的数学思想,称之为分类讨论思想. 【题型剖析】 1．（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 2．（24-25八年级·辽宁大连·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． (1)如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； (2)是“友好三角形”，，求的度数； (3)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 3．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1)________． (2)若，求证：为“智慧三角形”． (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 4．（24-25八年级·江西·阶段练习）在中，，平分交于点，为射线上一动点，过点向射线的右侧作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，若，当点在的延长线上时，求的度数； (2)若点在线段上，且与不重合时，直接写出的度数（用含式子表示）． 5．（24-25八年级·江西南昌·阶段练习）解答题 【概念认识】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图1，，，是的“三分线”，则______； （2）如图2，在中，，，若的“三分线”交于点，则_____________； （3）如图3，在中，，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”，且，求的度数； 【延伸推广】 （4）在中，是的外角，的“三分线”所在的直线与的“三分线”所在的直线交于点．苦，，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 6．（24-25八年级·广东佛山·阶段练习）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分, (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：； (3)如图3，过点C作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点N，与交于点M．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 7．（24-25八年级·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 8．（24-25八年级·福建厦门·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 9．（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（A，B，C不与点O重合），连接，连接交射线于点D，设． (1)如图1，若， ①的度数是_________； ②当时，的度数是_________； 当时，的度数是_________； (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 10．（24-25八年级·江苏泰州·期中）已知点，分别在和上，且． (1)如图，若，，则的度数为_____； (2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由． 11．（24-25八年级·江苏泰州·期中）中，，，点，分别是边，上的点（不与、、重合），点是射线上一动点（不考虑与、重合），连接，，画出图形，探索、、之间的数量关系． 12．（24-25八年级·河南郑州·期中）如图1，，，，求的度数． （1）下面是小明同学的解答过程，请你补充完整； 解：过点P作， ∵，， ∴．（_________） ∴， 又∵，（已知）， ∴_________，_________， ∴_________． 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、C两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】 （3）在（2）的条件下，如果点P在C、B两点外侧运动时（点P与点C、B、O三点不重合），请你直接写出与、之间有何数量关系． 13．（24-25八年级·江苏淮安·期末）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 14．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图1，点分别在直线上，． (1)求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索） (2)如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数． 15．（24-25八年级·辽宁大连·期末）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 16．（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，，于点． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，点在射线上，平分，平分，直线、交于点，求的度数； (3)如图3，的平分线交于点，点在射线上运动（点不与点、重合），点在直线上，比大，若，则______． 17．（24-25八年级·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$