精品解析：贵州省黔东南州从江县宰便中学2024-2025学年 九年级上学期期中质量监测数学试卷

从江县宰便中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意； B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意； C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意； D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（−x，−y），然后直接作答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点和点关于原点对称，则m=-2， 故选：B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形． 3. 开口向上，顶点坐标为的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用顶点式结合抛物线的开口方向可求得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴， 故选B． 【点睛】考查二次函数的顶点式：顶点坐标为对称轴为： 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为，即． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程没有一次项，则的值等于（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有一次项， ∴ ∴， 故选：C． 6. 已知抛物线经过点，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点坐标的求解等，解题的关键在于根据a≠0求出b的值．根据点和得到的值，再根据抛物线与轴有交点，进而求解． 【详解】将代入抛物线中， 得到： 化简得： 即抛物线为： 抛物线与轴有交点 解得：或 抛物线与轴交于一点 抛物线与轴另一个交点为： 故选：C． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则4月份的售价为万元，五月份的销售额为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x， 由题意得，， 故选：B． 8. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，， A、若，不符合题意； B、若，不符合题意； C、若，符合题意； D、若，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据旋转的性质，得，，得证；结合，得到，根据，选择即可． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， ∴； ∵， ∴， ∵， 故选A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有E，F，G，H四个点，则恰好在二次函数的图象上的三个点是（ ） A. E，F，G B. E，F，H C. E，G，H D. F，G，H 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，根据抛G、H的横坐标相同，可以判定G、H不会同时在二次函数的图象上，根据可知抛物线开口向下，可以判定E、F、H在二次函数的图象上． 【详解】解：由四点的位置可知，G、H的横坐标相同，故G、H不会同时在二次函数的图象上， ∵二次函数， ∴抛物线开口向下， ∴在函数的图象上的三个点是E、F、H， 故选：B． 11. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于M，过点作轴于N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的图形如图所示，则每次旋转的度数是_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要查了图形的旋转．根据旋转的性质解答，即可． 【详解】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度， ∴如图所示的图形是由一个等腰直角三角形每次旋转45度，且旋转8次形成的图形， ∴每次旋转的度数是45度． 故答案是∶ ． 14. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先把一般式配成顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 15. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：2022． 16. 如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作轴于点，将抛物线解析式化为顶点式得到，，由、两点关于原点对称，可得抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合，因此，以此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 抛物线的顶点， 抛物线的顶点， 、两点关于原点对称， 两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同， 抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线的旋转、正方形的面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）已知点在抛物线上，求抛物线的对称轴． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）方程称其后运用因式分解法求解可得； （2）将点代入解析式求得k的值，据此得出抛物线解析式，再根据对称轴公式求解可得． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴； （2）把代入，得： ， 解得． ∴该抛物线的函数解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线． 18. 如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形与等腰三角形的顶点均在格点上，且与关于某点中心对称，已知A，，C三点的坐标分别是，， （1）求对称中心的坐标； （2）画出绕点B按顺时针旋转后的，并写出点A的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 解：如图所示，即为所求； 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据对称中心是每对对应点的中点，即可求解； （2）根据旋转对称图形的性质作图，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是对称点， ∴对称中心是； 【小问2详解】 略 19. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解； （2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为： 【小问2详解】 抛物线向下平移n个单位后得：， 把点代入得： 解得： 即n的值为1． 【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键． 20. 如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE． 求证：FD=BE． 【答案】 证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC． ∵AF=CE，∴OF=OE． ∵在△DOF和△BOE中，， ∴△DOF≌△BOE（SAS）． ∴FD=BE． 【解析】 【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可． 【详解】略 21. 已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1 （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围． 【答案】（1） 证明：令 则 ＞0 方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】（1）令 则 计算判别式即可得出结论． （2）根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的图象与y轴交于点（0，3）． 抛物线的解析式为： 抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为 当时， 当时， 当0＜x＜5时，y的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 23. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的解． 【答案】（1）等腰三角形，理由： ∵是方程的根， ∴， ∴，即：， ∴， ∴为等腰三角形； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，等腰三角形的定义，等边三角形的性质，解一元二次方程： （1）把代入方程，得到，进而得到，得到为等腰三角形即可； （2）根据等边三角形的三边相等，得到，进而得到方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴原方程化为：，即：， 解得：，． 24. 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒． （1）若纸盒的高是，求纸盒底面长方形的长和宽； （2）若纸盒的底面积是，求纸盒的高． 【答案】（1）长为，宽为；（2）5cm 【解析】 【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长（长方形硬纸片的长纸盒的高），可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽长方形硬纸片的宽纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽； （2）设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是150，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）纸盒底面长方形的长为， 纸盒底面长方形的宽为． 答：纸盒底面长方形的长为，宽为． （2）设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是150， 依题意，得：， 化简，得：， 解得： ． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，B(-3，0)，． （1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）设点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使面积最大时的点P的坐标，并求出最大面积． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）根据已知条件得到，得到使最小的点M应为直线BC与对称轴的交点，设出解析式求解即可； （3）过点P作轴，设，利用面积公式求解即可； 【详解】（1）依题意，得，解之，得 ∴抛物线解析式为． ∵对称轴为，且抛物线经过，∴． 把、分别直线，得 ，解之，得． ∴直线BC的解析式为． （2）∵， ∴． ∴使最小的点M应为直线BC与对称轴的交点． 设直线BC与对称轴的交点为M， 把代入直线，得， ∴． （3）过点P作轴，设， ∴，，，， ∴， ， ， ∴， ∴当时，有大面积，此时，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，准确分析计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县宰便中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 开口向上，顶点坐标为的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有一次项，则的值等于（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知抛物线经过点，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有E，F，G，H四个点，则恰好在二次函数的图象上的三个点是（ ） A. E，F，G B. E，F，H C. E，G，H D. F，G，H 11. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 12. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的图形如图所示，则每次旋转的度数是_______． 14. 二次函数的顶点坐标是________． 15. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 16. 如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）已知点在抛物线上，求抛物线的对称轴． 18. 如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形与等腰三角形的顶点均在格点上，且与关于某点中心对称，已知A，，C三点的坐标分别是，， （1）求对称中心的坐标； （2）画出绕点B按顺时针旋转后的，并写出点A的对应点的坐标． 19. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值． 20. 如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE． 求证：FD=BE． 21. 已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1 （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围． 22. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 23. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的解． 24. 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒． （1）若纸盒的高是，求纸盒底面长方形的长和宽； （2）若纸盒的底面积是，求纸盒的高． 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，B(-3，0)，． （1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）设点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使面积最大时的点P的坐标，并求出最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $