精品解析：江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题

江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题 2024.11 命题单位：无锡市教育科学研究院 制卷单位：无锡市教育科学研究院 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内z所对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 4. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ） A. 2km B. 3km C. 4km D. 5km 5. 若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 函数.下列说法中正确的有（ ） A. 当时，有恒成立 B. ，使在上单调递减 C. 当时，存在唯一的实数，使恰有两个零点 D. 当时，恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 已知实数满足且，则__________. 14. 任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.则__________（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成了数列，设数列，求数列的前项和__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且，若. （1）当时，求实数的值; （2）当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; （2）求函数的单调递减区间. 17. 在中，已知. （1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围; （2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值. 18 已知函数. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）过点可以作曲线两条切线，切点分别为. ①求实数的取值范围； ②证明：若，则. 19. 在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 （1）求数列通项公式; （2）对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求和的值; ②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题 2024.11 命题单位：无锡市教育科学研究院 制卷单位：无锡市教育科学研究院 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：D 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法化简，进而可得点的坐标，即可求解. 【详解】复数， 对应点为，位于第二象限， 故选：B 3. 已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换计算即可. 【详解】易知向右平行移动个单位长度可得 . 故选：A 4. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ） A. 2km B. 3km C. 4km D. 5km 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意求出，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意设，仓库到车站的距离， 由于在距离车站6km处建仓库，则，即， 两项费用之和为， 当且仅当，即时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km. 故选：B 5. 若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，说明充分性，由时，即可说明不必要性. 【详解】因为且，所以等差数列单调递减，且公差小于0， 故，， 则， 即，所以， 由，当时，等差数列单调递增， 则不可能满足且， 因此“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知， 所以， 令，则，显然， 所以为奇函数，即D正确. 故选：D 7. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式可求，根据诱导公式得到，利用同角三角函数的基本关系求出和，进而求出. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 8. 在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得与的关系，即可利用基底表示，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解. 【详解】, 因为点三点共线，所以，得， 即， ，两边平方， ， 所以. 故选：B 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断； 【详解】A.因为，所以，在上递减，故错误； B. 因为，所以，在上递增，故正确； C. 因为，所以，在上递增，故正确； D. ，因为，所以，在上递增， 则在上递减，故错误； 故选：BC 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，则，A对； 对于B选项，因为，不等式的两边同时除以可得， 因为，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，因为，，由不等式基本性质可得，则， 由不等式的基本性质可得，D对. 故选：ABD. 11. 函数.下列说法中正确的有（ ） A. 当时，有恒成立 B. ，使在上单调递减 C. 当时，存在唯一的实数，使恰有两个零点 D. 当时，恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数表达式计算，可得选项A正确；求，可知为开口向上的二次函数，在上不可能恒成立，选项B错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C正确；分离参数，恒成立问题转化为大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D正确. 【详解】A. 当时，,, ∴，选项A正确. B.由题意得，，为开口向上的二次函数， 故，使得时，，此时为增函数， 所以不存在，使在上单调递减. C. 当时，， 由得，不是函数的零点. 当时，由得，， 令，则， 由得， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 图象如图所示： 由图象可知，存在唯一的实数，使直线与图象恰有两个交点，即恰有两个零点，选项C正确. D. 当时，， ∵，恒成立， ∴恒成立且. 对于不等式， 当时，不等式成立， 当时，恒成立，即， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴在上为减函数，， ∴. 对于不等式， 当时，不等式成立， 当时，恒成立，即， 令， 则， 当时，，，， 当时，，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴. 综上得，，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下： （1）对于函数零点个数问题，先说明不是函数的零点，再根据时，由分离出参数，问题转化为“存在唯一的实数，使得直线与恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果. （2）对于不等式恒成立问题，分离参数，问题转化为且，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到的取值集合. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知实数满足且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可. 【详解】由可知， 所以，即， 所以. 故答案为： 14. 任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.则__________（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成了数列，设数列，求数列的前项和__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用无限循环小数的性质设，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出的通项公式，然后得到的通项公式，然后列项相消求解即可. 【详解】令，则，解得，所以 易知 所以 所以 所以 所以答案为：； 【点睛】关键点点睛：若，则，借此建立等式； ，借此求得的通项公式；同样的道理. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且，若. （1）当时，求实数的值; （2）当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解； （2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; （2）求函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，可得有两个大于的不等实根，进而可得，求解即可； （2）求导数，对分类讨论可求得单减区间. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 令，可得， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根， 所以，解得. 所以的取值范围为； 【小问2详解】 ， 求导得 ， 令，解得或， 当时，，由，可得， 函数在上单调递减， 当，，由，可得，函数无单调递减区间， 当，，由，可得， 函数在上单调递减， 当时，，由，可得，函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递减， 当时，函数无单调递减区间， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减. 17. 在中，已知. （1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围; （2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切的和角公式可得C，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可； （2）设中点为，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可. 【小问1详解】 由题意， 所以， 所以，所以， 易知，所以，则， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以 ， 由知，所以， 即的取值范围为； 【小问2详解】 设中点为，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 因为线段的中垂线交边于点，可知，所以， 则，解之得，此时，正切不存在，舍去； 或，解之得； 综上. 18. 已知函数. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）过点可以作曲线的两条切线，切点分别为. ①求实数的取值范围； ②证明：若，则. 【答案】（1）； （2）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可； （2）①利用导数的几何意义，统一设切点，将问题转化为有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出，根据极值点偏移证得，再根据弦长公式得，构造函数判定其单调性即可证明. 【小问1详解】 易知，令，则， 显然时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则，即； 【小问2详解】 ①设切点，易知，，则有， 即， 令，则有两个交点，横坐标即分别为， 易知，显然时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且时有，时也有，， 则要满足题意需，即； ②由上可知：， 作差可得，即， 由①知：上单调递减，在上单调递增， 令， 则始终单调递减，所以， 即，所以，所以， 不难发现，， 所以由弦长公式可知， 所以， 设 所以由，即，证毕. 【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理. 19. 在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 （1）求数列通项公式; （2）对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求和的值; ②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）①，；②. 【解析】 【分析】（1）移项得，运用累加法即可得到通项公式； （2）①令，解得，代入得，当时，作差得，代入即可得到； ②，利用错位相减法得，再验证值即可. 【小问1详解】 由题意知，， 当时， ，而也满足上式，. 【小问2详解】 ①， 令， 当时，，此时， 当时，， 此时 ②，记从第2项到第项的和为， ， ， 上述两式作差得 ， ， 当时，； 当时， ， 也满足上式，， ， ，当时，左边，舍去， 当时，经检验符合； 当时，左边恒，无解， 综上:. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得，再计算得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$