精品解析：安徽省六安市独山中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

六安市独山中学2023-2024学年度第一学期高一期末考试数学试卷 必修二第六章---第八章1-3节 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 若中，，则的外接圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的表面积为且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形ABCD中，设，，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（ ） A. B. C. D. 7. 在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则二十四等边体的体积与其外接球体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，选错多选不得分，部分对给部分分共18分） 9. 下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（ ） A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点 B. 四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥 C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形 D. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为 10. 在直角坐标系xOy中，，，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值是（　　） A. 1 B. －1 C. 3 D. －6 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则是等腰三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题（每题5分共15分） 12. 已知复数满足（为虚数单位），则_______． 13. 在中，，则________． 14. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为____________. 四、解答题（共77分） 15. 化简 （1）； （2） 16. 已知复数为虚数单位，其中是实数. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 18. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 19. 在中，角的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市独山中学2023-2024学年度第一学期高一期末考试数学试卷 必修二第六章---第八章1-3节 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可得出结果. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 2. 如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法及新定义即可得参数值. 【详解】由题设为“等部复数”，即. 故选：C 3. 若中，，则的外接圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用正弦定理，结合题目数据进行运算，即可求出的值. 【详解】解：根据题意，可知， 由正弦定理得，即， 解得：，所以的外接圆半径为1. 故选：A. 4. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】现将复数转化为标准形式，再根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】依题意，，其共轭复数为； 故选：A. 5. 已知圆锥的表面积为且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，又圆锥的侧面展开图是一个半圆，即，然后根据圆锥的表面积为，列方程即可. 【详解】设圆锥的底面半径为由于圆锥侧面展开图是一个半圆， 故其母线长为 所以圆锥的表面积为解得. 故选：B. 6. 在平行四边形ABCD中，设，，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到、上的三等分点，则，结合图形易得，由即可知正确选项. 【详解】如图，在上取点，使得，在上由左到右取，，使得，连接，，则， ∵且， ∴由相似比可知：， ∴. 故选：A 7. 在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：D． 8. 半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则二十四等边体的体积与其外接球体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以得出二十四等边体的外接球半径为，进而求出其外接球体积，然后二十四等边体可以看成一个长方体加上四个四棱锥拼接而成的几何体，求出其体积，最后求出体积比. 【详解】设，则二十四等边体的外接球半径为， 其外接球体积为， 二十四等边体可以看成一个长方体加上四个四棱锥拼接而成的几何体， 故所求体积， 故二十四等边体的体积与其外接球体积之比为， 故选：C． 二、多选题（每题6分，选错多选不得分，部分对给部分分共18分） 9. 下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（ ） A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点 B. 四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥 C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形 D. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据多面体的相关概念，逐项分析判断即可判断ABC，对D，根据长方体外接球直径公式和球的表面积公式即可判断. 【详解】对A，用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台， 所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故A正确； 对B，由四边形的对角线交点为平面， 无法确定四边形是正方形，所以四棱锥不一定是正四棱锥，故B错误； 对C，任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故C错误； 对D，球的直径， 所以半径，则球的表面积为，故D正确. 故选：AD 10. 在直角坐标系xOy中，，，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值是（　　） A. 1 B. －1 C. 3 D. －6 【答案】BD 【解析】 【分析】分∠A＝90°，∠B＝90°，∠C＝90°三种情况依次求解即可. 【详解】若∠A＝90°，则，k＝－6；若∠B＝90°，则，k＝－1； 若∠C＝90°，则无解．∴综上，k可能取－6，－1两个数． 故选：BD. 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则是等腰三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角形内角和与诱导公式判断即可；对B，举反例判断即可；对C，根据诱导公式结合锐角三角形内角范围判断即可；对D，根据余弦定理结合三角形面积公式与基本不等式判断即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，若，则，但不是等腰三角形，故B错误； 对C，若是锐角三角形，则，又锐角三角形中，故，故，故C正确； 对D，若，，则由余弦定理，有. 又，故，当且仅当时取等号. 故，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（每题5分共15分） 12. 已知复数满足（为虚数单位），则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 得到， 故答案为：. 13. 在中，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得,由于,所以或， 故答案为：或 14. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案. 【详解】根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形， 且两条直角边，， 所以，的面积为. 故答案为：8. 四、解答题（共77分） 15. 化简 （1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【详解】（1）； （2） . 16. 已知复数为虚数单位，其中是实数. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可； （2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可； 【小问1详解】 ， 因为是实数，则. 【小问2详解】 ， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则， 故a的取值范围为. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解；根据题意，结合割补法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解； （2）根据（1）中结果结合结合割补法即可求解． 【小问1详解】 在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . 在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. 【小问2详解】 由（1）可得：四棱锥的体积. 18. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）取的中点，连接，在和中，分别利用余弦定理表示，结合化简求出，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， 化简得． ； 【小问2详解】 由（1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， . 19. 在中，角的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：． 【答案】（1） （2） 选①，.选②，不符合条件.选③，. 【解析】 【分析】（1）根据大边对大角，结合即可得解； （2）选①，先利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 选②，先求出，再根据余弦函数的性质即可得出三角形的解的个数. 选③，先利用正弦定理求出，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 选①，，为锐角， 由正弦定理得，所以， 所以， 由余弦定理得， 即，解得（舍去）或，符合条件， 所以. 选②，，解得或， 若，因为，所以，符合条件， 若，因为， 所以为钝角，符合条件， 所以该三角形有个解，不符合条件. 选③，， 由正弦定理得，所以，符合条件， 所以，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $