专题23.1 解题技巧专题：巧用旋转进行计算（三大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题23.1 解题技巧专题：巧用旋转进行计算 目录 【考点一 利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度】 1 【考点二 利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】 9 【考点三 利用旋转计算面积】 22 【典型例题】 【考点一 利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度】 例题：（湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，将△绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则的度数为 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °． 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 5．（陕西省咸阳市杨凌区2024-2025学年上学期九年级数学期中质量检测试卷）如图，正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，中，，把绕点逆时针旋转后得到．连结、、，测量得．若为等腰三角形，则的度数是 ． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 8．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，，D是边上一点（点D与点A，B不重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【考点二 利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长度是为 ． 2．（24-25九年级上·北京大兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 3．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为 ． 4．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则的周长是 ． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知矩形中，是边上一点，将绕点旋转得到，使得点的对应点落在线段上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于 ． 6．（天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接． （I）线段的长为 ； （II）的面积为 ． 7．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在矩形中，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的周长为 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，连接． (1)若，请直接用含的式子表示的度数为_____； (2)若，求线段的长度． 9．（天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，求的长； (2)当点落直线上时，求的长； (3)连接，直线与直线相交于点D，在旋转过程中，线段的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒ 【考点三 利用旋转计算面积】 例题：（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（    ） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 2．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    3．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 4．（2024·陕西商洛·模拟预测） 如图，将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，，．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，两张纸片重合部分的面积是 ． 5．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于 ． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝ ． 7．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，． (1)求证：点，，在同一条直线上． (2)若，，求的面积． 8．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.1 解题技巧专题：巧用旋转进行计算 目录 【考点一 利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度】 1 【考点二 利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】 9 【考点三 利用旋转计算面积】 22 【典型例题】 【考点一 利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度】 例题：（湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数是 ． 【答案】/50度 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，根据图形旋转的性质可得，，结合，即可求得答案． 【详解】由图形旋转的性质可得，． ∵ ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，将△绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则的度数为 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】此题考查的是旋转的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，由旋转的性质可得：，，，根据等边对等角可得：，根据三角形外角的性质可得：，从而求出和，即可求出． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得到，则，由此根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质，灵活运用相关知识解决问题是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的内角和定理和外角性质求得，进而可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（陕西省咸阳市杨凌区2024-2025学年上学期九年级数学期中质量检测试卷）如图，正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】过点作，交的延长线于点G，得到，根据全等三角形的判定易得，再由全等三角形的性质得到，利用直角三角形的性质得到，再利用已知得到，结合三角形的外角性质得到 即可求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点G，如下图 由旋转得，， ． 四边形是正方形， ，， ． ，， ． 在和中 ， ，， ， 即， ， ． ，， ． ， ， ． 【点晴】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的外角性质，作出辅助线证明三角形全等是解答关键． 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，中，，把绕点逆时针旋转后得到．连结、、，测量得．若为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．先用表示，，再利用三角形内角和定理计算出，然后由为等腰三角形分类讨论：当时，即；当时，即；当时，即，再分别解方程求． 【详解】解：绕点逆时针旋转后得到， ，，， 和都是等边三角形； ， 而， ， 为等腰三角形，下面分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得 综上所述，若为等腰三角形，则，，． 故答案为：或或． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ． 将线段绕点旋转到的位置， ． 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． ， ， ． 8．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，，D是边上一点（点D与点A，B不重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据即可证明； （2）先根据等腰三角形的性质求出，再由全等三角形的性质得出，接着证明，最后根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】（1）证明：根据旋转可得：，， ， ， ， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 【考点二 利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等及等边三角形的性质和判定． 根据旋转的性质得，然后证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， 即，， 是等边三角形， ， ． 故答案为：3． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长度是为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】在的上方作，且使，连接，，根据证明得出，，得出，进而勾股定理，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点作于点 ，， ， ∴， ， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 又， ， ， ，． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·北京大兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、坐标与图形 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转性质以及角等量代换，证明，再结合点，点，求出点的坐标即可解决问题．本题考查坐标与图形变化旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ， ，． 又∵，， ，， 所以点坐标为， 则，． 在中， ． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，先根据勾股定理求出，根据旋转得出，，求出，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， 故， 由旋转的性质可知：，， ∴， 在中，，， 故． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则的周长是 ． 【答案】38 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得，可得是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：绕点B逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：38． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知矩形中，是边上一点，将绕点旋转得到，使得点的对应点落在线段上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于 ． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查图形旋转的性质和勾股定理，连接，，根据图形旋转的性质可知，，根据勾股定理可得，结合，可得的长度，再次利用勾股定理，即可求得答案． 【详解】如图所示，连接，． 根据图形旋转的性质可知 ，． ∵的延长线恰好经过点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 6．（天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接． （I）线段的长为 ； （II）的面积为 ． 【答案】 10 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理； （I）证明即可的长； （II）由旋转可得是等边三角形，得到，再由，，得到，，则，最后由 求解即可． 【详解】解：（I）∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴． ， ∵， ∴， 故答案为：10； （II）连接，过作交延长线于，过作交于， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在矩形中，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的周长为 【答案】3或或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】分三种情况：当时，此时．当时，此时，当时，此时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， 如图，当时，此时． ， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 的周长为； 如图，当时，此时， ，， ． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ， 的周长为； 如图，当时，此时， ，，， ． 的周长为； 综上所述，的周长为3或或， 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，连接． (1)若，请直接用含的式子表示的度数为_____； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转得，，，，，进而利用等边对等角得，，从而由三角形的内角和定理即可求解； （2）设，由（），进而得，由直角三角形的两锐角互余得，从而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由旋转得，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： （2）解：设，由（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质是解题的关键． 9．（天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，求的长； (2)当点落直线上时，求的长； (3)连接，直线与直线相交于点D，在旋转过程中，线段的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）由勾股定理得，再由旋转的性质得，，再由等腰直角三角形的性质即可得的长； （2）由旋转的性质可得，进而可得，，再由勾股定理即可得的长； （3）过作交延长线于，取中点，连接，，由斜边中线可得，再由平行和旋转性质可得得到，即可证明，得到，即为中点，则是中位线，最后根据，可得当，，三点共线时最大，最大值为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点落直线上时， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：过作交延长线于，取中点，连接，， ∵将绕点B旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即为中点 ∴是中位线， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时最大，最大值为， 故答案为：﹒ 【考点三 利用旋转计算面积】 例题：（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，设分别交于点，交于点，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理分别求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，设分别交于点，交于点， 绕点顺时针旋转得到，， ， ∴， ， ，，， ． 故选A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点O按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积（    ） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出，即得面积等于的面积． 根据正方形性质得出，求出，根据证，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项． 【详解】解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是， 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    【答案】9 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，   ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 3．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键． 连接，先求出的面积，根据平行四边形的性质求出的面积，根据求出的面积，同理得到的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵点O是的中点， ∴点O在上，且点O是的中点， ∴的面积＝的面积， ∵， ∴的面积＝的面积， 再由旋转性质同理可得，的面积， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 4．（2024·陕西商洛·模拟预测） 如图，将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，，．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，两张纸片重合部分的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】作，连接，根据旋转的性质可得即四边形是矩形可得,，进而可得；然后根据勾股定理可得；再证可得，设可得，然后根据勾股定理列方程求得，最后根据平行四边形的面积公式解答即可． 【详解】解：作，连接，如图所示： ∵将其中一张纸片绕它的中心旋转，点A和点C的对应点和分别落在边和上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴,， ∵，， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵,即， 解得：， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确做辅助线是解答本题的关键． 5．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】先利用旋转的性质得到，再解直角三角形可计算出、、、，然后利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：如图所示： 是等边三角形，， ，， 绕点顺时针旋转得到， ， 在中，，，则，即； 同理，可得； ，由勾股定理可得， ， ， 在中，，则，从而得到，由勾股定理可得， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝ ． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：连接，作于， ， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，． (1)求证：点，，在同一条直线上． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由旋转的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，，，则有，然后问题可求解 【详解】（1）证明：是由绕点A顺时针旋转得到的， ，， ， ． 又， ， 点，，在同一条直线上． （2）解：由（1）可知，， ． ， ． ， ． 8．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了图形的旋转，正方形的性质及全等三角形的判定与性质，求解时需抓住正方形的特征，找出与在旋转过程中的对称性，获得四边形的面积与正方形面积的关系，关键是将四边形的面积转化为的面积． （1）根据正方形的性质，利用即可证明，从而可得结论； （2）由可得．当时，四边形的周长最小，再求解即可． 【详解】（1） 解：， 证明：四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 解：， ． ， 即， ， ． 当时，四边形的周长最小，最小值为6， 故答案为：，6 学科网（北京）股份有限公司 $$