精品解析：辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度上学期期中考试26届高二年级数学科试卷 命题人：薛宏维 校对人：李雯 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆是圆上动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C D. 4. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题白要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 10. 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为： B. 的最小值为1 C. 为坐标原点，的最小值为 D. 为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 13. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 14. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点，为平面内一点，当三棱锥体积达到最大，且点到平面的距离为时，______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆与圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）求与相交所得公共弦长. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 18. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线斜率为，求弦长； （3）记直线，斜率分别为，，证明：是定值． 19. 已知椭圆C：右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． （1）若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （2）过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期中考试26届高二年级数学科试卷 命题人：薛宏维 校对人：李雯 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入斜率公式求解即可 【详解】经过两点的直线的斜率为， 故选：B 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得， 故选：C 3. 已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，表达出，代入中，求出点的轨迹方程. 【详解】设，由于为线段的中点，， 故， 将代入中，得 ， 化简得. 故选：A 4. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 5. 已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以， 故选：B. 6. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 7. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得平面的法向量与直线的方向向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为， 由，令，则， 所以两平面的交线的方向向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：A． 【点睛】方法点睛：根据交线在两平面内，所以直线的方向向量与两平面的法向量互相垂直可求得直线的方向向量，利用线面角的向量求法，可求得线面角的正弦值. 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题白要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可. 【详解】圆圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，四边形面积： ， 当且仅当时取等号，因此四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，D错误. 故选：BC 10. 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为： B. 的最小值为1 C. 为坐标原点，最小值为 D. 为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线方程的求法求解判断A，由椭圆的定义及“1”的变形技巧运用均值不等式求最值判断B，根据题意知，转化后求椭圆上点到直线与原点距离和的最值判断C，利用斜率公式及椭圆方程化简计算斜率之积判断D. 【详解】对A，设，则，即， 化简得，故A正确； 对B，设椭圆另一个焦点为，如图， 由O为和中点可知四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足， 所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值， 显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确； 对D，设，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，， ，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线与直线平行，则，解得， 直线为， 所以它们之间的距离是. 故答案为： 13. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案：. 14. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点，为平面内一点，当三棱锥体积达到最大，且点到平面的距离为时，______． 【答案】1 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求点面距，从而求得结论． 【详解】连接，且，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 底面是边长为2的菱形，则当为棱上一点时，面积最大，从而三棱锥的体积最大， 设，则， 设平面的法向量，则即 令， 点到平面的距离为， 化简得，解得或（舍去），则，故． 故答案为：1. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆与圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）求与相交所得公共弦长. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k，从而得到所求切线方程； （2）利用两圆的方程式相减整理即可得公共弦所在方程，然后利用垂径定理求出公共弦长即可 【小问1详解】 当直线斜率不存在时，方程为，显然与圆C相切. 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离，解得， 所以直线方程为， 综上所述，过点的圆C的切线方程为或. 【小问2详解】 由题意知，点的坐标为，点的坐标为， 圆的半径为，圆的半径为， 所以， 所以两圆相交， 两圆的公共弦所在直线方程为 ，整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是正方形，再由线面垂直的判定定理得到平面，进而再由线面垂直的判定定理证明结果即可； （2）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公式求解即可； 【小问1详解】 由题意可得平面，又平面， 所以 因为四边形是平行四边形，且 所以四边形是正方形，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又因为平面， 所以平面， 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图 则， 所以， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程； （2）设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点. 【小问1详解】 由已知得，解得， 椭圆的标准方程， 【小问2详解】 设，则， 可设的直线方程为， 联立方程，整理得， ， ， ， 整理得，， ，解得， 的直线方程为：， 直线恒过定点. 18. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【小问1详解】 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. 【小问3详解】 证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 19. 已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． （1）若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （2）过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 【答案】（1）-3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和，待定系数法求出，，，得到椭圆方程，设直线l的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，，代入两根之和，两根之积，求出的值； （2）设线段MQ的中点为，又，故，根据三点共线，得到，计算出，故，得到线段MQ的中点在定直线上. 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以C的方程为， 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，，， 由，得， 由方程的判别式，可得， 所以，， 易得，所以，， 所以 ， 【小问2详解】 证明：设线段MQ中点为，又，， 所以，，即，又A，N，Q三点共线， 所以，即， 所以，又， 又 所以 ， 所以，即线段MQ的中点在定直线上． 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$