精品解析：湖北省宜昌市伍家岗区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024年秋季学期九年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ） A. －2 B. 0 C. 3 D. 5 4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 7. 若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的根是______． 12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________． 13. 在二次函数中，当时，则y的取值范围是_____________． 14. 如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是__________． 15. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为______. 三、解答题：本大题共9小题，共75分． 16. 解方程：． 17. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 18. 已知顶点为的抛物线经过点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）连接，求的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 21. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值； （3）将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围． 22. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 23. 四边形和四边形均为正方形，连接、． （1）如图1，E在上，G在延长线上，求证：； （2）正方形绕点B旋转，请仅就图2的情形探究和之间的位置关系和数量关系； （3）已知，，连接，在正方形绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求的长． 24. 已知抛物线L：（m为常数），顶点为M． （1）求M的坐标（用含m的式子表示）； （2）若抛物线L与直线有唯一公共点P，求的长． （3）如图，若抛物线L的对称轴为y轴，顶点为C，过y轴正半轴上一定点F（点F在点C上方）的任意直线交抛物线L于点A，B，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，E，连，． ①直接写出抛物线L的解析式； ②若记，，的面积分别为，，，当为定值时，求定点F坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期九年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ） A. －2 B. 0 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据△=，验证是否在范围内即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴△=， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的运用是解题的关键． 4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边， 得到x2+4x=1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 得到x2+4x+4=1+4 配方得（x+2）2=5． 故选：A． 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：， ∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：B 6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 【答案】C 【解析】 【详解】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 7. 若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，化简代入求值即可． 【详解】和为一元二次方程的两个根 ． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出是解题的关键． 8. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴该函数的对称轴为x=-1 ∴当x＜-1，y随x的增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小 ∵-1＜1＜2 ∴y1＞y2 ∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2 ∴y3＞y1 ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系以及函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 9. 已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 10. 线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，设C点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，米；当时，米，则米，从而确定她至少走的路程． 【详解】解：设C点为的黄金分割点， 当时，如图， 根据黄金分割点的定义得，， 即，， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴米； 当时，同理可得，米， ∴米， ∵ ∴主持人至少走米才最理想． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度为，则根据平移的性质得草坪是一个长为，宽为的矩形，根据其面积为，可得方程，解方程即可． 【详解】设小路的宽度为，则由题意可得： 解方程，得：， 当时，，不合题意，舍去 所以 故答案为：． 13. 在二次函数中，当时，则y的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，当有最大值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与轴交于负半轴， ， ， ，故①错误； 观察图象得：，， ， ，故②正确； 观察图象得：当时时，， ，故③正确； 图象经过点和，， ，， ，即， ， ，故④正确； 正确的有②③④． 故答案为：②③④． 15. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于． ，， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本大题共9小题，共75分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，． 17. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 【答案】；方程的另一根是5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为． ∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得； 又由一元二次方程根与系数的关系知：， 解得． 即方程的另一根是5． 18. 已知顶点为的抛物线经过点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理逆定理，三角形的面积， （1）根据顶点坐标可设二次函数解析式为，再将带入即可求出a的值； （2）先根据二次函数的解析式求出点D的坐标，分别计算出，根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再根据面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 把带入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：，化解得； 【小问2详解】 解：当时，， 解方程得，， ∴，， 如下图所示， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 20. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）， （2）此时水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上， 理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； 【小问2详解】 解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； 【小问3详解】 略 21. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值； （3）将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），, （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的平移，中心对称的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）分别令，求出的值，令，求出的值，即可得出的坐标； （2）根据平移的性质得出，再根据中心对称的性质得出，代入，求出的值； （3）运用配方法求出的顶点坐标为，由折叠得新抛物线的顶点坐标为，根据直线与新图象有四个交点可得出的取值范围 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 解得，， ∴，, 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 又将点C向左平移个单位长度得到点D， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 把点代入，得： ， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以，； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后图象的顶点坐标为，如图， ∴直线与新图象有四个交点时，． 22. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 23. 四边形和四边形均为正方形，连接、． （1）如图1，E在上，G在延长线上，求证：； （2）正方形绕点B旋转，请仅就图2的情形探究和之间的位置关系和数量关系； （3）已知，，连接，在正方形绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ （2） ，， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ ∴， 设交于点，交于点，如图所示， ∵ ∵， ∴ ∴，即， （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得即可证明 （2）同理证明得出，，设交于点，交于点，根据全等的性质等量代换得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，分别画出图形，证明，得出，设，勾股定理建立方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当在正方形内部时，连接， ∵ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设， 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 在中，； 当在正方形外部时，连接， 同理可得， 设， 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 在中，； 综上所述，当C、E、G三点共线时，的长为或 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理；熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 24. 已知抛物线L：（m为常数），顶点为M． （1）求M的坐标（用含m的式子表示）； （2）若抛物线L与直线有唯一公共点P，求的长． （3）如图，若抛物线L的对称轴为y轴，顶点为C，过y轴正半轴上一定点F（点F在点C上方）的任意直线交抛物线L于点A，B，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，E，连，． ①直接写出抛物线L的解析式； ②若记，，的面积分别为，，，当为定值时，求定点F坐标． 【答案】（1）M的坐标是 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式配方，进而得出结果； （2）将和抛物线的解析式联立，进而得出，根据抛物线与直线有唯一公共点得出，从而得出的值，从而得出的顶点坐标M和点，从而得出； （3）①根据抛物线的对称轴是轴时，，从而得出抛物线的解析式为． ②设过点的直线解析式为：，由得，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而表示出，设，整理得，，根据是定值，是定值，求得和的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴M的坐标是； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， ∵抛物线与直线有唯一公共点， ， ， ， ∴M的坐标是， 当时，， ∴点的坐标是， ； 【小问3详解】 解：①∵抛物线的对称轴是轴， ∴， ∴抛物线的解析式为． ②设过点的直线解析式为：， 由得，， ， ， ， 设 整理得，， ∵是定值，是定值， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法求二次函数的顶点坐标，一次函数和二次函数交点与其函数关系式之间的关系，一元二次方程根与系数的关系等知识，解决问题的关键是能正确理解题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $