4.4.2 对数函数的图像及性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图像及性质 课本P132 1 复习回顾 学习目标 新课程标准 核心素养 1.通过具体的实例，了解指数函数． 数学抽象 2.理解对数函数的概念，会求对数函数的解析式． 数学运算 3.能在具体的情境中抽象出对数函数，由此解决实际问题． 数学建模 4.掌握对数函数的图像及性质. 数学直观 5.借助对数函数比较大小. 数学分析 6.会求对数型函数的定义域、值域. 数学运算 对数函数的图像与性质 x … 1 2 4 … … -2 -1 0 1 2 … … 2 1 0 -1 -1 … 请用描点法在同一直角坐标系中画出和的图象 对数函数的图像与性质 相同点：①图象都在轴右侧，分布于第一、四象限， ②与轴相交于定点（1，0） ③底数互为倒数时，图象关于轴对称 不同点：时，从左到右图象逐渐上升 时，从左到右图象逐渐下降 问2：为什么恒过点（1，0）？ 问3：为什么底数互为倒数时，图象关于轴对称？ 练习1、函数的图象恒过定点 . （4，-2） 问1：观察图像，你能得到那些信息？ 对数函数的图像与性质 对数函数的图像与性质 追问4、对数函数中的变化对函数图象有何影响？ 当时，越小，图象越靠近轴； 当时，越大，图象越靠近轴 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，对数函数的底数逐渐变大（底大图低） 学以致用   题型一 对数函数的图像 8 总结 学以致用   题型一 对数函数的图像 跟踪训练 学以致用   题型一 对数函数的图像 例2 比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 解： log 2 3.4和log 28.5可以看作函数函数y=log 2 x的两个函数值 , ∵底数2 > 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是增函数； ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5 课本133 页例3 学以致用   题型二 比较大小 11 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 （3） loga5.1与 loga5.9 注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论 即0<a<1 和 a > 1 学以致用   题型二 比较大小 12 (4) 解：方法一：由于，， 又对数函数在上单 调递增，且 ∴即. 在x=2时的两个函数值，结合图像可 知. 学以致用   题型二 比较大小 13 (5) 解：(中间值法)∵ ∴. (1)同底数比较大小时构造对数函数，根据其单调性比较. (2)真数相同底数不同时分别画出不同底数的对数函数图象，当x取相同真数时可观察出函数值的大小. (3)底数、真数都不相同时，借助中间0或1与两数比较. (4)当底数含参数时，要按底数>1和0<<1两种情况分类讨论. 比较对数的大小的方法 学以致用   题型二 比较大小 14 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ lg0.6 lg0.8 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ logm5 logm7 ＜ ＜ 若a>1 则logm5 < logm7 若a<1 则logm5 >logm7 课本135 页第2题 跟踪训练 学以致用   题型二 比较大小 15 例3 解不等式: 解：∵对数函数在上单调递减 ∴原不等式可化为： 学以致用   题型三 解不等式 16 例4 溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH=-lg[H＋],其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH. 课本134 页例4 学以致用   题型四 对数函数的应用 17 (1)根据对数的运算性质, 有 在(0,+∞)上, 随着[H+]的增大, pH减小. ∴随着[H+]的增大， 即pH减小. 即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强. 解: ∴纯净水的pH是7. 相应地 学以致用   题型四 对数函数的应用 18 反函数的图像与性质 追问 比较与的图像，你能得到什么结论？ x y -1 0.5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 ... ... x y 0.5 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 图象关于直线y=x对称 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=x y=log2x y=2x A A1 B B1 同底的对数函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。 追问 对于指数函数y=2x，利用指数与对数之间的关系，得到了对应的对数函数y=log2x，它们的定义域，值域有什么关系？ y=log2x y = 2x x= log 2 y x改为y, y改为x x∈R y∈(0,+∞) x∈(0,+∞) y∈R (1)定义域和值域互换； (3)单调性情况相同； (4)两个函数图象关于直线y=x对称。 (2)一个函数中的自变量x和另一个函数中函数y的地位相当； 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=x 反函数的图像与性质 20 课堂小结 对数型复合函数的单调性（f(x)=logag(x)型） 例5 求函数 的定义域，值域，单调递增区间. 故 在 上， 单调递减； 在 上，单调递增 解： 由 解得 函数的定义域为 令 ， ，则 , 在 上，单调递增， 在 上,单调递减， 综上， 的单调递增区间为 . 定义域 g(x)单调性 f(x)单调性 a 拔高训练  题型五 对数型函数综合问题 22 例6 拔高训练  题型五 对数型函数综合问题 23 例8 解题感悟 求对数型函数值域与最值的常见方法 （1）形如 的函数，先求出 的值域，再根据 的单调性求解; （2）形如 ,且 , 的函数，求其值域时，常用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 拔高训练  题型五 对数型函数综合问题 24 作业与思考 1、整理笔记 2、小本作业35 Lavf57.83.100 (1) a>b>c>d 解析：在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大， 故a>b>c>d. 例1　(1)对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐 标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________． 1.对数函数的底与图象变化的关系： 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数． 2.对数型函数过定点问题： 求函数y＝m＋loga fxa>0，且a≠1的图象过的定点时，只需令fx＝1求出x，即得定点为（x，m）. (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　D (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． (1)C解析：∵a>1，∴0<eq \f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C. (2)(0，－2) 解析：因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令 x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以恒过点(0，－2). $$