专题05 三角形的内切圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专题提升精讲精练（沪科版2012九年级下册）

专题05 三角形的内切圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 由三角形的内切圆求长度 题型二 由三角形的内切圆求角度 题型三 由三角形的内切圆求面积 题型四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型五 圆外切四边形模型 题型六 三角形内心有关应用 题型七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型八 三角形内切圆与外接圆综合 知识点一 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 【经典例题一 由三角形的内切圆求长度】 【例1】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，    根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点， ，，，， ，，， ， 设，则， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（2023·甘肃陇南·一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图， 连接， ∵与相切， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设， 中，，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r． 【答案】 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出是解题关键．设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长． 【详解】解：如图：连接，， 在，，，， 根据勾股定理， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， 即． 【经典例题二 由三角形的内切圆求角度】 【例2】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内心的性质得，分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点O是的内心，， ，， ， ， 点O是的外心， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键． 1、（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知，，利用三角形外角的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，进而可证，推出，则． 【详解】解：点为的内切圆的圆心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是通过导角证明． 2、（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 【答案】 115 80 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据、分别平分、，得出，，根据求出结果即可； （2）根据角平分线的性质求出，根据当时，，得出此时，求出． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴ ； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴此时， ∴． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点． 3、（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1） ； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 10 （2，-2） 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据I是的内心，利用OM=ON，BM=BE，AE=AN，得出AE+BE=6-x+8-x=10，求解即可． 【详解】解：（1）∵点，点， ∴OA=6，OB=8， 在Rt△OAB中， AB=； （2）连接OI，BI，AI，过I作IM⊥OB，IN⊥OA，IE⊥AB， ∵I是的内心， ∴OM=ON，BM=BE，AE=AN， 设OM=ON=x，则BM=BE=8-x，AN=AE=6-x， ∴AE+BE=6-x+8-x=10， 解得：x=OM=ON=2， ∴I的坐标为（2，2）， ∴点I关于x轴对称的点的坐标是（2，-2）． 【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题． 【经典例题三 由三角形的内切圆求面积】 【例3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法，勾股定理．根据已知得出是解题关键． 设、、与的切点分别为、、，证得四边形是正方形，然后根据切线长定理可得：，由此可求出半径的长，然后利用图中阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设、、与的切点分别为、、    在，，，， ∴， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， ∴． ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【答案】(1)2 (2)4 【分析】 （1）根据题意过点作于，于，于，得到点P是内切圆的圆心，根据三角形面积公式即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】（1） 解：如图，过点作于，于，于，    平分，平分，，，， ，， ， 点P为三角形内切圆的圆心， ， ， ， 即内切圆的半径为2； （2） 解：在上取一点，得，连接． ∵，， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， 的周长为4． 【点睛】 本题考查三角形内切圆，直角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题四】 【例4】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得：， ∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ∴， 即的周长是 ， ∴， 故选：A． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）在，，，，为的内切圆，与三边的切点为、、，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理、切线的性质以及三角形的内切圆，正确得出四边形为正方形是解题关键．直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形为正方形，进而得出正方形边长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ，，， ， 为的内切圆，、、为切点， ，，，，， 又，， 四边形为正方形， 设， ，； ，， ， 解得：， 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键． 由切线长定理可知：，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， 设，则． 根据题意得． 解得；． ∴， ∴． 【经典例题五 】 【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 2．（22-23九年级下·浙江·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为 【答案】 【分析】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x，AF=-x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求解. 【详解】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F， AB=AB1=，∠BAB1=30°， ∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30° ∴∠OAF=30°，∠AB1O=45° ∵OF⊥AB1 ∴B1F=OF=OA 设B1F=x，则AF=-x ∴（-x）2+x2=（2x）2 解得x=或x=（舍去） 即四边AB1ED的内切圆的半径为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键. 3．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 【经典例题六 】 【例6】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的内心为三角形的三条角平分线的交点， ∴可以成功找到内心的是： 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的定义得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 点I是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）三角形内心得，则，且，即可证明； （2）由（1）可知，则和．结合角平分的性质证得，有，结合即可； （3）由等边三角形的内心的，则和．即可证明，有和．结合角平分线得，有，结合即可证明． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点O是的内心， ， ，． ， ， ，即． 在和中， ． （2）证明：由（1）可知， ，． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． （3）解：． 理由：是等边三角形，点O是的内心， ， ，，． ， ， ，即． 在和中， ， ，． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形的内心、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉三角形的内心和全等的性质． 【经典例题七 】 【例7】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心、三角形面积，设内切圆的半径为，切点分别为、、，连接、、、、、，则，得出，即可得出结果． 【详解】解：设内切圆的圆心为，半径为，切点分别为、、，，，， 连接、、、、、，如图所示： 则， ∵三角形的三边长分别为3，4，5，， ∴为直角三角形， ， ， 即， 解得：， 故选：C． 1．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 3．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 【经典例题八 】 【例8】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：的位置如解图所示，连接，   的外心为， 由图可知． ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②i）见解析；ii）见解析 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【详解】（1）解：如图①，⊙O即为所求，    （2）解：①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）．    1．（23-24九年级下·四川泸州·开学考试）在边长为的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的内切圆．剪下最大的圆是该三角形的内切圆，根据勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，设该圆的半径为r，利用面积法列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意知，剪下最大的圆是该三角形的内切圆， ， 该三角形为直角三角形， 设该圆的半径为r， 则， 解得， 即该圆的半径是， 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期末）若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 4．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 5．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆及面积，设的三边分别与相切于点，连接，的半径为，利用等面积法进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，，，，设的三边分别与相切于点，的半径为，连接， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， 解得， ∴它的内切圆半径是， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理及内心，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：的周长为21，， ， 设与的三边、、的切点为、、，切为， ，，，， ， 的周长 ， 故答案为9． 9．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（22-23九年级上·广东江门·期末）三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为， 三角形的面积， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形周长、面积与内切圆半径的关系，如果三角形三边长分别为、、，内切圆半径为，则三角形的面积． 11．（23-24九年级上·河南漯河·期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键． （1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆即可； （2）如图1，连接，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆；        （2）解：如图1，连接， ∴，即， 解得，， ∴的周长为． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知如图，的内心为，连接并延长交的外接圆于点． (1)求证：； (2)直接写出点D是连接图中哪三个点构成的三角形的外心． 【答案】(1)见解析 (2)点D是连接图中点构成的三角形的外心． 【分析】本题考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、弧、弦、圆心角之间的关系等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）连接，证明即可得到结论． （2）连接，，证明则点在的垂直平分线上，由得到点在的垂直平分线上，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∵的内心为， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）连接，， ∵， ∴， ∴ ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴点D是的外心， 即点D是连接图中点构成的三角形的外心． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：，理由： 如图，连接， 为的内心， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为， 为的内心，即为的内切圆的圆心， 分别为该内切圆与三边的切点， ， ， ， ， ， 的周长为 ． 14．（2024·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形的角平分线，角平分线性质、三角形的内切圆的画法，将的角平分线与边的交点作为圆心，圆心到到、的距离为半径作出即可求解． 【详解】解：如图：半圆为所求， 作的角平分线，交于点， 由点向边作垂线交AB于点．以为圆点，为半径做圆． 由于为角平分线，所以到、的距离相等，圆与、相切，所以半圆为圆心在边上，且面积最大的半圆． 15．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形的内切圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 由三角形的内切圆求长度 题型二 由三角形的内切圆求角度 题型三 由三角形的内切圆求面积 题型四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型五 圆外切四边形模型 题型六 三角形内心有关应用 题型七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型八 三角形内切圆与外接圆综合 知识点一 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 【经典例题一 由三角形的内切圆求长度】 【例1】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 1．（2023·甘肃陇南·一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r． 【经典例题二 由三角形的内切圆求角度】 【例2】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 1、（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2、（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 3、（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1） ； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ． 【经典例题三 由三角形的内切圆求面积】 【例3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是 ．    3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【经典例题四】 【例4】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）在，，，，为的内切圆，与三边的切点为、、，则的半径为 ． 3．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【经典例题五 】 【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·浙江·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为 3．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【经典例题六 】 【例6】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题七 】 【例7】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 2．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 3．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【经典例题八 】 【例8】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 1．（23-24九年级下·四川泸州·开学考试）在边长为的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·山东滨州·期末）若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 5．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 7．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为 ． 9．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 10．（22-23九年级上·广东江门·期末）三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为，则这个三角形的面积为 ． 11．（23-24九年级上·河南漯河·期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知如图，的内心为，连接并延长交的外接圆于点． (1)求证：； (2)直接写出点D是连接图中哪三个点构成的三角形的外心． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 14．（2024·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛． 15．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 学科网（北京）股份有限公司 $$