专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专题提升精讲精练（沪科版2012九年级下册）

专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型六 切线的应用 题型七 有关切线的说法辨析 题型八 判断或补全使直线为切线的条件 题型九 证明某直线是圆的切线 题型十 切线的性质定理 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 题型十二 应用切线长定理求解 题型十三 应用切线长定理求证 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 知识点二 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 3．（23-24九年级下·上海·自主招生）已知平面上有三个圆和三条直线，求它们的交点个数的最大值． 【经典例题二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 【例2】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 3．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【经典例题三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 【经典例题四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例4】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 1．（22-23九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 2．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    3．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【经典例题五 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例5】（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 1．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 3．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．                   备用图 (1)在，，中，点P的等和点有________； (2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； (3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 【经典例题六 切线的应用】 【例6】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ． 3．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【经典例题七 有关切线的说法辨析】 【例7】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 2．（22-23九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 3．（23-24九年级下·北京·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 【经典例题八 判断或补全使直线为切线的条件】 【例8】（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 2．（23-24九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【经典例题九 证明某直线是圆的切线】 【例9】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为矩形的中心，的半径为2，点是上一个动点，则面积的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D．7 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 3．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的半径． 【经典例题十 切线的性质定理】 【例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山西大同·开学考试）如图，是圆的直径，点D在圆上，直角梯形中，，是的切线，面积为，则圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切． 3．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【经典例题十一 切线的性质和判定的综合应用】 【例11】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　）    A． B．3 C． D． 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为外一点，与相切于点，若，则 3．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【经典例题十二 应用切线长定理求解】 【例12】（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【经典例题十三 应用切线长定理求证】 【例13】（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 2．（2022·安徽蚌埠·二模）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 1.（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·广东韶关·期中）两同心圆的半径分别是10和6，大圆的弦长16，与小圆的位置关系是 ． 7．（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 8．（23-24九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是 ． 9．（2024·山东泰安·二模）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于E，连接，则下列结论中：①；②；③；④是的切线；正确的序号是 ．    10．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ． 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 12．（22-23九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 13．（2022·陕西咸阳·一模）如图，请用尺规作，使得与 BC 相切（不写作法，保留作图痕迹） 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，为上一点，以为半径作，与、的延长线分别相切于点、，与相交于点．    (1)求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并证明． 15．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型六 切线的应用 题型七 有关切线的说法辨析 题型八 判断或补全使直线为切线的条件 题型九 证明某直线是圆的切线 题型十 切线的性质定理 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 题型十二 应用切线长定理求解 题型十三 应用切线长定理求证 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 知识点二 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆的半径和，圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：∵的直径为，则半径为，圆心到直线的距离为， ∵，即：， ∴直线与的位置关系是相离． 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案． 【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相切． 故答案为：相切． 3．（23-24九年级下·上海·自主招生）已知平面上有三个圆和三条直线，求它们的交点个数的最大值． 【答案】三个圆和三条直线的交点个数的最大值为． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵两条直线最多有1个交点， ∴三条直线两两之间最多有3个交点， ∵两个圆最多有2个交点， ∴三个圆两两之间最多有6个交点， ∵一条直线与一个圆最多有2个交点， ∴一条直线与三个圆最多有6个交点， ∴三条直线与三个圆最多有18个交点， ∴三个圆和三条直线最多有：个交点， ∴三个圆和三条直线的交点个数的最大值为． 【经典例题二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 【例2】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答． 根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间． 在直角三角形中， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 则的取值范围是， 故答案为：． 3．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形： （1）根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可． （2）如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形上或内部．②在第二象限，矩形上或内部．③第四象限，矩形上或内部．结合图形判断即可． （3）如图3中，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断． 【详解】（1）解：①如图，观察图象可知是的中点，Q是的中点．是的中点，故图形W的“相合点”是，，． 故答案为：． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形上或内部． ②在第二象限，矩形上或内部． ③第四象限，矩形上或内部． 结合图形可知，直线上图形W的“相合点”M的横坐标为或． （2）解：如图，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线在第一象限与大圆相切时，则， 解得，， 当直线经过时，，解得， 观察图象可知，满足条件的r的值为：， 当直线经过时，，解得， 结合图象可知，满足条件的的值为：． 【经典例题三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 1．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3)点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围为 【分析】（1）分别求出各点到x轴和y轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可； （2）设点P的坐标为，则点P关于x轴和y轴的“和距离”为，分类讨论根据m的取值范围，求得的值的范围，从而得到其最小值，即可解答； （3）设点，利用等面积法表示出点P到直线的距离，从而表示出d，发现d的范围取决于的范围，令，则直线与有公共点，即点到的距离，利用前面得到的点到直线的距离公式计算t的范围，从而得到d的范围． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为0，到y轴的距离为3，则“和距离”为； 点到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则“和距离”为； 点到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则“和距离”为； 点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，． 故答案为：，． （2）解：点P是直线上的动点， 设点P的坐标为， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，关于x轴和y轴的“和距离”为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当时，该不等式组无解． ， 即点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3， 故答案为：3． （3）解：如图，设点，作轴于点N，交直线于点R，直线于点M，轴交直线于点S， ，=，点，点， ， ， ， ， 令，则直线，依题意，直线与有公共点， 设直线点到的距离为，则， 根据上面点到直线的距离公式得到，则， ， ，即． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，绝对值不等式的分类讨论等，解题关键是利用点到直线的距离公式数形结合进行分析． 【经典例题四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例4】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 1．（22-23九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 2．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 3．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②或；（2） ；（3） 【分析】（1）根据平移的性质以及线段AB到的“平移距离”的定义判断即可求出． （2）过点O作 于E，联立方程组求出OE即可得出的最小值． （3）以A为圆心，1为半径作，连接OA 交于E、F；由图可知：当M在点时，最小；在点E时，最大．由此得出的取值范围． 【详解】（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到上． 故答案为： ②当“平移距离”为2时，如图： 有两种情况，当为时， ，AB=4， 为． 当为时，，AB=8，B为． 故答案为： 或． （2）如图： 直线如图L，当L平移到m位置时，最小.即平移到直线m与相切时，最小． 过点O作于E， 则 设直线OE为y=kx， ， ∴ 即， ∴． 联立方程组， 解得： ， ∴E为 ， ∴， ∴． （3）∵， ∴AM=1， 即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示： 连接OA 交于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大． 当M在F时，， 当M在E时，， ∴． 【点睛】本题属于综合题，考查了平面直角坐标系平移变换，一次函数的性质，圆相切的相关概念，解直角三角形，线段AB到的“平移距离”的定义等知识；此题解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 【经典例题五 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例5】（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得． 【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2， 当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1， 当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5， 故圆与轴相切，则平移的距离为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键． 1．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 2．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 3．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．                   备用图 (1)在，，中，点P的等和点有________； (2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； (3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求； （3）由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，设直线与轴的交点为，再由，可得点在以为圆心，半径为1的圆上，则点的等和点是两条直线之间的区域，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，由的最小值为5，可得最小值为4，在中，，可求，同理当点在轴左侧时， 【详解】（1），则， 是点的等和点； ，则， 不是点的等和点； ，则， 是点的等和点； 故答案为：，； （2）设点的等和点为， ， 设，则点的等和点为， ， ， ； （3）， 点的等和点在直线上， ， 点的等和点在直线上， 设直线与轴的交点为， ， 点在以为圆心，半径为1的圆上， 点的等和点是两条直线之间的区域， 如图，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点， 的最小值为5， 最小值为4， 在中，， ， ， 同理当点在轴左侧时， 或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键． 【经典例题六 切线的应用】 【例6】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线性质；取的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即，然后运用勾股定理求解即可；解题的关键是掌握点、的运动轨迹． 【详解】解：如图，取的中点， ，，为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵当与相切时，最大， ， ， 故选：D． 1．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点O，连接，，延长交于T．证明，推出点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大，根据切线的性质、平行线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，，延长交于T．    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴E在上， ∵， ∴， ∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当与相切时，的值最大， ∵直线，直线都是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形角的性质、直线与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是发现点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，并推出与相切时，的值最大． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值． 【详解】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于， ∵是等边三角形，半径为1 ∴， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 3．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【答案】见解析 【分析】此题考查了切线的性质，掌握等弦所对的弦心距相等是解题的关键． 法一：根据题意作出以点O到距离为半径的圆，然后作出圆O的两条切线即可； 法二：根据题意做出，，进而求解即可． 【详解】法一：①过点O作的垂线； ②以垂线段画圆O； ③过点P作圆O的两条切线，这两条切线截得的弦、即为所求； 法二：①以O为圆心，为半径作圆，交于点G； ②作，得弦，即为所求； ③作，得弦，即为所求． 过点O作， 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ 同理可证得，． 【经典例题七 有关切线的说法辨析】 【例7】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义； 根据确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误； B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误； C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误； D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确； 故选：D． 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意； B、同圆中同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意； C、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（22-23九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 3．（23-24九年级下·北京·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 【答案】见详解 【分析】本题考查学生的发散思维，根据圆综合常考的知识点，举例：圆必考切线：切线判定方法有哪些；或者已知切线，怎样利用等类似考点进行作答，即可作答． 【详解】解：圆必考切线。切线判定方法有哪些? （1）最常用：切线判定定理(经过半径外端点，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线)。作辅助线-连接切点和圆心， 证明垂直。 （2）若未告知切线经过圆上的点(那么无法连切点和圆心)， 作辅助线一-过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 或者：已知切线，怎样利用? 必须利用切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 作辅助线一连接切点和圆心，得到垂直。（答案不唯一） 【经典例题八 判断或补全使直线为切线的条件】 【例8】（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； B、， ，则， ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ， ， ，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 1．（2024·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    【经典例题九 证明某直线是圆的切线】 【例9】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】A 【分析】本题考查圆的相关知识，利用等弧的定义、切线的判定、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，故错误； （2）同圆或等圆中弦相等所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， （5）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故错误； 正确的只有1个， 故选：A． 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为矩形的中心，的半径为2，点是上一个动点，则面积的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形面积，直线与圆的位置关系等知识，得到面积最小时点P的位置是解答的关键． 连接，过B作于H，交于G，过G作，由勾股定理及面积相等可求得的长；当点P到的距离最短时，面积最小，此时点P与点G重合，进而求得面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于H，交于G，过G作直线， ∵点为矩形的中心， ∴必过点O， 由勾股定理得：； ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴直线是的切线， ∴； 当点P到的距离最短时，即最短距离为的长时，面积最小，此时点P与点G重合， ∴面积的最小值为． 故选：D． 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）设的半径为，得所以，由垂径定理得,在中由勾股定理可得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是直径，是弦，且， ∴； 设的半径为，得 ∴， 在中，由勾股定理得，, ∴ 解得，， 即的半径为． 【经典例题十 切线的性质定理】 【例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质得出度数． 【详解】解：连接， 的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（24-25七年级上·山西大同·开学考试）如图，是圆的直径，点D在圆上，直角梯形中，，是的切线，面积为，则圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查梯形的面积以及圆的面积，矩形的判定和性质，切线的性质，熟练掌握切线性质是解题的关键．连接，证明四边形为矩形，得出，设半径为，则，，根据直角梯形的面积为计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是圆的直径，点D在圆上， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ 设半径为，则，， ， ， ， ， 圆的面积． 故选：B． 2．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，角所对直角边是斜边的一半，由的圆心在射线上，根据题画出图形，再根据切线的性质和角所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的圆心在射线上， ∴如图，当移动到与直线相切于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时， 故答案为：． 3．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形． 【经典例题十一 切线的性质和判定的综合应用】 【例11】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可． 【详解】如答图，连结、OQ．   是的切线， ， ， 当时，， 线段最短，即线段最短． ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为外一点，与相切于点，若，则 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； （2）解：设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． 【经典例题十二 应用切线长定理求解】 【例12】（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 【经典例题十三 应用切线长定理求证】 【例13】（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 1．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2022·安徽蚌埠·二模）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 1.（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 2．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 【答案】D 【详解】本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接，，根据选项条件证明即可解题． 解：∵为的切线， ∴， 连接，， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分， ∴， 即， ∴， ∴为的切线，故B正确，不符合题意； ∵点A，B都在以为直径的圆上， ∴， 又∵， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴， 再根据，，不能判断，故D错误，符合题意； 故选：D 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，    ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，    则：， ∵是的两条切线， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴； ∴， 条件不足，无法得到， ∴； 综上，只有选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等． 6．（22-23九年级上·广东韶关·期中）两同心圆的半径分别是10和6，大圆的弦长16，与小圆的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，直线与圆的关系，掌握圆的相关性质是解题关键．过O作于C，连接，由垂径定理可知，再由勾股定理得出，根据O到的距离等于小圆的半径，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于C，连接， ∵，过圆心O， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即O到的距离等于小圆的半径， ∴与小圆的位置关系是相切， 故答案为：相切． 7．（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 8．（23-24九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意得到当直线l与半圆相切时，直线l与半圆只有一个公共点，利用等腰直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理得到，然后利用是等腰直角三角形得到，进而得到，当直线l经过点O时，直线l与半圆有两个公共点，得到，当直线l经过点A时，直线l与半圆只有一个公共点，求出，进而结合图形求解即可． 【详解】如图所示，直线与x轴的夹角为，当直线l与半圆相切时，直线l与半圆只有一个公共点， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵点A的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴此时， 当直线l经过点O时，直线l与半圆有两个公共点， ∴此时， 当直线l经过点A时，直线l与半圆只有一个公共点， ∴将代入，得 解得， ∴当时，直线l与半圆只有一个公共点， 综上所述，当或时，直线l与半圆只有一个公共点． 故答案为：或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决实际问题． 9．（2024·山东泰安·二模）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于E，连接，则下列结论中：①；②；③；④是的切线；正确的序号是 ．    【答案】①②③④ 【分析】此题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，正确的识图是解题的关键． 连结，根据三角形中位线定理得到，①正确；根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，②正确；根据切线的判定定理得到是的切线，④正确；根据线段垂直平分线的性质得到，求得，③正确． 【详解】解：连结，     为中点，点为的中点， 为的中位线， ， 故①正确； 是直径， ， 即，又， 为等腰三角形， ， 故②正确； ，且， ， 是半径， 是的切线， 故④正确； 是中点，， ， ， ， 故③正确． 故答案为：①②③④． 10．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ． 【答案】14 【分析】根据正方形的性质，得到，，推出均为圆O的切线，根据切线长定理，推出，推出正方形的边长为4，设设，则，，勾股定理求出的值，再根据周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵以正方形的边为直径作半圆O， ∴，，， ∴均为圆O的切线， ∵过点C作直线切半圆于点F，交边于点E， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴四边形周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】（1）图见解析（2）见解析 【分析】（1）根据题意，确定圆心的位置，再以为半径画圆即可； （2）当以为直径的圆与相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）作的角平分线，交于点，过点作，交于点，以为圆心，以为半径画圆，即为所求，如图： （2）当以为直径的圆与相切时：如图 ∵， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当存在1个点时，此时与相离，或B、D两点重合，， 当存在2个点时，此时与相切，， 当存在3个点时，此时与相交，， 【点睛】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 12．（22-23九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 13．（2022·陕西咸阳·一模）如图，请用尺规作，使得与 BC 相切（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作于，以为圆心，为半径作即可． 【详解】解：作于，以为圆心，为半径作即可， 如图，即为所求作． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，为上一点，以为半径作，与、的延长线分别相切于点、，与相交于点．    (1)求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质，得到，，，根据圆的切线的性质，得出是等腰直角三角形，进而得到，即可求出的度数； （2）连接，根据圆的切线的性质，得出是等腰直角三角形，进而得出，由勾股定理，得出，再结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ，，， 与相切于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ；    （2）解：，证明如下： 如图，连接， 与相切于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中，，， ， ， ．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 15．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$