13.4课题学习最短路径问题(2)造桥选址问题 课件2024－2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 13.4 最短路径问题(第2课时） 天河中学 何兰香 （1）当A村、B村分别在公路l的两侧 l A B C 依据：两点之间，线段最短。 最短路径问题 课前检测 C1 问题：要在公路L旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？ （2）当A村和B村位于公路l 同侧时 l A B A′ C 利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型： 知识和方法： 数学思想： ①轴对称 ②两点之间线段最短(三角形两边之和大于第三边) 转化（化归） 问题探究 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？ 造桥选址问题可转化成以下数学问题： a B A b M N 由于河宽MN是固定的 A到B的路径AMNB最短 AM+MN+NB的和最小 AM+NB和最小 未命名2.gsp a B A b M N (1) 他们之间有什么相同点和不同点？ l A B C 分析： （2）能否将问题转化？转换的原则是什么？ a B A b M N A' 解（1）作图： 未命名2.gsp 另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′. 在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN. 证明： a B A b M N A' N′ M′ 归纳 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 l A B C 1、研究问题的基本过程是什么？ 2、解决问题的最关键一步？ 归纳 通过平移变换，使桥转移到一侧，将未知的其他线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决 a B A b M N A' 小结归纳 l A B C l A B C B′ 转化 轴对称 变换 平移 变换 两点之间，线段最短. 已知A，B两点在直线l的异侧，试在l上找两点C和D（CD的长度为定值），使得AC+CD+DB最短。（不要求写画法，在右图中画出C、D的位置） 问题迁移 解答： 已知A，B两点在直线l的同侧，试在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短． （不要求写画法） 变式训练1 解答： 2、已知点A(1，-3),B(4，-1),在 轴上有两点 当四边形PABN的周长最小时，试确定点P,N的位置。 变式训练2 拓展提升 如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，请画图确定两桥的位置。 D D′ E E ′ 课堂总结 这节课的学习你有什么体会？ $$