精品解析：广东省中山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考数学试题

中山市第一中学2026届高二第一学期第一次段考 一、单选题 1. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 6. 已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题 9. 已知圆，直线.则（ ） A. 直线与圆可能相切 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与所成角的余弦值为 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 三、填空题 12. 过点作与圆相切的直线，则直线的方程为______． 13. 已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值____________． 14. 已知是同一平面内的三个向量，其中是互相垂直的单位向量，且，则的最大值为 . 四、解答题 15. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. （1）用向量表示； （2）求. 16. 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直.　 （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值. 17. 直线l的方程为． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 19. 已知圆，直线. （1）若直线与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围； （3）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市第一中学2026届高二第一学期第一次段考 一、单选题 1. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可. 【详解】由可得，, 所以直线的斜率纵截距， 所以直线经过一、二、四象限， 故选:C. 2. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 3. 设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先由两直线处垂直求出的值，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以由能推出直线与直线垂直； 反之不能推出； 因此“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛： 充分条件与必要条件的判断，一般可根据概念直接进行判断，有时也需要根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 4. 已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【详解】若三向量不能作为空间的一组基底， 所以共面，则存在，使得， 即， 则，解得， 故选：C. 5. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义结合勾股定理求解即可 【详解】由已知得， 因为直线l的方向向量为， 所以点到直线l的距离为 故选：D 7. 当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围． 【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则， ，， 故 ， 对于函数 ，有： ，， 故，又， 故.故选. 【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上的任意一点，构造直线，过点p作，将转化为点p到直线的距离和到原点的距离的比，即，然后利用数形结合法求得的范围求解. 【详解】如图所示： 设为圆上的任意一点， 则点P到直线的距离为， 点P到原点的距离为， 所以， 设圆与直线相切 则圆心到直线的距离：，解得， 所以的最小值为，最大值为， 所以， 即 故的最大值为， 故选：B 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、多选题 9. 已知圆，直线.则（ ） A. 直线与圆可能相切 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项. 【详解】，则恒成立， 故，则直线恒过， 因为，所以点在圆内部， 因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错； 对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确； 对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错； 因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确； 故选：BD. 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】 直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则 而 ， 所以A正确. =0,所以B正确. 向量, 显然 为等边三角形，则. 所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确 又， 则， 所以，所以D不正确. 故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题. 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆上的点到原点的最大距离为 B. 圆上存在三个点到直线的距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若圆与圆有公共点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得三角形的“欧拉线”，根据“欧拉线”与圆相切求得，根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、斜率的范围、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，， 的中点坐标为，则的垂直平分线方程为， 即“欧拉线”为. 由“欧拉线”与圆相切， 到直线的距离， 则圆的方程为：， 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误； 圆心到直线的距离为， 圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确； 的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得的最小值是，故C错误； 的圆心坐标，半径为， 圆的的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 过点作与圆相切的直线，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】按直线斜率存在与斜率不存在两种情况进行分类讨论，利用待定系数法，通过圆心到直线的距离等于半径求解斜率，进而求出切线方程. 【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，其方程为，与圆相切，符合题意， 若直线的斜率存在，设其斜率为，则直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则有，解可得， 此时直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或， 故答案为：或． 13. 已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 14. 已知是同一平面内的三个向量，其中是互相垂直的单位向量，且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量运算律和垂直关系的向量表示可将已知等式化为，根据向量夹角所处范围可构造不等式得到，解不等式可求得结果. 【详解】，，， 由得： ， ，则， 即，解得：， 的最大值为. 【点睛】本题考查根据平面向量数量积的运算求解模长的最值的问题，涉及到垂直关系的向量表示；关键是能够利用数量积的运算律将已知等式化为关于所求向量模长的形式，利用向量夹角余弦值的范围构造不等关系. 四、解答题 15. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. （1）用向量表示； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【小问1详解】 因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以； 【小问2详解】 因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 16. 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直.　 （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)或；(2). 【解析】 【详解】试题分析：（1）设，结合空间向量的运算法则及模长公式，列出方程组，即可求出的坐标；（2）根据数量积运算公式可得，根据空间向量夹角公式可得余弦值. 试题解析：（1）设，则由题可知解得或 所以或. （2）因为向量与向量共线，所以.　 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为. 17. 直线l的方程为． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0或2；（2）． 【解析】 【分析】（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果； （2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意 当不过坐标原点时，即时 若，即时，，不符合题意 若，即时，方程可整理为： ，解得： 综上所述：或 （2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意 当，即时，方程可整理为： ，解得： 综上所述：的取值范围为： 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 19. 已知圆，直线. （1）若直线与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围； （3）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点. 【答案】（1）或 （2） （3）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由直线与圆相交，得圆心到直线的距离小于半径，由此得解； （2）设A，B的坐标分别为，，将直线代入，得，利用以及，能求出的取值范围； （3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以为直径的圆上，设出P点坐标，求出以为直径的圆的方程，又，在圆上，可得 ，所在直线即两圆公共弦直线，将两圆方程作差得直线的方程，得解． 【小问1详解】 ，直线， ∵直线与圆相交， ∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得或. 【小问2详解】 设A，B的坐标分别为，， 将直线代入， 整理，得， ∴，， ，即， 当为锐角时， ， 解得，又， ∴或. 故的取值范围为. 【小问3详解】 由题意知，，，四点共圆且在以为直径的圆上， 设，其方程为， ∴， 又，在圆上， ，所在直线即两圆公共弦直线， 将两圆方程作差得，， 即， 由，得， ∴直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $