人教版八年级数学上学期期中模拟试卷-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

人教版八年级数学上期中模拟试卷（解析版） 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•朝阳区期中）下列图形中，为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【解答】解：A选项是轴对称图形； B选项不是轴对称图形； C选项不是轴对称图形； D选项不是轴对称图形． 故选：A． 【点评】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．（2023秋•海淀区期末）下面计算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a6 【分析】分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可． 【解答】解：2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意； a2与a3不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意； （﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6，正确，故选项C符合题意； a3•a2＝a5，故选项D不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 3．（2024•济南模拟）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x（x+1）＝x2+x C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 【分析】根据因式分解定义，进行判断即可． 【解答】解：A、是因式分解，符合题意； B、是整式的乘法，不符合题意； C、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查的是因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解． 4．（2024•龙凤区二模）已知a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＞b＞c＞d B．c＞b＞d＞a C．b＞c＞a＞d D．d＞b＞c＞a 【分析】先变形化简a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝8111，c＝533＝12511，d＝622＝3611，比较11次幂的底数大小即可． 【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝8111，c＝533＝12511，d＝622＝3611， ∴c＞b＞d＞a． 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 5．（2022春•江阴市期中）已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（　　） A．8 B．3 C．64 D．12 【分析】根据am+n＝am•an即可求解． 【解答】解：∵am+n＝am•an，且am＝6，an＝2， ∴am+n＝6×2＝12． 故选：D． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（2023秋•交口县期末）已知点P（3，n+2）与点Q（m，2）关于x轴对称，则（m+n）2023的值是（　　） A．1 B．2023 C．﹣1 D．﹣2023 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得m、n的值，再代入计算可得答案． 【解答】解：∵点P（3，n+2）与点Q（m，2）关于x轴对称， ∴m＝3，n+2＝﹣2， 解得m＝3，n＝﹣4， ∴（m+n）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7．（2024秋•沭阳县月考）已知，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为12cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（　　） A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm 【分析】过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图， 又∵点P是△ABC的内角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD， 又△ABC的周长为12cm，面积为36cm2， ∴， ∴， ∴PE＝6cm， 即点P到边BC的距离是6cm， 故选：D． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8．（2024秋•九台区期中）将一台带有保护套的平板电脑按图①放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．经测得AB＝10cm，BC＝10.5cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（　　） A．30.5cm B．31cm C．10cm或10.5cm D．30.5cm或31cm 【分析】根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【解答】解：AB＝10cm，BC＝10.5cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，分以下几种情况讨论： 当AC＝10cm时，△ABC的周长为： 10+10+10.5＝30.5（cm）． 当AC＝10.5cm时，△ABC的周长为： 10+10.5+10.5＝31（cm）， ∴△ABC的周长为30.5cm或31cm， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等角对等边的性质． 9．（2023秋•交口县期末）有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】设正方形A和B的边长各为a和b，得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可求得此题结果是13． 【解答】解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b， 由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab， ∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13， 即：A、B两个正方形的面积之和为13， 故选：D． 【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并根据完全平方公式灵活变形解决问题． 10．（2022秋•洪山区期中）如图，∠AOB＝10°，射线OA、OB上有一系列点C1、C2、C3、…、∁n，满足OC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4＝C4C5＝……＝Cn﹣1∁n，当Cn﹣1∁n⊥OB时，n＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由题意可得△OC1C2，△C1C2C3，△C2C3C4，…，都是等腰三角形，从而可求得∠C2C1C3＝20°，∠C3C2C4＝30°，…，则可得到∠Cn+1∁nCn+2＝10（n+1）°，即可求解． 【解答】解：∵OC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4＝C4C5＝……＝Cn﹣1∁n， ∴△OC1C2，△C1C2C3，△C2C3C4，…，都是等腰三角形， ∵∠AOB＝10°， ∴∠OC2C1＝∠AOB＝10°， ∴∠C2C1C3＝∠OC2C1+∠AOB＝20°＝（1+1）×10°， ∴∠C3C2C4＝30°＝（2+1）×10°， …， ∴∠Cn+1∁nCn+2＝10（n+1）°， ∵Cn﹣1∁n⊥OB， ∴∠∁nCn﹣1Cn+1＝90°， 即10（n﹣1+1）°＝90°， 解得：n＝9． 故选：D． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形得出∠Cn+1∁nCn+2＝10（n+1）°． 二．填空题（共8小题） 11．（2022春•平阴县期末）（）2022×（）2021＝　　． 【分析】把转化成，然后根据指数相同，底数相乘的的法则进行计算即可． 【解答】解：原式 12021 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的运算，用到的知识为：指数相同的幂相乘，指数不变，底数相乘． 12．（2023秋•东湖区期末）已知a﹣b＝6，ab＝5，则（a+1）（b﹣1）＝　﹣2　． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a﹣b＝6，ab＝5， ∴（a+1）（b﹣1）＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣（a﹣b）﹣1＝5﹣6﹣1＝﹣2； 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 13．（2024春•兴隆台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，△ABD的面积是18，则AB＝　12　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图可知，AP为∠BAC的平分线，可得DE＝CD＝3，根据题意得，即可得出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， 由作图可知，AP为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3． ∵△ABD的面积为， ∴AB＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质和三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 14．如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　15　cm． 【分析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长． 【解答】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm， ∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm， ∵△ADC的周长为9cm， ∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm． 故答案为：15． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 15．已知BD是等腰△ABC一腰上的高，且∠ABD＝50°，则△ABC三内角度数为　40°、70°、70°或100°、40°、40°或140°、20°、20°　． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角或顶角顶点3种情况求解． 【解答】解：∵∠ABD＝50°，BD是腰上的高， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°，两底角为70°； ②如图2，点A是底角顶点时， 顶角∠BAC＝180°﹣40°×2＝100°，两底角是40°； ③如图3，点A是顶角顶点时， 顶角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，两底角是20°； 综上所述，等腰△ABC三内角度数为40°、70°、70°或100°、40°、40°或140°、20°、20°． 故答案为：40°、70°、70°或100°、40°、40°或140°、20°、20°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难点在于要分情况讨论． 16．（2023秋•滑县期末）在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 　±8x或64x4　． 【分析】由16x2±8x+1＝（4x±1）2，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，作答即可． 【解答】解：∵16x2±8x+1＝（4x±1）2， ∴单项式为±8x； ∵64x4+16x2+1＝（8x2+1）2， ∴单项式为64x4； ∵，不是单项式； 故答案为：±8x或64x4． 【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 17．若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3项和x2项，求mn的值． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含x3项和x2项，求出m与n的值即可． 【解答】解：（x2+mx+8）（x2﹣3x+n） ＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx+8x2﹣24x+8n ＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m+8）x2+（mn﹣24）x+8n， 由结果不含x3项和x2项，得到m﹣3＝0，n﹣3m+8＝0， 解得：m＝3，n＝1， ∴mn＝31＝3． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2021春•新乡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 　22.5　． 【分析】如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，当D，P，B′共线时，PD+PB的值最小．证明CB′＝CD，根据∠DCB∠ACB＝45°，可得结论． 【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，当D，P，B′共线时，PD+PB的值最小． ∵∠ACB＝90°，CM平分∠ACB， ∴∠DCB90°＝45°， ∵CB＝CB′，CD＝CB， ∴CD＝CB′， ∴∠CDB′＝∠B′， ∵∠DCB＝∠CDB′+∠B′， ∴∠CDP＝22.5°， 故答案为：22.5． 【点评】本题考查轴对称，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共90分） 19．（2023春•酒泉期末）计算： （1）（﹣2a2b）2•3ab3÷（﹣6a3b）； （2）（﹣25m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m）2； （3）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（2x﹣y）（2x+y）+x（3x﹣2y）]÷2y，其中x，y＝﹣2． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先算乘方，再算除法，即可解答； （3）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（﹣2a2b）2•3ab3÷（﹣6a3b） ＝4a4b2•3ab3÷（﹣6a3b） ＝12a5b5÷（﹣6a3b） ＝﹣2a2b4； （2）（﹣25m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m）2 ＝（﹣25m2+15m3n﹣20m4）÷（25m2） ＝﹣1mnm2； （3）[（x﹣2y）2﹣（2x﹣y）（2x+y）+x（3x﹣2y）]÷2y ＝[x2﹣4xy+4y2﹣（4x2﹣y2）+3x2﹣2xy]÷2y ＝（x2﹣4xy+4y2﹣4x2+y2+3x2﹣2xy）÷2y ＝（﹣6xy+5y2）÷2y ＝﹣3x+2.5y， 当x，y＝﹣2时，原式＝﹣32.5×（﹣2）＝﹣1+（﹣5）＝﹣6． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（2022秋•临淄区期中）因式分解： （1）3a2﹣6a+3； （2）4a2b2﹣（a2+b2）2； （3）a2+b2﹣9+2ab； （4）x4﹣3x3﹣28x2． 【分析】（1）先提公因式3，然后根据完全平方公式因式分解即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可求解； （3）先分组，然后根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可求解； （4）先提公因式x2，然后十字相乘法因式分解即可求解． 【解答】（1）解：3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2； （2）解：4a2b2﹣（a2+b2）2＝（2ab+a2+b2）（2ab﹣a2﹣b2）＝﹣（a+b）2（a﹣b）2； （3）解：a2+b2﹣9+2ab＝a2+2ab+b2﹣9＝（a+b）2﹣32＝（a+b+3）（a+b﹣3）； （4）解：x4﹣3x3﹣28x2＝x2（x2﹣3x﹣28）＝x2（x+4）（x﹣7）． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．（2022秋•启东市期末）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）． （1）请在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标； （3）求出△A1B1C1的面积． 【分析】（1）描点、连线即可； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示即为所求图形． （2）△A1B1C1即为所求图形，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）； （3）． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 22．（2022•大冶市模拟）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：AB+AD＝2AE． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，即可得到结论； （2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F＝∠CEA＝90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，由△BCE≌△DCF，得到BE＝DF，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴∠F＝∠CEA＝90°， 在Rt△FAC和Rt△EAC中， ， ∴Rt△FAC≌Rt△EAC（HL）， ∴AF＝AE， ∵△BCE≌△DCF， ∴BE＝DF， ∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF） ＝AE+BE+AE﹣DF＝2AE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键． 23．（2023秋•弋江区期末）如图，∠1＝∠2，AC＝AD，∠ABC＝∠AED，且B、E、D三点共线，AF⊥BC交CB的延长线于点F． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）若∠1＝30°，求∠BAF的度数； （3）请判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据AAS可证明△ABC≌△AED； （2）由等腰三角形的性质求出∠AEB＝75°，由直角三角形的性质可得出答案； （3）过点A作AG⊥BD于点G，则BG＝EG，∠AGB＝∠F＝90°，证明△ABF≌△ABG（AAS），得出BF＝BG，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）； （2）解：由（1）知：AB＝AE， 又∵∠1＝30°， ∴∠AEB75°， ∴∠ABC＝∠AED＝180°﹣∠AEB＝105°， ∵AF⊥BC， ∴∠BAF＝∠ABC﹣∠F＝105°﹣90°＝15°； （3）解：． 理由如下： 过点A作AG⊥BD于点G，则BG＝EG，∠AGB＝∠F＝90°， ∵∠ABC＝∠AED，∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABF＝∠ABE， 在△ABF和△ABG中， ． ∴△ABF≌△ABG（AAS）， ∴BF＝BG， ∴． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2023秋•交口县期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系. 问题情境： 如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．将点C放在直线l上，点A，B位于直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D． 初步探究： （1）在图1的直线l上取点E，使BE＝BC，得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由； （2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP．小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上，点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H．如图3，探究线段CP，AD，NH之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点B作BF⊥l于点F，根据AAS证明△DAC≌△FCB，得AD＝CF，由三线合一得CE＝2CF，进而可得；CE＝2AD； （2）作BF⊥l于点F，根据AAS证明△BFP≌△PNH，可证CP＝AD+NH． 【解答】解：（1）CE＝2AD． 理由如下：过点B作 BF⊥l于点F， ∴∠CFB＝90° ∵AD⊥l， ∴∠ADC＝90°，∠CAD+∠DCA＝90°， ∴∠ADC＝∠CFB． ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCA+∠BCF＝90°． ∴∠CAD＝∠BCF． 在△ACD和△CBF中， ， ∴△ACD≌△CBF（AAS）． ∴AD＝CF． ∵BE＝BC，BF⊥l， ∴CF＝EF． ∴CE＝2CF＝2AD． （2）CP＝AD+NH． 理由如下： 过点B作 BF⊥l于点F， ∴∠BFP＝90°， 由（1）可得：△ACD≌△CBF， ∴AD＝CF． ∵NH⊥l， ∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°． ∴∠BFP＝∠PHN． ∵∠MPN＝90°， ∴∠HPN+∠FPB＝90°， ∴∠HNP＝∠FPB． 在△BFP 和△PHN中， ， ∴△BFP≌△PHN（AAS）． ∴NH＝PF． ∵CP＝CF+PF． ∴CP＝AD+NH． 【点评】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形解答． 25．（2020秋•武昌区月考）我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子： x2+4x+2＝x2+4x+4﹣2＝（x+2）2﹣2≥﹣2； ﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣（x2﹣2x+1+2）＝﹣[（x﹣1）2+2]＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2 ﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8≤8并完成下列问题 （1）x2+6x+12＝（x+a）2+b≥b，则a＝　3　；b＝　3　；﹣x2﹣4x+1＝﹣（x+m）2+n≤n，则m＝　2　；n＝　5　； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：　﹣2x2+60x　； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【分析】（1）仿照题中例子，把代数式配方求解； （2）①利用矩形的面积公式求解； ②把①中的代数式进行配方，再求其最值． 【解答】解：（1）∵x2+6x+12 ＝（x2+6x+9）+3 ＝（x+3）2+3≥3， ﹣x2﹣4x+1 ＝﹣（x2+4x+4）+4+1 ＝﹣（x+2）2+5≤5， 故答案为：3，3，2，5； （2）①由题意得：x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x， 故答案为：﹣2x2+60x； ②设花圃的面积的面积为y， 则y＝﹣2x2+60x ＝﹣2（x2﹣30x+225）+250 ＝﹣2（x﹣15）2+450≤450， ∴当x＝15时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟记完全平方公式是解题的关键． 26．（2023秋•上饶期末）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （1）求证：BE＝AD； （2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）； （3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明． 【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE； （2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α； （3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形． 【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD； （2）如图1，∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α， ∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α， ∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α； （3）△CPQ为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD， ∵AD，BE的中点分别为点P、Q， ∴AP＝BQ， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAP＝∠CBQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ， 又∵∠ACP+∠PCB＝90°， ∴∠BCQ+∠PCB＝90°， ∴∠PCQ＝90°， ∴△CPQ为等腰直角三角形． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版八年级数学上期中模拟试卷（原卷版） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024秋•朝阳区期中）下列图形中，为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•海淀区期末）下面计算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a6 3．（2024•济南模拟）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x（x+1）＝x2+x C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 4．（2024•龙凤区二模）已知a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＞b＞c＞d B．c＞b＞d＞a C．b＞c＞a＞d D．d＞b＞c＞a 5．（2022春•江阴市期中）已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（　　） A．8 B．3 C．64 D．12 6．（2023秋•交口县期末）已知点P（3，n+2）与点Q（m，2）关于x轴对称，则（m+n）2023的值是（　　） A．1 B．2023 C．﹣1 D．﹣2023 7．（2024秋•沭阳县月考）已知，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为12cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（　　） A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm 8．（2024秋•九台区期中）将一台带有保护套的平板电脑按图①放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．经测得AB＝10cm，BC＝10.5cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（　　） A．30.5cm B．31cm C．10cm或10.5cm D．30.5cm或31cm 9．（2023秋•交口县期末）有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 10．（2022秋•洪山区期中）如图，∠AOB＝10°，射线OA、OB上有一系列点C1、C2、C3、…、∁n，满足OC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4＝C4C5＝……＝Cn﹣1∁n，当Cn﹣1∁n⊥OB时，n＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二．填空题（11、12小题每题3分，13~18每题4分，共30分） 11．（2022春•平阴县期末）（）2022×（）2021＝　 　． 12．（2023秋•东湖区期末）已知a﹣b＝6，ab＝5，则（a+1）（b﹣1）＝　 　． 13．（2024春•兴隆台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，△ABD的面积是18，则AB＝　 　． 14．如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　cm． 15．已知BD是等腰△ABC一腰上的高，且∠ABD＝50°，则△ABC三内角度数为　 　． 16．（2023秋•滑县期末）在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 　 　． 17．若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3项和x2项，则mn的值是 ． 18．（2021春•新乡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 　 　． 三．解答题（共90分） 19．（10分）计算： （1）（﹣2a2b）2•3ab3÷（﹣6a3b）； （2）（﹣25m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m）2； （3）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（2x﹣y）（2x+y）+x（3x﹣2y）]÷2y，其中x，y＝﹣2． 20．（12分）因式分解： （1）3a2﹣6a+3； （2）4a2b2﹣（a2+b2）2； （3）a2+b2﹣9+2ab； （4）x4﹣3x3﹣28x2． 21．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）． （1）请在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标； （3）求出△A1B1C1的面积． 22．（10分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：AB+AD＝2AE． 23．（12分）如图，∠1＝∠2，AC＝AD，∠ABC＝∠AED，且B、E、D三点共线，AF⊥BC交CB的延长线于点F． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）若∠1＝30°，求∠BAF的度数； （3）请判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 24．（10分）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系. 问题情境： 如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．将点C放在直线l上，点A，B位于直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D． 初步探究： （1）在图1的直线l上取点E，使BE＝BC，得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由； （2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP．小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN的顶点P放在直线l上，点M与点B重合，过点N作NH⊥l于点H．如图3，探究线段CP，AD，NH之间的数量关系，并说明理由． 25．（14分）我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子： x2+4x+2＝x2+4x+4﹣2＝（x+2）2﹣2≥﹣2； ﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣（x2﹣2x+1+2）＝﹣[（x﹣1）2+2]＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2 ﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8≤8并完成下列问题 （1）x2+6x+12＝（x+a）2+b≥b，则a＝　 　；b＝　 　；﹣x2﹣4x+1＝﹣（x+m）2+n≤n，则m＝　 　；n＝　 　； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：　 　； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 26．（12分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （1）求证：BE＝AD； （2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）； （3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$