第十一章三角形 求角思想方法（三）方程思想求角度2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 求角思想方法（三）方程思想求角度 【方程思想】 通过设未知数建立方程解决问题的思想方法. 【题型剖析】 1.（24-25八年级·重庆巫山·期中）在直角三角形中，，则的值是     A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】设A、B、的度数分别为、、， 当为直角时，，解得， 当为直角时，，解得， 故选C． 2.（24-25八年级·天津东丽·期中）数学活动课上，三杰同学用硬纸板剪了两个三角形，并按如图所示的方式重叠摆放在一起，测得，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设，，的度数分别为，，，  则， 解得． ， ． 3.（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在中，点在上，点，在上，点在的延长线上，且，，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设，，则，，， ， ， ， ， 故选：． 4.（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，中，，点，分别在边，上，，，的平分线与的平分线交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：平分， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选： 5.（24-25八年级·湖南怀化·期中）如图，在中，，为边上的一点，点在边上，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设，，是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ，． 6. （24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，和相交于点，，，、分别平分和若，则的度数是          ． 【答案】  【解析】解：、分别平分和， ，， 设，，则，， ，，， ， 在和中，，，， ， ，，， ，即， ， ， ， 解得：， 即， ， ， ， ，得， ， 故答案为：． 7.（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是_________用含的式子表示． 【答案】．  【解析】解：设 ． ． ． 可得． 故答案为：。 8.（24-25八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，于点，求的度数． 【答案】解： 平分，  设， ， ， ， ， ． ， ． 9.（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，，相交于点，，的平分线相交于点． 探求与，有何等量关系，并说明理由 当时，求的值． 【答案】解：如图所示， 为的平分线，为的平分线， ，， ，， ， ； 当：：：：时，设，则，， ， ， ． 10.（24-25八年级·天津东丽·期中）已知在中，，点在的内部连接，，且，． 如图，求的度数； 如图，延长交于点，延长交于点，若，求的度数． 【答案】解：， ， 又，， ，， ， ； 设，则， ， ， 是的外角，是的外角， ，， ， 解得， ．  11.（24-25八年级·湖北黄冈·阶段练习）已知：点在射线上，． 如图，若，求证：． 如图，若，与交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； 如图，在的条件下，过点作交射线于点，当，时，直接写出的度数为____． 【答案】解：如图， ， ， 又， ， ； ． 证明：如图，设与交点为， 是是外角， ， ， ， 中，， ， 又， ； 如图，设，则， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又，， ， 中，． 故答案为：． 12.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点 若，，则 ， ； 若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； 若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：，； 解：， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ． 由可知不变， ． 争：设， 由可知，． ， 可分类讨论：当时， ， 解得：， ； 当时， ， 解得：， ； 当时， ， 解得：， ； 当时， ， 解得：， ． 综上可知或或或． 13．（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，在中，的平分线交于点D．作交于点E． (1)求证：； (2)点M为射线上一点（不与点A重合）连接，的平分线交射线于点N．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，结合题意得出，即可得证； （2）分两种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时，分别画出图形，依据图形中，角之间的相互关系，转化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由内角和定理得：， 解得：， ∴； 如图，当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由内角和定理得：， 解得：， ∴； 综上所述，的度数为或． 14．（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知 ，E为直线上一点． (1)如图1，点G在直线上，若，，则的度数是___________； (2)如图2，Q为上一点，连接．若、分别平分、，的延长线交于点P，且，，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，N为射线上一点，连接，在直线的下方作，交的延长线于点M．直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）过F点作直线，则．由平行线的性质可得，，进而可求出的度数． （2）设，则，．由平行线的性质和三角形外角定理可得， ，由此可得，即可求出x的值，进而可得的度数，由平行线的性质可得的度数，由分别平分即可求出的度数． （3）延长交于H ．然后分两种情况讨论：①当N点在H点左侧时， ②当N点在H点右侧时．设，根据平行线的性质和三角形外角的性质将和用含有x的代数式表示出来，即可得到与之间的数量关系． 【详解】（1）解：过F点作直线， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： （2）解：， ∴设，则，， ， ， ∵分别平分， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ∵分别平分， ． （3）解：延长交于H ． ①如图，当N点在H点左侧时，过F点作直线． ， ， ，， 设， 则， ， 又， ， ． ②如图，当N点在H点右侧时，过F点作直线． ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 综上，与之间的数量关系为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 15．（24-25八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①延长交于点N，连接，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况进行讨论：当在之间时，当G在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点N，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在之间时，连接，如图所示： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当G在上时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质． 16．（24-25八年级·江苏泰州·期中）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． 17．（24-25八年级·重庆巫山·期中）综合与探究，问题情境：综合实践课上，数学老师组织同学们开展了探究三个角之间数量关系的数学活动．已知：三角形的内角和为， ，直线分别与直线、交于点F、G． (1)如图1，点E在线段上，，求的度数？ (2)如图2，是的角平分线，是的角平分线所在直线，与交于点Q，试探究与的数量关系？ (3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，求的度数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点． （1）过点E作．证明，可得结论； （2）延长交于点K，在的延长线上取一点P，设 ，．用x，y表示出 ，，可得结论． （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出x的值再通过三角形内角和求． 【详解】（1）解：过点E作． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：延长交于点K，在的延长线上取一点P， 设，． 同法可证， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， 设，则， ∵，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 求角思想方法（三）方程思想求角度 【方程思想】 通过设未知数建立方程解决问题的思想方法. 【题型剖析】 1.（24-25八年级·重庆巫山·期中）在直角三角形中，，则的值是     A. B. C. 或 D. 或 2.（24-25八年级·天津东丽·期中）数学活动课上，三杰同学用硬纸板剪了两个三角形，并按如图所示的方式重叠摆放在一起，测得，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 3.（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在中，点在上，点，在上，点在的延长线上，且，，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 4.（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，中，，点，分别在边，上，，，的平分线与的平分线交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.（24-25八年级·湖南怀化·期中）如图，在中，，为边上的一点，点在边上，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6. （24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，和相交于点，，，、分别平分和若，则的度数是          ． 7.（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是_________用含的式子表示． 8.（24-25八年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，于点，求的度数． 9.（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，，相交于点，，的平分线相交于点． 探求与，有何等量关系，并说明理由 当时，求的值． 10.（24-25八年级·天津东丽·期中）已知在中，，点在的内部连接，，且，． 如图，求的度数； 如图，延长交于点，延长交于点，若，求的度数． 11.（24-25八年级·湖北黄冈·阶段练习）已知：点在射线上，． 如图，若，求证：． 如图，若，与交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； 如图，在的条件下，过点作交射线于点，当，时，直接写出的度数为____． 12.（24-25八年级·天津东丽·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点 若，，则 ， ； 若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； 若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 13．（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，在中，的平分线交于点D．作交于点E． (1)求证：； (2)点M为射线上一点（不与点A重合）连接，的平分线交射线于点N．若，，求的度数． 14．（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知 ，E为直线上一点． (1)如图1，点G在直线上，若，，则的度数是___________； (2)如图2，Q为上一点，连接．若、分别平分、，的延长线交于点P，且，，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，N为射线上一点，连接，在直线的下方作，交的延长线于点M．直接写出与之间的数量关系． 15．（24-25八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 16．（24-25八年级·江苏泰州·期中）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 17．（24-25八年级·重庆巫山·期中）综合与探究，问题情境：综合实践课上，数学老师组织同学们开展了探究三个角之间数量关系的数学活动．已知：三角形的内角和为， ，直线分别与直线、交于点F、G． (1)如图1，点E在线段上，，求的度数？ (2)如图2，是的角平分线，是的角平分线所在直线，与交于点Q，试探究与的数量关系？ (3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，求的度数？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$