专题07 对数与对数函数（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 对数与对数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2） 【分析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．根据题意列出指数等式，再利用指对关系和对数的运算性质以及条件进行求解. 【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则，故， 两边取对数得，， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【详解】，，则 ， 即. 故选：. 5．（2024·福建南平·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式、指数不等式、对数不等式 【分析】解不等式先求出集合，进而可得，再由，列不等式即可求出答案. 【详解】由，得，所以，则或， 由，得，所以， 又，所以，解得． 故选：D． 6．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】运用换底公式化简计算、由基本不等式比较大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可. 【详解】因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 又因为， 且， 所以，所以，所以； 综上所述，. 故选：A. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解. 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 8．（22-23高一上·河南郑州·期中）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】先判断出真数部分对应函数的单调性，结合定义域可求参数的取值范围. 【详解】设， 因为，故在上为减函数， 而在区间内单调递增， 故为减函数，故， 又在上满足恒成立，故， 故， 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式的互化公式且可得答案. 【详解】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确； 对于C，，故C错误. 故选：ABD 10．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得.对于B，直接代入求解即可.对于C ，根据，求解即可.对于D ,根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得. 【详解】对于A，要使定义域为R，只需恒成立， 所以判别式，所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A对 对于B，若， 即，整理得，得， 此时，故B错； 对于C，，因为与m无关，所以过定点（1,2),故C正确； 对于D，若在上单调递减，只需函数在上递减，且，即，解得，故D对. 故选：ACD 11．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数的图象与x轴有两个交点 C．函数的最小值为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求函数值、判断或证明函数的对称性、求对数函数的最值 【分析】求出函数定义域，并化简函数式，再逐项分析判断作答. 【详解】函数的定义域为，则， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，即或，解得或， 因此函数的图象与x轴有两个交点，B正确； 对于C，显然，当且仅当，即时，函数取得最小值，C正确； 对于D，由于，而数0不在函数的定义域内，因此函数的图象关于直线不对称，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·单元测试）计算：的值是 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据分数指数幂的运算法则和对数运算法则计算即可得解. 【详解】原式 . 故答案为：5. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的定义域为，则实数的范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】 对数函数y=log2x的图像和性质、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由已知可将问题转化为不等式对任意的恒成立，满足方程没有实数根，求解即可. 【详解】由题意，知不等式对任意的恒成立， 所以方程没有实数根， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，， 则由与复合而成， 首先令，解得， 则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数． (1)求该函数的定义域； (2)求该函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域； （2）根据复合函数单调性的可确定函数的最小值. 【详解】（1）∵， ∴，解得，∴定义域为． （2）令， ∵，，为单调递减函数， 当时，即时，取最小值为， ∴该函数在时取最小值． 17．（22-23高一上·安徽淮北·期末）已知函数. (1)若，求函数的值域 (2)若函数在上单调递增，求的取值范围 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解； （2）根据复合函数单调性结合条件可得且，进而即得. 【详解】（1）由题知， ∵， ∴， 即函数的值域为； （2）因为函数在上单调递增，又函数在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以且， 解得，即的取值范围为. 18．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数,. (1)求函数的定义域； (2)若,，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据真数大于，解不等式可得结果； （2）先配方求出的值域，再根据对数函数的单调性求出的值域. 【详解】（1）由得， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以函数的定义域为. （2）因为，所以， 令，则， 因为，所以， 所以， 即. 所以函数的值域为. 19．（22-23高三·全国·课后作业）已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. 【答案】(1) ，是奇函数 (2)证明见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可； （2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案. 【详解】（1）解：令，解得，所以. 对任意，， 所以函数是奇函数. （2）解：设，且，则. 因为，，， 所以，得. 又，于是，即， 所以函数在上是严格增函数. （3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数. 因为时，的值域是， 所以且在上的值域是， 因为在上单调递减， 所以，且， 所以，由，得，解得或（舍去）， 所以，. 20．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解. 【详解】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 21．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、对数型复合函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据偶函数的性质，结合函数平移，即可根据单调性以及对称性求解. 【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，且在单调递增，在单调递减， 将的图象向右平移一个单位可得， 故图象关于对称，且在单调递增，在单调递减， 由于,故， 又得，由于， 综上可得 故选：D 22．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数型复合函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性可得的大小，再判断出的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 因为是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 所以是上的单调递减函数， 所以. 故选：B. 23．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可. 【详解】当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即； 若函数的值域是，则时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得， 又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 24．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解. 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 25．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：的图像为轴对称图形； (3)若关于的方程在上有解，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、与二次函数相关的复合函数问题、基本不等式求和的最小值、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）根据复合函数的单调性可知二次函数在上单调递减，由真数大于零再结合二次函数的对称轴与区间的关系列出不等式即可求出参数；（2）根据函数轴对称的关系式可证为轴对称图形；（3）方程在上有解转化为在上有解，再利用基本不等式求函数的最小值即可. 【详解】（1）因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 则 解得， 故的取值范围为. （2）证明：当时，的定义域为， 因为， 所以的图像关于直线对称， 故的图像为轴对称图形. （3）由方程在上有解，得方程在上有解且， 即在上有解， ， 当且仅当时取得等号， 又当时，在上恒成立， 所以的最小值为. 26．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、指数函数最值与不等式的综合问题、对数的运算、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 27．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数， (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据对数函数的值域求参数值或范围、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解； （2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含， ， 当时，，其值域为，不满足条件， 当时，令，则函数的对称轴为， 当时，，即的值域为， 所以，解得， 当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件， 综上所述，，所以满足条件的整数的值为； （2）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得或， 由函数不是常数函数，所以， 经检验，符合题意，即， 由，，， 得，，， 只要即可， 当时，， 所以函数，则， ， 令，因为，所以， 函数， 当时，，则时，恒成立，符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，不等式组无解； 当，即时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 28．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数且. (1)当 时，求函数 的值域； (2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.4 【知识点】求对数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值，得出其取值范围后可得函数值域； （2），使得 因此，因此只要分别求得在各自范围内的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】（1）由题意， ，当且仅当即时等号成立， 所以，从而， 所以的值域是； （2）若，使得 因此， ．，则， 所以时，， 由（1）知当时，时，， ，解得， 当时，,易知函数为偶函数， 结合对勾函数性质知在上递增，在递减， ， ，无解， 综上，的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题涉及不等式的恒成立，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 29．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域、函数新定义 【分析】（1）由函数解析式直接求定义域； （2）法一：利用复合函数单调性判定； 法二：定义法证明单调性； （3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可. 【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得， 所以函数的定义域是． （2）在上单调递增． 理由如下：法一： 因为， 又在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 法二： 因为， 对任意，，且，可知，则 ， 又， 可知，所以， 即．故在上单调递增， （3）由（2）可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以．故实数b的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可. 30．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是上的奇函数． (1)求的值； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【难度】0.4 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由奇函数的性质得恒成立，即可求参数； （2）将不等式化为，讨论、研究的单调性，再应用单调性及二次函数性质研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，可得. （2）由， 所以题设不等式可化为， 当时，，而在定义域上递增， 当时，递增，则在上递增，结合奇函数知上递增； 此时，在上，则， 所以在上能成立， 令，开口向上且对称轴为， 当，即，只需最大值，可得； 当，即，只需，可得，故无解； 此时； 当时，递减；则在上递减，结合奇函数知上递减； 此时，在上，则， 所以在上能成立， 令，开口向上且对称轴为， 当，即，只需，可得，故； 当，即，只需最小值，可得或，故； 当，即，只需最小值，可得，故； 此时； 综上，有；时. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为，再讨论参数a研究函数单调性得到不等式能成立为关键. 31．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求对数函数在区间上的值域 【分析】对进行分类讨论，结合的值域求得正确答案. 【详解】当时，. 当时，， ①若，则， 此时对于时，有，不符合题意. ②若，是增函数，， 此时对于时，有，符合题意. ③若，是减函数，， 要使“对任意，存在实数，使得”， 则需. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 【点睛】求解含参数的分段函数的值域问题，首先要观察参数的位置，如果分段函数在某个区间上的表达式没有参数，则可以直接求得函数在这个区间上的值域.若果分段函数在某个区间上的表达式有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 32．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系、对数函数图象的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、指数函数图像应用 【分析】将所求拆分成，，，令，，，，且，可看作函数与，，的交点，通过函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出的大小. 【详解】解：可变形为：，可变形为：，可变形为：， 令，，，，且， 可知分别为函数与，，的交点横坐标， 当时，单调递增且，， ，，这三个函数全部单调递减，且，，，， 由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大， 由图象可知，下降速度最慢，所以最大， ，，时，，所以交点， 故选：B    【点睛】关键点点睛：将等式变形为函数交点的问题，通过比较函数增长的快慢来求解. 33．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、对数型复合函数的单调性、函数基本性质的综合应用 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 34．已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数对称性的应用、对勾函数求最值 【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得， 将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示， 因为方程有四个根，，，且，则 由图象可知，，， 又，可得，则 则， 由对勾函数的性质知在上单调递增， ，即 即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 35．已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围 . 【答案】 【知识点】构造函数、函数不等式恒成立问题、求反函数、函数的值域 【分析】求出，将已知条件转化为对恒成立，利用换元法转化为，对恒成立，由可解得结果. 【详解】，得 又，，， 由题意得对恒成立， 等价于，即对恒成立， 显然，令 ， 所以，对恒成立， 令是关于t的一次函数， 要使，对恒成立，需，即， 解得：，所以实数m的取值范围 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立 36．给出下列五个命题： ①函数在区间上存在零点； ②要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位； ③若，则函数的值城为； ④“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； ⑤已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①③④ 【知识点】求对数型复合函数的值域、零点存在性定理的应用、相位变换及解析式特征 【解析】①根据函数零点的存在性定理可判定，故正确； ②要得到此函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故错误； ③根据对数的真数可取所有正实数，可得此函数的值城为，故正确； ④根据“”能说明“函数在定义域上是奇函数”，但“函数在定义域上是奇函数”得到的是“”，则是充分不必要条件，故正确； ⑤由有最大值，得，进一步得到，故错误. 【详解】对于①函数在区间上单调递增，，根据函数零点的存在定理可得在区间上存在零点，正确； 对于②将函数化为，要得到此函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，得到，错误； 对于③当，函数的真数为，判别式，故真数可取所有正实数，故函数的值城为，正确； 对于④函数在定义域上是奇函数，则，即解得，所以条件可推出结论，结论不能推出条件，是充分不必要条件，正确； 对于⑤有最大值，所以，于是，所以，则，即，所以所求，错误. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了函数的零点分布，三角函数图像的平移变换，对数函数的定义域与值域，还考查了等差数列中求前n项和为正的问题，属于难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 对数与对数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2024·福建南平·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   8．（22-23高一上·河南郑州·期中）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 11．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数的图象与x轴有两个交点 C．函数的最小值为 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·单元测试）计算：的值是 ． 13．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的定义域为，则实数的范围为 ． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： (1)； (2)． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数． (1)求该函数的定义域； (2)求该函数的最小值． 17．（22-23高一上·安徽淮北·期末）已知函数. (1)若，求函数的值域 (2)若函数在上单调递增，求的取值范围 18．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数,. (1)求函数的定义域； (2)若,，求函数的值域. 19．（22-23高三·全国·课后作业）已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. 20．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 24．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 25．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：的图像为轴对称图形； (3)若关于的方程在上有解，求的最小值. 26．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 27．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数， (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 28．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数且. (1)当 时，求函数 的值域； (2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围. 29．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 30．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是上的奇函数． (1)求的值； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 31．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 33．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是 . 35．已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围 . 36．给出下列五个命题： ①函数在区间上存在零点； ②要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位； ③若，则函数的值城为； ④“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； ⑤已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，. 其中正确命题的序号是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$