第四章指数函数、对数函数章末复习测试题-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

第四章指数函数、对数函数章末测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，，的零点分别为则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数,则(    ) A． B．10 C． D． 3．下面四个不等式中不正确的为 A． B． C． D． 4．已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知且，，则的值为（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 二、多选题 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 三、填空题 9．已知定义域为R的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为 . 10．设函数，则 ，若，则= . 11．计算；= ． 12．设函数的定义域为，值域为，若的最小值为，则实数a的值为 ． 四、解答题 13．已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 14．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 15．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16．求下列各式的值： （1）； （2） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D D D BC ABD 1．B 【分析】作出函数图像，根据图像交点的横坐标判断即可. 【详解】由题知得，即为函数与函数交点的横坐标， 同理可知为函数与函数交点的横坐标， 为函数与函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图像， 由图像交点可得. 故选：B 2．A 【分析】代入到函数解析求解即可. 【详解】由题意得． 故选：A． 3．B 【解析】A，利用三角函数线比较大小；B，取中间值1和这两个数比较；C，利用对数函数图象比较这两个数的大小；D，取中间值1和这两个数比较． 【详解】解：A，如图，利用三角函数线可知，所对的弧长为，， ∴，A对； B，由于,，B错； C，如图，，则，C对； D，，D对； 故选：B． 【点睛】本题主要考查比较两个数的大小，考查三角函数线的作用，考查指对数式的大小，属于基础题． 4．D 【分析】首先根据对数函数的性质令对数的真数为，即可求出函数过定点坐标，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误； 因为、，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号. 故选：D 5．D 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性确定a，b，c的范围，再比较大小. 【详解】因为，，， 所以 故选：D 【点睛】本题主要考查指数，对数比较大小，还考查了指数函数，对数函数的单调性，属于基础题. 6．D 【分析】根据已知条件求出的值，从而可求出的值 【详解】由得， 所以，所以， 因为，所以， 故选：D． 7．BC 【分析】构造函数，由其单调性得出，可判断A，进而由指数和对数函数的单调性判断B、C，再结合不等式性质判断选项D. 【详解】不等式可化为， 构造函数，由函数单调性法则易知函数在上单调递减. 由可知，，故选项A错误； 因为，所以，，故选项B、C正确； ，因为，所以，所以，故选项D错误. 故选：BC 8．ABD 【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D. 【详解】令，则， 对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确； 对于选项B：因为，的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减， 所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 9．2 【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和 的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值. 【详解】因为是奇函数，所以，又因为函数 的周期为2， 所以， 在同一坐标系中作出函数和的图象（如图）， 观察图象可知和的图象在 上有五个交点， 而函数在区间 （且）上有至少有5个零点， 所以，所以的最小值为. 故答案为：2. 10． 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则和运算性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以； 若， 当时，令，解得，此时，不符合题意，舍去； 当时，令，解得，符合题意， 综上可得，. 故答案为：；. 11． 【分析】根据指对数的运算性质即可. 【详解】 故答案为： 12． 【解析】根据，值域为得到函数的单调性，然后再由 要最小，确定定义域求解. 【详解】因为，值域为 所以在上递减，在上递增， 因为要最小， 所以函数的定义域只能是或， 因为， 所以定义域为， 所以， 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 13．9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解． 【详解】将代入得，，则，解得或（不合题意舍去）， 所以，又点为此函数图象上， 所以，则． 14．(1)是，1； (2)； (3). 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； （3）作出的图象，结合图象可解. 【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数 ，使得（其中）， 即， ，且为增函数， 对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，； （2）可得的定义域为， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， ， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根，故只需时仅有1个根. 当时，，符合题意， 当时，若对称轴， ，且， 在上单调递减，上单调递增， 则一定存在使得有两个根，舍去； 若对称轴，则无解，舍去； 若对称轴，则在上必须单调递减，且， ，解得； 当时，对称轴， 且， 时，，无解； 当时，单调递减且， 因此仅有1个根，符合题意. 综上，实数的取值范围是； （3）当时，； 当时，，其中为双勾函数， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故 对于任意要有5个根， ，作出函数的图像，如下图： 要使有5个根，需， 又，解得， 所以正实数的取值范围. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数k，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）通过解对数不等式求得正确答案. （2）通过解对数方程，利用换元法以及根与系数关系求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，，可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2），可得， 即有两个不相等的实数根， 令，则有两个不相等的正实数根， 所以，可得， 解得. 16．（1）（2） 【分析】（1）根据指数运算与对数运算的性质进行化简求值，可得答案； （2）由对数运算的性质进行化简求值，可得答案. 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查指数运算和对数运算，熟悉其运算规律是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$