第四章概率与统计综合测试卷-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章 概率与统计 综合测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则两人各射击一次，均没中靶的概率是（ ） A．0.6 B． C． D．0.3 2．假设有两个变量X和Y，它们的取值分别为，和，，其列联表为 总计 a b c d 总计 以下各组数据中，对于同一样本能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是（    ） 参考公式：，． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（    ）. A． B． C． D． 4．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 5．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，） 支持 不支持 男生 女生 通过计算有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为（    ） 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．15 B．65 C．16 D．66 6．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 7．以下四个命题中，说法正确的是（    ） A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 B．在判断一对分类变量是否具有关联性时，计算，那么我们有99.9%的把握认为这两个分类变量是有关的 C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1 8．已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则（    ） X/百万 0 2 P 0.2 m 0.6 Y/百万 0 1 2 P 0.3 0.4 n A． B．投资两种项目的收益期望一样多 C．， D．投资A项目的风险比B项目高 三、填空题 9．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为 . 10．某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 . 11．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. （1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是 （2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为 . 12．设随机变量，若，则实数a的值为 ． 四、解答题 13．目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看． (1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率； (2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为． ①判断为何值时，最大； ②记，求． 14．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 15．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为15. (1)求该校报考飞行员的总人数； (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过65公斤的学生人数，求的分布列及数学期望. 16．2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据： 上春晚次数x（单位：次） 1 2 4 6 8 粉丝数量y（单位：万人） 5 10 20 40 80 (1)若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程（精确到整数）； (2)试根据此方程预测该演员上春晚10次时的粉丝数； ，． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D B D C ABC ABD 1．D 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲不中靶概率为，乙不中靶概率为，因此两人均没中靶的概率为， 故选：D 2．B 【分析】通过逐个计算，取最大的一组可得X和Y有关系的可能性最大 【详解】对于A，，对于B，， 对于C，，对于D，， 因为，所以选项B中的数据能说明X和Y有关系的可能性最大， 故选：B 3．D 【分析】设第1次抽到理科题的事件为A，第2次抽到理科题的事件为B，分别求得 ，代入公式求解. 【详解】设第1次抽到理科题的事件为A，第2次抽到理科题的事件为B， 所以 , 所以第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为, 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．B 【分析】根据分布列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，得. 故选：B 5．D 【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 所以， 即， 因为函数在时单调递增， 且，，， 所以的最小值为16， 所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为. 故选：D. 6．C 【分析】根据题意结合线性相关关系的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：两个变量为函数关系，不是线性相关关系，所以A错误； 对于选项B：所有点不是在一条直线附近波动，不是线性相关关系，故B错误； 对于选项C：对于两个变量x，y，y随着x的增加而减少， 且所有点都在一条直线附近波动，所以具有线性相关关系，故C正确； 对于选项D：两个变量不具有相关性，故D错误． 故选：C. 7．ABC 【分析】利用相关系数、分类变量、残差图、相关系数的知识点逐个判断即可. 【详解】对于选项A: 当越接近于1，拟合效果越好, 若, 则 , 则拟合效果更好, 故A正确; 对于选项B: 在研究两个分类变量间是否有关时，计算，而对应的，则有99.9%的把握认为这两个分类变量是有关的，故B正确; 对于选项C: 残差图是一种散点图, 若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明选用的模型比较合适, 这样的带状区域宽度越窄, 模型拟合精度越高，故C正确; 对于选项D: 叫做变量与之间的样本相关系数, 越接近0，相关程度越小，绝对值越接近 1 , 相关程度越大, 故D错误. 故选：ABC. 8．ABD 【分析】根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得. 【详解】依题意可得，所以， ，所以，所以，故A正确； 所以，则，故C错误； ，所以，故B正确； 因为 ， 即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确； 故选：ABD. 9． 【分析】由题意可知该问题属于超几何分布，代入其公式计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，任意抽取个共有种抽法， 则其中恰好有个二等品的抽法共有种， 因此任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为. 故答案为： 10．75 【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案. 【详解】由题意可知，且, 则， 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为， 故答案为：75 11． 0.7/ 0.8/ 【分析】（1）由全概率公式可得答案； （2）由可得答案. 【详解】设表示枪已校正，表示射击中靶， ， （1）； （2）. 故答案为：①0.7；②0.8. 12． 【分析】根据正态分布的对称性可求. 【详解】由题可得随机变量满足正态分布，对称轴， 若，则，解得. 故答案为：. 13．(1) (2)①；② 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概率，然后利用对立事件的概率，即可求解； （2）①由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小，即可求解； ②因为，所以可能取值为1或，然后结合①分别求出和的概率代入，即可得解. 【详解】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为， 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为. （2）①由已知服从二项分布，所以， 由， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，最大. ②因为，所以或， 当时，， ， 当时，， ， . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，得到最大时的取值；由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. 14．（1）；（2）分布列见解析，. 【分析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，求出， 抽到礼品果的个数，由概率公式可得答案； （2）用分层抽样得到精品果和非精品果个数，精品果的数量，所有可能的取值为0，1，2，计算出相应的概率可得答案. 【详解】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，则， 现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为，则， ∴恰好有2个水果是礼品果的概率为． （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个， 非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量， 所有可能的取值为0，1，2， 则，，． ∴的分布列为 0 1 2 所以，． 15．(1)60人 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据前3组的频率之比设出前3组的频率，根据频率分布直方图中的数据计算后两组的频率，根据频率和为1，计算出各组的频率，利用第2 组的频数为15，计算总人数；（2）利用直方图求出体重超过65公斤的学生的频率，写出的可取值，符合二项分布，根据二项分布数学期望公式求出数学期望. 【详解】（1）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为 则解得， ∵第2小组的频数为15，频率为， ∴该校报考飞行员的总人数为：（人）． （2）体重超过65公斤的学生的频率为 ∴的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 由于，． 16．(1) (2)89万人 【分析】（1）利用公式求出可得回归方程； （2），代入计算，从而预测该演员上春晚次时的粉丝数． 【详解】（1）由题意可知，，，， 所以， 所以， 所以； （2）当时，， 即该演员上春晚10次时的粉丝数约为89万人． 学科网（北京）股份有限公司 $$