精品解析：云南省保山市昌宁县第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

昌宁县第二中学高二年级2024年秋季学期9月份月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35-0.45 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系（ ） A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>a>c 5. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定为锐角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则 D. 若，，，则有两解 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为__________． 13. 如图，在空间四边形中，是的重心，若，则__________. 14. 定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为__________. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域． 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． （1）证明：； （2）求平面ADEF与平面PCD的夹角． 17. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若点到直线的距离为的面积为，求的周长. 19. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，． （1）当时，若向量，，求与所成角的余弦值； （2）当时，证明：①；②； （3）当，时，探究与的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌宁县第二中学高二年级2024年秋季学期9月份月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35-0.45 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】, 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，或，推不出； 当时，必有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 3. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可. 【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为. 故选：D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系（ ） A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>a>c 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断. 【详解】因为，，， 所以b>a>c 故选：D 【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题. 5. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据除法运算求得，再利用模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 6. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】AB可举出反例，C选项，由线面垂直的定义得到结论；D选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D错误. 【详解】若，不妨设m在内的投影为，则， 对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直， n可能与平行，也可能斜交，故A错误； 对于选项B：若，，此时m与可能相交、平行或m在上，故B错误； 对于选项C：因为，，则， 又，从而，故C正确； 对于选项D：因为，，则， 又，结合面面垂直判定定理可知，，故D错误． 故选：C. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原式变形为，结合不等式的加法性质利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式判断A选项；利用向量的坐标求模长，从而判断B选项； 利用向量垂直的坐标公式判断C选项；利用向量数量积的坐标公式判断D选项. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则， 解得，故D正确. 故选：BCD 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】 如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定为锐角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则 D. 若，，，则有两解 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，利用三角形的内角和定理和两角和的正切公式即可判断； 对于B选项，利用向量的数量积的定义即可判断； 对于C、D选项，利用正弦定理及大边对大角即可判断. 【详解】对于A选项，在中，， 则， 所以， 因为三角形中最多只有一个钝角，所以，即三个角都为锐角，故A正确； 对于B选项，因为，所以，所以为锐角，但无法判断角和角，故B错误； 对于C选项，在中，由及正弦定理，得，根据三角形大边对大角的性质知，故C正确； 对于D选项，由正弦定理得， 又由得，因此有一解，故D错误． 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，分析可知当时，轴截面面积取到最大值，进而可得底面半径和表面积. 【详解】对于圆锥的轴截面（为圆锥的顶点，为底面圆的圆心）， 设，则， 可得， 可知：当，即时，轴截面面积取到最大值2， 此时底面半径，所以该圆锥的表面积为. 故答案为：. 13. 如图，在空间四边形中，是的重心，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 14. 定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可化简出函数的解析式，在对应区间求出对应函数的值域，即能得到在上的值域. 【详解】根据题意，，即时，，即时，，即时，，即时，； ∴ ①时，是增函数；； ②时，， ，，， 综上得，在上的值域为. 故答案为： 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角函数平移变换与伸缩变换的性质推导即可得； （2）由的范围，可得的范围，即可得函数的值域． 【小问1详解】 的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图象； 【小问2详解】 设，由，得， 则，即在区间上的值域为． 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． （1）证明：； （2）求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2）60° 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合正方形性质得到线面垂直，得到，再由三线合一得到线线垂直，证明出线面垂直，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角. 【小问1详解】 ∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． 【小问2详解】 平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 17. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 【答案】（1），75； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图有，解得， 因为， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 【小问2详解】 设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，， 所以有， 记“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若点到直线的距离为的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理角化边即可求解； （2）由三角形面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理角化边得，，整理得， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 由题知，，即， 由三角形面积公式得，所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 19. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，． （1）当时，若向量，，求与所成角的余弦值； （2）当时，证明：①；②； （3）当，时，探究与的大小关系，并证明． 【答案】（1） （2）证明：①当时， ； ② ； （3），理由如下： 当，时， ， 同理可得， 则 . 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式计算即可得； （2）①结合方差的计算法则化简即可得；②借助所给数量积公式计算化简即可得； （3）借助所给恒等式计算出后，结合三角函数值域即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于运算，尤其需要清楚. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $