第七章 复数 单元教学设计与实践-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数单元教学设计与实践 一、单元教学要素设计 （一）单元内容 1．内容 本单元在新的人教A版普通高中教科书《数学》（必修第二册）第七单元．复数是一类重要的运算对象，现已经被广泛应用于数学学科中．通过本单元知识的深入学习，可以提升学生运用各种方程求解的能力，深入理解复数存在的必要性与重要性，把握数系的扩充原因以及复数表示、运算及几何意义，体会数系扩充过程中理性思维的作用．本单元特别注重复数表示和运算的几何意义，强调形与数的融合．学生通过本单元的学习，可以提升数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养．本单元内容包括：7.1复数的概念、7.2复数的四则运算、7.3复数的三角表示．其中“7.3复数的三角表示”是新增加内容，定位为选学内容，但课时与必学内容课时相同． 本单元的知识结构如下： 2．内容解析 本单元通过解方程引入了复数，进而研究了复数的表示和运算，以及它们的几何意义，将实数系扩充成复数系．复数本质上就是一对有序实数．因此，复数与复平面内的点是相互对应且唯一的，同时其与复平面内原点作为起点的向量，也是一一对应的，由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角形式．因此，复数的代数形式，三角形式都具有至关重要的几何意义．从复数运算的角度来看，复数代数加减运算具有的几何意义即相对应的平面向量之间的加减运算；复数乘除运算具有的几何意义，即所谓的平面向量的旋转、伸缩等各种变化．本单元中主要是对数与形之间的融合作以重点论述分析，所以数形结合的思想方法是我们在学习时应注意把握的．同时，学习本单元还应注意复数与实数、有理数的联系，复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系，注意复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其各种加、减运算之间的联系，同时还应该对复数的三角表示以及复数的乘除运算与平面向量、三角函数之间形成的关系予以重点关注与把握．下图为其的具体联系示意图： （二）单元目标 1．目标 （1）复数的概念 ①通过方程的解来认识复数； ②理解复数的代数表示及其几何意义； ③理解两个复数相等的含义． （2）复数的运算 ①掌握复数代数表示式的四则运算； ②了解复数加减运算的几何意义． （3）复数的三角表示 ①了解复数的三角形式； ②了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； ③了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 2．目标解析 “7.1复数的概念”，数系的扩充是必要的，本节从解方程的角度来引出，从而引入虚数单位；进而类比由有理数集扩充到实数集的过程，从可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充成为一个复数集．究其本质，复数是有序实数，复数集C与复平面中的点集合是相互对应且唯一的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，这就是复数的两种几何意义．本节内容是整单元的基础知识，为后续的学习与理解奠定了重要的基础，旨在提升学生的思维逻辑、推理计算、直观想象等数学学科中最基本的核心素养与综合能力． “7.2复数的四则运算”，探讨分析复数集中的四则运算问题，即研究复数的加、减、乘、除运算，其中加法、乘法运算是核心，减法、除法运算则是其的逆运算．同时，还围绕复数加法、减法运算具有的几何意义予以重点阐述与分析．本节旨在提高学生的数学运算、直观想象等能力． “7.3复数的三角表示”，以复数的向量表示为切入点，运用基础的三角函数知识，便可以求得复数的其他表示形式——三角表示，至此便探究分析复数乘、除运算的三角表示方法及其具有的重要几何意义．复数乘、除运算的三角表示相对比较简单，其通常可以简化为复数，再进行乘、除运算；其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩，因此利用它们可以方便地解决很多平面向量和平面几何问题．本节侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养． （三）教学问题诊断分析 数系通常包括两个要素，其中一个因素是组成数系的数，第二个因素是数系中的运算及运算律．另外，数系的扩充过程也非常关键．因此，本单元的重点是：数系的扩充过程，复数代数形式及其几何意义，加、减、乘、除四则运算，复数加、减运算的几何意义．需要特别指出的是，复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，这种形式在复数体系中乃至整个数学中具有极为重要的地位．但鉴于新课标将其定位为选学内容，不作为考试要求，因此不将它作为本单元的教学重点．但我们建议一旦选学复数的三角表示，同时也将复数的三角表示式，本单元教学工作的主要内容为复数乘、除运算的三角表示及其具有的几何意义． 由于学生对数系扩充的“规则”不太了解，也不适应复数代数形式是由两项的和构成的，因而复数的引入是本单元的一个难点．借助之前学过的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，梳理其扩充过程中体现的“规则”，依托于这些“规则”的指导作用，实现由实数系至复数系的扩充则是该难点内容中的重点．复数的三角表示式与向量表示、三角函数之间具有显著相关性，其形式也比较复杂，因此复数的三角表示也是本单元的一个难点．充分注意复数本质上是一对有序实数，进而从复数的向量表示出发，并突出复数与向量、三角函数以及几何之间的联系，是突破这个难点的关键． （四）学习评价 1．内容 设计单元作业、单元检测试题要以实际学情为标准．每节课都要有目标检测练习，以此来检测本堂课的目标完成情况；单元和课时的作业与检测构成完整性的评价体系．本单元结束时要进行定时测试，收集数据，分析反馈． 2．方式 数据分析，形成性评价，终结性评价． （五）教学策略 1．课时安排 本单元教学课时为8，具体工作分配内容如下所示（仅供参考）： 7.1复数的概念 约2课时 7.2复数的四则运算 约2课时 7.3复数的三角表示 约2课时 小 结 约2课时 2．重点 （1）数系的扩充过程； （2）复数的代数形式及其几何意义； （3）复数的加、减、乘、除四则运算及其加、减运算具有的几何意义． 3．难点 （1）复数的引入； （2）复数的三角表示． 4．教学方法 （1）问题驱动式 （2）启发式 5．资源支持 利用信息技术工具 二、课时教学设计案例 7.3*复数的三角表示（两课时，单元教学设计） （一）内容和内容解析 1．内容 复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其具有的几何意义． 本单元的知识结构框图： 本单元大约需2课时完成：第一课时，复数三角表示式；第二课时，复数乘、除运算三角表示及其具有的基本几何意义． 2．内容解析 复数的主要表示形式之一即复数三角表示，复数及其乘、除运算的三角表示及其具有的几何意义，拓宽复数代数形式及其乘除运算等相关的基础知识．复数的三角表示可以表明复数与平面向量、三角函数等各种相关知识之间的具体关系，主要用于解决平面向量、三角函数和平面几何中存在的各种问题，并为学生后续复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识的深度学习奠定重要的基础．本单元内容起到由高中到大学数学课程的过渡作用． 复数的三角表示，本质是使用有序数对明确复数，将其表示为的形式．复数三角形式与代数形式之间密切相关，并运用三角函数中的基础理论知识，从而实现三角与代数两种形式之间的相互转化；建立在复数基础上的三角表示，根据复数乘法运算法则，结合三角恒等变换等相关知识，便可以求得复数乘法运算的三角表示，复数三角表示对本单元知识学习起到奠定基础的作用．复数乘法运算的三角表示便可以推算出复数除法运算三角表示．复数乘、除运算三角表示具有形式简单的优势，极大地提高了复数的乘、除运算效率与准确度，几何意义显著．因此，复数乘、除运算三角表示具有平面向量的旋转、伸缩的几何意义．利用复数运算三角表示具有的几何意义，从而实现由复数、三角以及平面几何到向量的转化，进而解决各种相关问题．至此，复数乘、除运算的三角表示及其具有的几何意义具有至关重要的作用． 在本单元中，复数三角表示以及乘、除运算几何意义是重点内容，可以反映出数与形二者之间的有机结合．复数的三角表示以向量为切入点，将数形予以结合表示，并运用三角函数知识即可求得；复数的乘、除运算运用三角表示具有的几何意义便可以转换为向量旋转、伸缩变换等．同时，本单元知识包含了化归与转化等一些重要基础的数学思想，例如复数的三角与代数形式可以互换，复数除法运算与复数乘法运算的三角表示可以互换，很多复数问题还可以借助于平面向量的方式予以解决，平面向量问题也可以借用复数问题的方法予以解决．同时，本单元研究采用类比法，例如三角形式复数相等与代数形式两个复数相等具有相类似的充要条件，复数除法三角与复数乘法三角表示具有相类似的几何意义等．借助于本单元中包含的各种知识素材资料，促使学生充分理解与学习数学思想与方法，至此培养与提升学生得直观想象、逻辑推理等数学学科综合能力． 综上所述，明确本单元中的教学重点内容：复数三角表示形式，乘、除运算的三角表示及其具有的几何意义，以及内容反映出的数形结合、化归与转化、类比等一系列的数学问题解决方法． （二）目标和目标解析 1．目标 （1）了解与把握复数三角表示式的推导过程及其三角表示式． （2）了解与把握复数的代数表示与三角表示二者之间的具体关系，掌握复数三角与代数形式之间的相互转化，明确使用三角形式表示时要求的复数相等条件． （3）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． （4）了解与把握数形结合、化归与转化、类比等一系列的数学思想方法，提高直观想象、逻辑推理以及数学运算等数学综合能力． 2．目标解析 （1）复数与向量之间相互对应，学生可以利用描述向量大小与方向的模与角表达复数，即可得到复数三角表示式．至此便可以把握的三角表示式的结构特征：①是复数的模；②式中的三角函数是同一个辐角值的余弦和正弦；③在前，在后；④和之间用“+”连接，并能据此辨别给出的复数是否为三角形式．能够说出辐角的概念，解释辐角的多值性，知道辐角主值的范围，以及非0复数辐角主值的唯一性．会画出三角形式表示的复数对应的向量． （2）依据运算的具体需求情况，学生可以对复数的三角与代数形式进行相互转化；对比分析复数代数形式表示时两个复数相等要求的充要条件，确定出复数三角形式表示中两个复数相等要求的充要条件，同时还可以对三角形式表示的两个复数的相等与否进行判断分析． （3）学生可以运用复数的乘法法则、两角和正弦、余弦公式等，推出复数乘法运算中的三角表示式，并借助于文字语言对其具有的含义予以阐述分析；依据复数乘法运算的具体三角表示，理解与把握复数乘法具有的几何意义；对比分析复数乘法运算三角表示及其几何意义，从而确定出复数除法运算具有的三角表示和几何意义；根据复数乘、除运算的三角表示和几何意义予以计算，应用于复数、三角和平面向量等各种问题的解决过程中． （4）在教师的指导作用下，学生可以运用数形结合的理念，探讨分析复数三角表示式以及复数乘、除运算具有的几何意义；在推导复数除法运算三角表示时，理解与把握化归与转化的思想与差异；运用类比方法，讨论分析三角表示复数相等时的充要条件，以及复数除法运算三角表示具有的基本几何意义；在转化复数三角与代数形式时，可以理解与把握不同事物之间互化中包含的辩证唯物主义观点． （三）教学问题诊断分析 学生在之前的数学学习中已经掌握了数系扩充的过程，了解了复数的基本含义和结合含义，知道了如何从平面点和向量入手找到复数上对应的点和向量；并在此基础上熟悉了复数的基本运算法则，这对于后续复数的学习打下了伏笔，学生在接下来学习复数的三角时更容易上手。如何从思维角度出发学习探究复数的三角表达式，教师需要对此进行教学引导。如何理解复数的三角表达式与复数的向量表示、三角函数之间的关系，这是教师需要着重强调的，为避免学生进入思维思考定式，教师需要在复数的三角表达式的学习重难点上进行正确思维方式引导。 学生在高中数学学习学习中，已经拥有了基本的数学思想，在进行数学问题的解答时，已经基本掌握了数形结合、化归与转化等数学解题意识和方法，进行数学意义探究和方法探究时，大多数学生可灵活运用类比法加以分析，但是只有极少数能够针对具体数学问题提出具体的解决思路和方法，因此学生在利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，可能会遇到相应问题，需要教师进行带领和及时疏导。 在高中学习过程中，复数部分属于高考超纲内容，导致学生容易忽略本部分的知识学习。由此教师在进行复数知识的学习导入时，需要合理创设情境，提高学生的学习积极性，强调复数部分在后续学习的过程中打下的重要基础铺垫作用。 综上所述，本单元的教学难点为： （1）探究、理解复数的三角表示式； （2）对复数乘、除运算三角表示的几何意义的理解． 针对难点（1），教师需要提前警示复数部分学习的基础和重要作用，在合理设置教学导入和创设情景的情况下让学生做好预习，先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再课上跟着老师进行复数的学习和探究，以提高知识的接纳程度，在此探究过程中，学生需要将重点放在复数与平面向量和三角函数的联系性方面；为了帮助学生更好的理解复数的三角表达式，教师需要带领学生明晰复数三角表示式的基本结构特征，以加深此部分教学重难点的印象。 对于难点（2），可以借助信息技术工具，分别画出复数表示的向量，让学生观察的模和辐角与的模和辐角的关系，进而得出相应的几何意义．也可以先给出几个具体的例子，让学生观察规律，再归纳总结得出一般性结论．这样就能帮助学生理解复数乘、除运算三角表示的几何意义，从而有效地突破这个难点． （四）教学支持条件分析 信息技术工具的利用有助于探究并理解辐角．例如，可以使用信息技术工具画出平面向量表示的复数．让学生通过观察、比较，初步确定将始边定为以轴的非负半轴，以向量所在射线（射线）为终边的角刻画平面向量的方向；利用动画动态演示的方式改变复数对应的平面向量的位置（在不同象限或在实轴、虚轴上），观察探究不同的角所分别对应的平面位置，探究此平面向量方向存在的合理性，以及复数与平面向量的对应关系，体会辐角的多值性和辐角主值的唯一性． 在进行复数的三角表达式基本应用以及几何意义探究时，为帮助学生更好的理解和应用，可合理借助信息技术工具，使学生感受两个复数相乘（或相除）时，相应动态演示图上模和辐角的变化状态。 （五）教学过程设计 （第一课时）复数的三角表示式 上一节课我们已经基本了解了复数的基本含义、几何含义，学会了复数的基本乘除运算内容，这节课需要将重点放在复数的三角表达式探究方面，接下来就跟着老师一起来学习吧。 1．创设情境——知识回顾 问题1:在进行复数的三角表达式学习之前，我们要先考察前面学习的复数的概念、复数的几何意义，同学们是否掌握牢固，有哪位同学自告奋勇的告诉老师上一节课我们学习了什么内容？ 师生活动：学生思考、回答，指出称为复数，以及复数的两种几何意义：和平面上的点以及向量一一对应． 追问(1)：你能在复平面内用平面向量表示吗？ 师生活动：学生回答，教师利用信息技术工具或在黑板上画出复数对应的平面向量． 追问(2)：已知平面向量，能唯一确定与之对应的复数吗？复数的表达式是什么？为什么？ 师生活动：学生思考并回答：由于复数与平面向量一一对应，所以已知平面向量能唯一确定与之对应的复数，其表达式为．教师总结，复数可以由向量坐标唯一确定． 设计意图：要想进行复数三角表达式的探究需要借助复数的几何意义内容，在有效激活学生已有的知识储备的基础上，带领学生进行后续知识的学习。 2．拨云见日——引入新知 问题2：我们知道复数可以由向量的坐标唯一确定，向量除了可以利用坐标唯一确定，此向量所具有的具体大小和方向也会影响其实际表达内容，那我们该如何借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？首先我们一起来观察分析图1。 追问(1)：为了解决问题2，首先应研究什么？ 师生活动：经过小组讨论和师生互动后一致得出解决问题2的基础是先定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量的大小可以用复数的模来表示，向量方向可以借助角角来表示． 追问(2)：如何用文字语言表述角呢？ 师生活动：教师在学生思考回答的基础上进行补充说明和问题纠正，最终探究得出:角是以轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线)为终边的角． 设计意图：合理利用图画工具，在复习复数的几何意义和基本运算方法的情况下，让学生尝试自主探究刻画向量的大小和方向，有利于后续进行复数三角表达式的研究和学习。及时合理借助教科书的教授思路也是教师的必备素养。 追问(3)：你能用向量的模，以及以轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线)为终边的角来表示复数吗？ 师生活动：同样让学生采取自主探究和分组讨论的方式，试图让学生通过复数的向量表示的图形（图1）得出，所以复数 设计意图：为了让学生通过几何内容来进行复数三角表达式的学习探究，需要合理借助图形，灵活运用复数和平面向量的关系以及数形结合的知识点，得出模和角与平面向量的坐标的关系。 追问（4）：刚才我们画的图形1，角的终边落在第一象限，得到，这个式子是否具有一般性呢？即我们研究的角的终边无论落在第几象限还是在实轴或虚轴上，这个三角表达式都是始终成立的吗？是否具有偶然情况和特殊情况呢？ 师生活动：教师带领学生合理借助图画工具和信息技术工具，通过不断改变角终边的位置以及平面向量的位置，探究此三角表达式存在的合理性，最终总结出:不管的终边落在什么位置，都有．教师指出叫做复数的三角表示式，简称为三角形式，并进行复数的三角表示式内容的巩固和加深，同时合理引入复数中辐角的概念以及其两种不同的表示方式（弧角和角度），最后为了防止学生弄混复数的三角式和三角形式，把叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 设计意图：为了培养学生探究数学时思维的严谨性和逻辑性，带领学生从特殊到一般的角度归纳出其具体的复数三角表达式，培养学生的数学思维和良好的思考习惯。 问题3： 一个复数的辐角的值有多少个？ 师生活动：教师让学生利用教科书和图画工具，进行小组讨论和分组作答，教师进行错误指导和问题分析，最终得出探究结论:任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个． 追问（1）：这些辐角的值之间有什么关系呢？ 师生活动：学生小组代表回答，教师最终得出结论:因为任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差的整数倍． 追问（2）：若复数为0，它的辐角是哪个角？ 师生活动：教师让学生利用教科书和图画工具，进行小组讨论和分组作答，教师总结:复数为0，它的辐角是任意角。对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0． 设计意图：激发学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考思维模式，为了解复数为0时辐角的任意性，让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差2π的整数倍。 问题4：复数为0，它的辐角是任意角，也就意味着复数辐角具有多值性的特点，但是这种特点在数学研究中具有不便性，不利于后续的数学探究与学习，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？ 师生活动：学生借助图形思考问答．教师总结：我们规定在0≤θ≤2π范围内的辐角的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．接下来，教师给出辐角主值的定义，称在0≤θ≤2π范围内的辐角的值为辐角的主值， 通常记作argz，从而0≤argz<2π． 追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？ 师生活动：教师让学生利用教科书和图画工具，进行小组讨论和分组作答，教师进行错误指导和问题分析，最终得出探究结论:一个非零复数的辐角主值有且只有一个．教师总结：每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值． 设计意图：为了方便后续的数学探究与学习，保证研究中辐角的主值的唯一性，需要教师给出辐角的主值的概念和取值范围。 3．巩固新知——例题讲解 例1．利用学过的复数三角表达式的几何含义和基本内容，判断下列表达式是否属于复数的三角形式，如果不是，把它们表示成三角形式。 　　　 师生活动：学生先进行独立思考和分别作答，教师在巡视过程中可注意各个学生的解题进程，对于技术知识较为薄弱、作答困难的学生分别指导，同时对于学生出错部分和易出错部分进行强调和重点内容标识，以保证学生确实掌握此部分的教学重难点。最后带领学生进行反思和问题总结：为了掌握复数的非三角表示式转化为三角表示式重点部分，需要熟练应用三角函数的诱导公式进行恒等变换。 设计意图：当堂掌握学生三角表示式的概念的基本学习情况，对于教学重难点和易出错点加以警示，辨析复数的三角表示式的基础上，学会将复数的非三角表示式化为三角表示。 例2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： 师生活动：先由教师带领学生复习复数对应向量的基本学习内容，教师明确做题思路的基础上带领学生进行第（1）小题的板书作答，学生独立作答书写第（2）小题完整的解题步骤，教师检查正误并给予相应答题指导。 教师总结解题思路：要想熟练掌握该种题型的解答技巧，需要牢固掌握复数的基本意义和复数的几何意义，要通过数形结合解决问题．只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．而利用即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用或的值求辐角． 设计意图：带领学生巩固复数的基本含义和复数的几何含义，并感受复数和平面向量一一对应的关系；借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限。 例3．运用复数的几何含义，分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： 师生活动：学生先进行独立思考和分别作答，教师在巡视过程中可注意各个学生的解题进程，对于技术知识较为薄弱、作答困难的学生分别指导，同时对于学生出错部分和易出错部分进行强调和重点内容标识，以保证学生确实掌握此部分的教学重难点。最终由教师总结反思：应注意辐角的值不只一个，写出的辐角可以是辐角的主值，也可以不是，它们相差2π的整数倍． 设计意图：本例有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中，的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是为了帮助学生掌握如何将复数的三角形式化为代数形式的方法，合理利用三角函数公式知识点内容。 问题5：小组探究和分组讨论内容:两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 师生活动：引导学生利用类比的方法思考、回答．教师可以引导学生按照下面的思路进行探究：两个复数相等两个复数对应的向量相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等．通过推理，顺理成单元地得出结论． 设计意图：为了让学生体会数学探究中的科学性和严谨性，带领学生利用类比的方法得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件。 4．实战演练——课堂练习 （1）教科书第86页练习1 （1）（3）． （2）教科书第86页练习2 （1）（2）． 5．总结反思——提高认识 （1）让学生自主回忆复数的三角表达式探究基本方法，并对此方法进行总结，以便于后续几何内容的学习和基本探究过程的展开。 （2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？ （3）我们在整体的数学复数探究过程中是怎样得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件的，两个复数相等的充要条件的是什么？ 师生活动：教师在整个复数教学内容总结反思过程中起着带领作用，由教师提出问题，学生可采取分组讨论和独立作答的方式进行问题反馈，同时教师对其教学重难点加以强调，最后由教师进行问题梳理和作答点评、方法总结。 设计意图：教师带领学生回忆整个教学探究过程，对于教学重难点部分进行强化，让学生学会数学思考方法和研究思路，培养学生数学思维，提升学生整体学习能力。 6．板书设计 7．布置作业 教科书第86页练习． 8．目标检测设计 (1)画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： ① ② 设计意图：巩固复数的三角表示式的基础上，考查学生将复数的三角形式化为代数形式的能力。 (2)利用学过的复数三角表达式的几何含义和基本内容，判断下列表达式是否属于复数的三角形式，如果不是，把它们表示成三角形式。 ① ② ③ 设计意图：当堂掌握学生三角表示式的概念的基本学习情况，对于教学重难点和易出错点加以警示，辨析复数的三角表示式的基础上，学会将复数的非三角表示式化为三角表示，考查学生对复数三角形式的掌握程度． （3）将下列复数表示成代数形式： ① ② 设计意图：巩固复数的三角表示式的基础上，考查学生将复数的三角形式化为代数形式的能力。 （第二课时） 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 我们在之前的复数学习中已经掌握了复数的基本含义和几何含义，学会了复数的基本表达方式—三角形式，掌握了复数代数形式的四则运算，这节课我们一起来研究复数的四则运算是否能用三角形式表示。 1．创设情境——知识回顾 问题1：首先我们一起来回忆一下复数代数形式的四则运算法则，请问加法和乘法运算的法则是什么？ 师生活动：学生回忆后回答． 设，则 ，． 设计意图：复数加法、乘法运算的法则利于对于复数乘法运算的三角表示进行铺垫． 2．拨云见日——引入新知 问题2：请问复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？ 追问(1):如果把复数分别写成三角形式 你能计算和并将结果分别表示成三角形式吗？ 师生活动：教师首先给予学生一定的思路点拨后，让学生进行独立思考和分组探究，由小组代表分别作答，教师对其答案进行错误纠正和补充，最终得出研究结论为:一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为 教师板书复数乘法的三角表示公式． 追问(2)：请问复数的减法运算是否能用三角形式来表示？ 师生活动：由于复数的减法运算属于逆运算，具有不便性，教师在进行教学引导时可提倡学生将复数的减法运算换算为加法运算，采用类比分析法得出以下复数探究结论：一般说来复数的减法不便表示成三角形式． 设计意图：培养学生的独立思考能力，让学生在巩固复数的几何意义和复数三角表达式知识点基础之上进一步体会复数和三角之间的紧密联系． 问题3：你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？ 师生活动：学生独立思考后，老师派代表回答，最终由教师进行点评和问题纠正得出结论:两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积， 积的辐角等于各复数的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 设计意图：提高学生的思维逻辑性和语言组织能力，巩固之前学过的复数基本内容以及其三角表达式内容的理解和记忆。 问题4：请你利用学过的复数几何意义知识以及其复数乘法三角表达式探究复数乘法运算所具有的几何意义。 师生活动：学生独立思考后，小组交流作图，教师借助几何画板和数学信息工具画出对应的向量，演示乘法运算的过程，学生归纳得出复数乘法运算三角表示的几何意义(图2)． 设计意图：培养学生的独立思考能力和探究意识，着重培养学生举一反三的数学创新能力，让学生体会数形结合思想，教会学生如何借助多媒体工具和几何图形进行分析，探究得出复数乘法三角表示的几何意义。 问题5：你能解释的几何意义吗？ 师生活动：学生思考并陈述结论，教师归纳总结:，可以写为其几何意义是“将对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到-1对应的向量”；可以写为，其几何意义是“将-1对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到1对应的向量”． 设计意图：让学生利用之前学过的复数基本内容和知识点进一步理解熟悉的乘法运算的基本结论，培养学生的独立思考能力和逻辑思维。 3．巩固新知——例题讲解 例1．已知，求，请把结果化为代数形式，并做出几何解释． 师生活动：学生自主做题，老师观察学生的做题情况，有问题的学生老师可进行答疑，学生做题完成的情况下采用多媒体展现做题思路。教师针对学生的情况找出问题：采用复数乘法的三角表示是首先要具备一定条件，复数应该为三角形式，才能采用“模数相乘，辐角相加”的算法。教学方面需要学生的关注点：倘若计算结果未展现为复数的代数形式，那么可采用三角形式展现结果。 设计意图：确保学生借助复数乘法的三角表示公司开展运算活动，认识到算理、复数乘法运算三角表示的价值。 例2．如图3，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到．求与向量对然后呢应的复数(用代数形式表示）． 师生活动：教师和学生共同分析解题思路：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°．然后由学生完成解题过程并反馈交流，教师指导学生反思：平面向量和复数有着非常紧密的联系，向量的旋转问题或模长伸缩问题可以转化为复数的乘法运算问题；反之亦然． 设计意图：确保学生懂得采用复数乘法的价值，解决部分预算问题，比如某些和向量旋转、伸缩方面的问题，感受到采用此项算法的便利性。 类比探究： 问题6：除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？ 师生活动：在教师的引导下学生积极相互讨论，最终得出复数除法运算转成乘法运算的方法(配凑法)，自行得到复数除法运算三角表示公式，公式如下： 利用文字进行阐述：对于两个复数相除，它们的商的模等是被除数的模除以除数的商，对于商的辐角来讲，它是被除数的辐角减去除数的辐角获取的差值。 追问：你还有其他的推导方法吗？ 师生活动：在教师的引导下学生进行分析，教师引导，采用“分数”运算进行推导，公式如下： 设计意图：按照复数乘法运算三角表示，让学生按照已经学习到的知识进行进一步的推导，得出复数除法运算的三角表示，借助已有知识获取复数除法运算的三角表示，了解到化归和转化、类比的特点。 问题7：意识到类比复数乘法的价值，利用复数除法运算的三角展现，是否体现复数除法的价值？ 师生活动：教师引导，进而由学生自己画图并观察图形，得出复数除法运算的几何意义，教师借助几何画板演示（图4）． 设计意图：通过复数除法三角表示几何意义的自主探究，让学生进 一步感受乘法和除法相互转化的关系，感受向量与复数之间的联系，同时感受数形结合、化归与转化思想在研究数学问题中的作用． （图4） 问题8：如果复数对应的向量，绕点O按逆时针方向旋转角，模不变，所得向量对应的新复数是什么？ 师生活动：学生思考、讨论后回答：对应的新复数是 追问（1）：若按顺时针方向旋转角呢？ 师生活动：学生思考口答：新复数是 追问（2）：若模伸长或缩短倍呢？ 师生活动：学生通过分析回答问题，老师利用几何画板进行推导，确保学生进一步理解其中内容。教师总结：借助复数乘、除运算进行讲解，讲平面向量的旋转、伸缩问题变为复数的乘、除运算问题；相反的状态下与此完全不同。 设计意图：让学生积极分析问题，研究复数乘、除运算反向应用，有效拓展思维能力，意识到平面向量与复数之间如何进行转化。 例3．计算，并把结果化为代数形式． 师生活动：学生独立完成后反馈交流． 设计意图：确保学生借助复数除法运算三角表示的方法进行运算，进一步熟悉算理．指导学生反思：首先要确保复数均为三角形式，然后才能运用复数除法运算的三角表示公式进行运算． 4．实战演练——课堂练习 （1）教科书第89页练习1 （2）教科书第89页练习2 5．总结反思——提高认识 （1）复数乘法运算、除法运算的三角表示公式和其几何意义体现出何种差别？展现推导的过程，简要讲解分析的方法等。 （2）简要讲述复数的代数形式与三角形式之间的差异以及关联关系，讲解运算方面体现出的优点，适用于何种运算？ 师生活动：教师这些情况提出问题，学生进行互相的讨论以及研究，教师对学生的具体情况进行评价，帮助他们进一步分析问题。 设计意图：让学生通过自己的分析找出本节的重点，获取体现合理性的研究方法、研究思路。 6．板书设计 7．布置作业 教科书习题7．3第1〜6, 8题． 8．目标检测设计 （1）计算下列各式，并做出几何解释： ① ② ③ 设计意图：观察学生是否熟练掌握复数乘除运算的三角表示式，是否了解其存在价值。 （2）复平面当中，将和复数对应的向量绕原点O依据顺时针旋转，角度为30°，通过计算的方式取得向量对应的复数（代数形式表示）． 设计意图：观察学生是否了解对复数除法运算以及应用情况。 三、单元整体评价与反思 （一）核心知识评价要求 依据本单元的学习目标和学业要求，可列出本单元的8个核心知识，它们是了解、理解、掌握，高一级的层次当中涉及含低一级的要求。具体内容见表1． 表1 对数学知识技能的评价，本单元应关注学生是否了解数系扩充的必要性，是否理解复数的代数表示式，是否知道复数的几何意义，是否知道两个复数相等的含义；是否掌握复数的四则运算法则，是否能熟练应用；是否了解复数加、减运算的价值；是否意识到复数三角表示式的基本结构和存在价值，是否懂得如何进行复数代表是与三角表示视的相互转化；是否意识到复数乘、除运算的三角表示和其存在价值等。 为此，我们对本单元8个核心知识的评价要求，分别按照了解、理解和掌握三个层次的具体含义进行细化解析，使其对教学具有有效的评价和指导作用． （1）了解复数的概念：能类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解，认识复数． （2）理解复数的代数表示和几何意义：了解复数代数表示式的结构特征，有效分析复数的实部、虚部，感知复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关联性，采用类比实数的方法了解其内在价值，阐述复数的意义，了解复数和有序数对、平面向量的关联性，绘制复数对应的点、向量；了解复数模的内在意义，通过计算获取复数的模；了解共轭复数的内在意义，通过计算的方式获取复数的共轭复数． （3）理解复数相等：能说明两个复数相等的含义，会根据复数相等的含义判断两个复数是否相等． （4）掌握复数代数表示式的四则运算：能描述复数加法的运算法则及交换律、结合律；能类比实数的减法运算，得出复数减法的运算法则；能描述复数乘法的运算法则及交换律、结合律和乘法对加法的分配律；能描述复数除法运算法则，会利用共轭复数将复数除法运算转化为乘法运算；按照复数的运算法则、运算规律开展复数的四则运算． （5）懂得复数加、减运算的几何意义：了解复数的加法、减法可依据向量的加法、减法应用，会用向量表示复数的加法和减法运算，会利用向量的模求出复数的模． （6）懂得复数的三角表示：按照复数的几何意义进行推导，获取复数的三角表示式；了解复数三角表示式的特点，懂得辐角与辐角主值的含义。 （7）了解复数的代数表示和三角表示的关联性：了解复数三角表示式、代数表示式的互相转化，了解两个三角表示的复数相等时需具备的要求。 （8）认识复数乘、除运算的三角表示和几何意义：按照复数的乘、除运算法则、三角恒等变换的获取表示式，它们是复数乘、除运算的三角表示式，并进行运算、验证；了解复数乘、除运算三角表示的存在价值，分析复数、三角和向量等问题． （二）思想方法评价要求 本单元的数学思想方法涉及到两个内容，它们是数形结合的思想、化归与转化的思想，详细内容见表2。 表2 思想方法 评价要求 数形结合 在复平面内，能作出与复数对应的点和向量，能借助图形，说出复数和点以及向量之间一一对应的关系；会根据向量的模求出复数的模；能用向量的加、减运算来进行复数的加、减运算．能在复平面内，作出复数三角表示式和复数乘、除运算三角表示的几何解释；采用复数乘、除运算三角表示的几何意义分析部分问题，例如复数、三角、向量等。 化归与转化 复数的减法运算转化成加法运算；复数的除法运算转为乘法运算；懂得如何进行复数的代数表示式与三角表示式的互相转换。除法运算的三角表示可变为乘法运算的三角表示；懂得复数乘、除运算三角表示的存在价值，复数、三角等运算问题变成向量旋转等问题，解决问题。 对数学思想方法的评价，要特别关注学生能否运用数形结合的思想方法分析问题和解决问题．如学生能否在复平面内正确画出表示复数的点或向量，能否理解复数代数表示式的加、减运算的几何意义，能否在复平面内作出复数乘、除运算的几何表示，是否利用复数乘、除运算解决某些问题，例如复数、三角以、向量等。 （三）关键能力评价要求 本单元的涉及到推理论证能力、运算求解能力、直观想象能力，详细的评价见表3。 表3 关键能力 评价要求 推理论证 能类比有理数扩充到实数的过程和方法，研究实数集的扩充问题；采用类比的方式进行分析眼睛，懂得实数和数轴点的复数存在价值；采用类比实数四则运算的法则、运算律进行分析，获取复数四则运算的法则、运算律；能综合运用复数的几何意义（点、向量）和三角函数知识，得出复数的三角表示式；采用类比两个用代数形式表示的复数相等的前提要求获取两个用三角形式表示的复数相等的具体要求；可按照复数乘法法则、除法法则进行分析，获取复数乘法运算以及除法运算的三角表示；可类比复数乘法运算三角表示的意义进行分析，获取复数除法运算三角表示的价值等。 运算求解 了有效使用复数代数表示式的四则运算法则、运算律进行复数的四则运算；会求复数的模；能进行复数代数表示式和三角表示式的互化；可采用复数乘、除运算的三角表示进行复数运算；了采用复数乘、除运算的存在价值分析问题，例如简单的复数或三角、向量等。 直观想象 可借助向量表示复数；知道复数代数表示式的加、减运算和模可以转化为向量的加、减运算和模；可采用复数加、减运算的存在价值分复数运算问题；可按照复数的存在价值进行分析复数的三角表示；按照复数乘、除运算三角表示的存在价值研究不复杂的问题，例如复数、三角、向量、平面几何等，有效拓展思维能力。 对关键能力的评价，要特别关注以下两点： （1）学生能否利用类比的方法研究问题．例如，学生能否类比有理数系扩充到实数系的方法来研究实数系的扩充问题，可否采用类比实数四则运算的法则、运算律获取复数四则运算的法则以及运算律，可否采用类比复数加法运算的几何意义进行分析，了解复数减法运算的存在价值，可否采用类比代数形式的两个复数相等的必须条件进行分析，并获取三角形式的两个复数相等的必要要求，可否采用类比复数乘法运算三角表示的存在价值进行分析，并取得复数除法运算三角表示的存在价值等。 （2）学生直观想象能力的提升．例如，学生是否理解复数的几何意义，可否认识到复数加、减运算的存在价值是为向量的加、减运算，可否采用向量表示复数，可否采用复数乘、除运算三角表示的存在价值分析三角、向量等问题。 综上所述，按照数学核心素养的要求进行分析，对于原有教学活动进行调整，整体设计“复数”的单元教学，充分照顾了学生的认知过程，能够更好的理解数学知识的整体性、思想方法的一致性、思维素养的系统性，培养了学生解决数学问题的能力．在此过程中，单元教学不能离开课时教学，课时教学又是单元教学的组成部分，必须关注单元与课时、课时与课时之间是既有层次又有联系的特殊关系，研究教学内容，注重知识结构的特点。例如，本单元充分利用单元这个核心工具，系统的学习、类比、想象、归纳，讲解复数的含义，有效拓展学生在数学方面的思维能力，虽然复数的三角表示是选学内容，但应倡导并鼓励学生学习，要让学生关注复数与平面向量，三角之间的联系性，体会复数三角表示的工具作用． 学科网（北京）股份有限公司 $$