精品解析：北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知直线平分圆：的周长，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示） A. B. C. D. 5. 已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或-3 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ） （1）四边形PAMB的面积最小值为 （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为 （4）直线AB过定点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在正三棱锥中，是的中心，，则______. 10. 已知直线：，：，若，则实数______. 11. 设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值______． 12. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 13. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）若点满足，求动点的轨迹方程. 14. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的大小； （2）求点B到平面ADE的距离． 15. 已知圆过点三个点． （1）求圆的标准方程； （2）已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 16. 已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为． 故选：A． 2. 已知直线平分圆：的周长，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得直线过圆心，代入圆心坐标可求. 【详解】由，可得圆心为， 因为直线平分圆：的周长， 所以直线过圆的圆心，则，解得. 故选：B. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】，，解得， ， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 5. 已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或-3 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解D. 【详解】：,令且，解得，故直线过点，A正确； 当时，：和直线：，故，重合，故B错误； 由，得或2，故C正确； ：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：B 6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 7. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ） （1）四边形PAMB的面积最小值为 （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为 （4）直线AB过定点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误； 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 8. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，作于，于，求得，，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【详解】如图所示，作于，于. 在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与的夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 9. 在正三棱锥中，是的中心，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得. 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为： 10. 已知直线：，：，若，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】解： 故答案为：3. 11. 设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知，，且，可知点的轨迹是以为直径的圆，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：动直线过定点， 动直线，即过定点， 则， 且，则， 可知点的轨迹是以为直径的圆，则， 且，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值. 故答案为：. 12. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 13. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）若点满足，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线. 【小问1详解】 由点在，设， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以， 设点关于直线对称的点， 则有，解得，即， 显然在上，直线的斜率为， 由点斜式，整理得，即为直线的方程. 【小问2详解】 点到直线的距离的距离为， 因为点满足， 所以点到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线， 设轨迹方程为为， 则有,解得或4， 所以动点的轨迹方程为或. 14. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的大小； （2）求点B到平面ADE的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角； （2）利用点到平面距离向量公式直接计算即可. 【小问1详解】 以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系.    由题意，，，，，， 设直线BD与直线PC所成的角为， 因为，， ， 所以直线BD与直线PC所成角为； 【小问2详解】 因为，，， 所以， ， 则为平面的一个法向量， 设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得， 所以点到平面的距离为. 15. 已知圆过点三个点． （1）求圆的标准方程； （2）已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）设圆的一般式方程，将点的坐标代入计算，即可求解，然后化为标准式即可； （2）将代入直线方程，可得直线过定点，即可得到当时，最小，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 代入各点得：， 所求圆的一般方程为：标准方程为：. 【小问2详解】 把代入直线方程得：， 即，令，可得， 所以直线过定点． 又，所以定点在圆内， 当时，最小，此时，， 则. 16. 已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面， 则，又，因平面， 故平面. （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理证，再由面面垂直证平面，得，可得平面； （2）①连接,设,连接，利用线面平行的性质推得，确定点是线段上靠近点的三等分点，从而求得体积；②依题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，连接,设，连接, 因平面，且平面,平面平面， 则，故， 在四边形中，由,可得, 故，即，即点是线段上靠近点的三等分点， 故 ② 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以，,, 设平面的法向量为， 则，可取， 因， 故,, 设平面的法向量为，则由， 可取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断证明和空间向量在求空间角方面的应用.解题关键在于要熟悉关于线面平行、垂直的判定和性质定理，熟练掌握利用条件建系，运用向量夹角的坐标公式计算求解空间角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $