专题08 函数与方程（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 函数与方程 一、单选题 1．（19-20高一上·江苏连云港·期中）设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内 A． B． C． D．不能确定 2．（23-24高一上·广东清远·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D． 5．（2023·江西南昌·一模）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021高三·全国·专题练习）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（12-13高三上·浙江宁波·期中）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东清远·期末）下列结论正确的是（    ） A．“”的否定是“” B．，方程有实数根 C．是4的倍数 D．半径为3，且圆心角为的扇形的面积为 10．（21-22高三上·福建厦门·阶段练习）函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，则（       ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 三、填空题 12．（21-22高一上·浙江台州·期末）设函数，若，则实数a的值为 . 13．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的零点为 . 14．（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数，则的值为 ； 15．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 四、解答题 16．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数. (1)若，求； (2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 18．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 19．（19-20高三上·全国·阶段练习）已知定义域为的函数满足对任意，都有. （1）求证：是奇函数； （2）设，且时，， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集. 20．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数且过点． (1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； (2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围． 21．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22．（2019·浙江杭州·模拟预测）已知函数,若实数,则函数的零点个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2014·甘肃兰州·一模） 已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 24．（2023高一上·浙江温州·竞赛）（多选题）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．-1 B． C． D．1 25．（19-20高二上·广东汕头·期末）（多选题）已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（    ） A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根 B．当时，恒有 C．若当时，的最小值为1，则 D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则 26．（24-25高三上·重庆·开学考试）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则 . 27．（2023·天津和平·三模）已知函数，，且有，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围为 ． 28．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是 . 29．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则 ，若存在实数，满足，则的取值范围是 ． 30．（20-21高三上·上海浦东新·阶段练习）定义在上的函数，若满足下面某一个条件时，必然没有反函数，请写出所有这样条件的编号: . （1）是偶函数; （2）存在实数，在上单调递增，在上单调递减； （3）存在非零实数，，使得对任意实数; （4）对任意实数，均有. 31．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 32．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高一下·江西宜春·开学考试）函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选题）定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（    ） A．存在实数，使关于的方程有3个不同的解 B．当时，恒有 C．若当时，的最小值为1，则 D．若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或 36．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）（多选题）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的序号是 ． 38．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 函数与方程 一、单选题 1．（19-20高一上·江苏连云港·期中）设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内 A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，，且的图象在上连续， 所以在上至少存在一个零点， 因为，所以在上存在零点， 因为，所以在上存在零点， 所以方程的根落在区间内， 故选：B 2．（23-24高一上·广东清远·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】易知函数在R上增函数， 又，， ， ， 由零点存在定理，可知零点所在区间为. 故选：. 3．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数单调性的应用 【分析】根据分段函数表达式以及对数运算求得正确答案. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 4．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值 【分析】利用给定的函数关系，依次代入计算即得. 【详解】函数， 所以. 故选：A 5．（2023·江西南昌·一模）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得. 【详解】易知是奇函数且单调递增， 故原不等式等价于 即 所以， 所以在任意的上恒成立，故. 故选：D 6．（2021高三·全国·专题练习）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数新定义 【分析】函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围． 【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数， 故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根， 所以x＝1或. 又1∉（﹣1，1） ∴方程在（﹣1，1）上有根， 因为，而当时，， 于是. 故选：A． 7．（12-13高三上·浙江宁波·期中）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】函数的零点个数方程解的个数函数与函数图象交点个数． 【详解】由得， 分别作出函数与，的图象如图：    由图象可知两个函数有2个交点，即函数的零点个数为2个， 故选D. 【点睛】本题考查函数零点与方程的根与两个函数图象交点横坐标之间的转化关系，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，准确作出函数的图象是解题的关键． 8．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】将已知不等式化为，结合函数在上单调性，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意得原不等式可化为，因， 所以在上恒成立， 又函数在上单调递增，且， 当时，；当时，． 于是且，于是，，， 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东清远·期末）下列结论正确的是（    ） A．“”的否定是“” B．，方程有实数根 C．是4的倍数 D．半径为3，且圆心角为的扇形的面积为 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、特称命题的否定及其真假判断、扇形面积的有关计算 【分析】根据存在量词命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据存在量词命题的否定的知识可知， “”的否定是“”，所以A正确； 因为，所以B正确； 当是偶数时，是奇数不是4的倍数， 当是奇数时，设，则， 所以不是4的倍数，所以C错误； 根据扇形的面积公式，可得，所以D错误. 故选：AB 10．（21-22高三上·福建厦门·阶段练习）函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值 【分析】先确定函数的单调性，再根据充要条件的定义求解相应参数的取值范围，最后确定必要不充分条件对应的参数范围与充要条件对应的参数范围之间的关系，进而确定答案. 【详解】根据题意，当，都有成立时，函数 在定义域内为单调减函数. 所以解得 ，反之也成立 即是时，都有成立的充要条件 所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间，故选项CD正确. 故选：CD. 11．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，则（       ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，函数， 由此作出函数的草图： 依次分析选项： 对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误； 对于B：令，可得， 则函数的零点个数即为与的图象的交点个数， 若函数有两个零点，由图象可知，B正确； 对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点. 不妨设， 由图象可得：，且，， 所以，故C正确； 对于D：因为，解得或， 结合图象可知：有一个根，有四个根， 所以关于的方程有5个不等实数根，D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决CD. 三、填空题 12．（21-22高一上·浙江台州·期末）设函数，若，则实数a的值为 . 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】先求，再求，列出方程，求出a的值. 【详解】，，解得：. 故答案为：5 13．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的零点为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点 【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，即， 所以函数的零点为. 故答案为： 14．（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数，则的值为 ； 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】代入即可求解. 【详解】,, 故答案为：1 15．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果. 【详解】因为方程有四个根， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，， 故 的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 16．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； （2）因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 （3）因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 17．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数. (1)若，求； (2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角函数的化简、求值——诱导公式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得. （2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立. 【详解】（1）由，则， 所以 . （2）证明：由题意得. ①当时，，所以单调递增. 又，由于，而， 所以.又， 所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得. 当时，，所以，则在上无零点； 当时，，所以，则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点. ②由①得，且， 则. 由函数的单调性得函数在上单调递增， 则， 故. 【点睛】求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断. 18．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数与方程的综合应用、求函数的零点、函数新定义 【分析】 （1）令，即可得到，解得，从而求出即可； （2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，， 所以，即， 解得或（舍去），所以，且 所以函数在上的不动点为. （2）根据已知，得在上有解， 所以在上有解， 令，， 所以，即在上有解， 所以在上有解， 设，，则在上单调递增，故， 所以，可得， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 ， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题. 19．（19-20高三上·全国·阶段练习）已知定义域为的函数满足对任意，都有. （1）求证：是奇函数； （2）设，且时，， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②. 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）采用赋值法，利用奇偶性的定义求解. （2）①根据及，得是偶函数且，再利用单调性的定义证明.②由是偶函数且在上是减函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）取，得， 取，得， 取，，得， 所以是奇函数. （2）①由及， 可得是偶函数且， 设，则， 由时，得， 所以， 所以在上是减函数. ②由是偶函数且在上是减函数， 可得 或或， 所以不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了转化论证运算求解的能力，属于中档题. 20．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数且过点． (1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； (2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)是定值，定值为 (2) 【难度】0.65 【知识点】指数函数的判定与求值、函数与方程的综合应用 【分析】（1）代入点可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出； （2）由题意可转化为有两不等实数根，结合绝对值进行分类讨论可得，结合题意计算即可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以，解得， 故， 则 ， 所以是定值，定值为． （2）由，即， 即有，即， 令， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 方程有两不等实数根，所以 且 ， 于是：，， 所以，， 由得， 又，解得， 所以实数的取值范围是． 21．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式 【分析】 由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围. 【详解】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 22．（2019·浙江杭州·模拟预测）已知函数,若实数,则函数的零点个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项. 【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题. 23．（2014·甘肃兰州·一模） 已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、求零点的和、函数对称性的应用、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，然后利用数形结合即得. 【详解】因为，且， 所以函数的周期为2， 因为， 所以，所以， 函数关于点对称， 作出函数的图象， 由图象可知，方程在区间上的实数根有个， 满足，满足， 所以方程在区间上的实数根之和为. 故选：B． 24．（2023高一上·浙江温州·竞赛）（多选题）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】等价于恒成立，当时，函数的解析式进行去绝对值，所以讨论和的情况，再根据函数是奇函数，得到时的解析式或图像，结合图像得到的取值范围. 【详解】因为等价于恒成立. 当时，. 若，则当时，. 因为是奇函数，所以当时，，则，则. 综上，，此时为增函数，则恒成立. 若，当时，； 当时，； 当时，. 即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数， 当时，函数的最大值为，作出函数的图像如图： 故函数的图像不能在函数的图像的上方，结合图像可得，即，求得. 综上，. 故选：AC. 【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像； （2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究. 25．（19-20高二上·广东汕头·期末）（多选题）已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（    ） A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根 B．当时，恒有 C．若当时，的最小值为1，则 D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数对称性的应用、函数图象的应用、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故在R上的解析式为： 绘制该函数的图象如所示： 对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确； 对B：当时，函数不是减函数，故B错误； 对C：如下图直线，与函数图交于， 故当的最小值为1时有，故C正确 对D：时，函数的零点有、、； 若使得其与的所有零点之和为0， 则或，如图直线、，故D错误 故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立 26．（24-25高三上·重庆·开学考试）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则 . 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出. 【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数， 所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称， 所以，， 所以， 则， 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 则，，，，，，，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数的图象的对称点，对称直线，周期. 27．（2023·天津和平·三模）已知函数，，且有，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】由题意设，，根据对称轴、单调性等知识画出图象，由题意当且仅当，是关于的方程的两个根，，进一步换元分离参数，并结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】由题意设，， 由此可知，的对称轴均为， 且当时，单调递减，单调递增， 当时，单调递增，单调递减， 且， 由此可以画出这两函数的大致图像如图所示： 所以， 所以直线与函数至多有4个不同的交点， 关于的方程至多有2个不同的根， 由题意若关于的方程有8个相异实根， 则当且仅当两个关于的方程，共有8个不同的根， 其中， ，是关于的方程的两个根， 令，则关于的方程有两个不同的根，， 即有两个不同的根，， 设，由对勾函数性质得， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，， 所以有两个不同的根，， 当且仅当， 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是分析出直线与函数至多有4个不同的交点，关于的方程的至多有2个不同的根，由此可将题目等价转换为有两个不同的根，，从而即可顺利得解. 28．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据条件，求出函数在各段上的解析式，数形结合，求的取值范围. 【详解】 .由. 当时，； 设，则，所以； 设时，则，所以， 由， 即或. 由图象可得：，都有，故 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题． 29．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则 ，若存在实数，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论. 【详解】当时，令，解得或； 令，解得； 故可作出的图象，如图：    由图可知，当时，，当时，， 所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：    当时，直线与的图象有4个交点； 若存在实数，满足， 如图：    可知当时，存在实数，满足， 令，解得， 则可得； 因为 关于对称，；同理关于对称，； 所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题. 30．（20-21高三上·上海浦东新·阶段练习）定义在上的函数，若满足下面某一个条件时，必然没有反函数，请写出所有这样条件的编号: . （1）是偶函数; （2）存在实数，在上单调递增，在上单调递减； （3）存在非零实数，，使得对任意实数; （4）对任意实数，均有. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据反函数的概念与函数的性质对各个条件进行分析即可得判断得出结论. 【详解】（1）函数在指定区间内单调才会有反函数, 故 是偶函数必然没有反函数, 所以（1）符合. （2）若在上单调递增，在上单调递减，则存在同样一个函数值对应两个自变量的情形，不符合原函数一一对应的原则，该函数没有反函数，所以（2）符合. （3）即，从而， ，是周期为的周期函数，必没有反函数，所以（3）符合; （4）令，易得，即至少有两个相等，所以（4）符合; 综上，（1）（2）（3）（4）满足条件. 故答案为：（1）（2）（3）（4）. 【点睛】本题考查反函数的考点，需对函数的性质和反函数有较高的认识及灵活运用，属于较难题. 31．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D    【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 32．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用 【分析】首先根据函数的单调性求得的大致范围，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再作出函数图象，利用数形结合思想求解即可. 【详解】函数在区间上为单调函数， 且当时，在上单调递增， ，解得， 又函数有两个不同的零点等价于有两个不同的实数根， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 作出函数与直线的图象， 当时，由得， 由于，故， 易知函数与直线的图象在上有唯一交点， 则函数与直线的图象在上有唯一交点， 故或与的图象相切，即有唯一解， 或或， 综上，实数的取值范围为，结合选项可知A符合题意， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的零点问题，解题的关键是将问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，然后画出函数图象，根据图象求解即可. 33．（22-23高一下·江西宜春·开学考试）函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，求得的两根，再结合函数的图象，数形结合即可求得的范围. 【详解】令， 则由得， 解得，或， 要使方程有个不同的根， 则，与的图象有四个交点， 由图象可得则的取值范围. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合是解题的关键点. 34．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】对值进行讨论，可得到只有有五个根，再根据最小值大于取值可求得. 【详解】①当时，， 若有或， 有或，得或或1； 只有三个根，所以不符合. ②当时，若，有， 若函数有三个零点必有或， 有或，得或或1； 只有三个根，也不符合. ③当时，若必有或或 可得或或， 函数有三个零点，分别为或或， 至少一根， 至少一个根，又因有五个根 所以有一个根，有一个根， 又因， 令 由函数的草图有，解得． 综上知实数的取值范围为． 故选：C 【点睛】 35．（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选题）定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（    ） A．存在实数，使关于的方程有3个不同的解 B．当时，恒有 C．若当时，的最小值为1，则 D．若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】根据函数的最值求参数、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据奇函数，可得在对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 当，则，所以，所以， 当，则， 所以，所以， 如下图，画出的大致图象，结合图象， 当或时，函数与函数的图象有3个交点. 当，函数与函数的图象有2个交点， 当，或，函数与函数的图象有1个交点， 故A正确； 对于B，如图，当时，函数不是减函数，故B错误； 对于C，由解得，由解得， 如图所示，直线与函数图象相交于， 故当的最小值为1时，，故C正确； 对于D，若时，由解得， 由解得，， 所以， 若使与所有实根之和为0， 则当时，由，得， 则当时，由抛物线对称性可得与的 两个交点横坐标之和为， 所以与的交点的横坐标为， 此时， 综上所述，或，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键点在于利用奇偶性得到的解析式，并画出图象，而方程有解的问题就转化成两个函数的交点问题，通过数形结合逐个判断. 36．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）（多选题）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD.      【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 37．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①，特殊化取可判断②，由数形结合判断③，借助图象归纳规律可判断④. 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①，函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又，，，故①正确； 对于②，当时，有3个交点，与不符合，故②错误； 对于③，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 对于④，当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形， 所以函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 38．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】做出函数大致图象，数形结合可得出实数的取值范围，由对称性得、关系，对数函数的性质的、的关系， 从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围. 【详解】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， 因为二次函数的对称轴方程为， 由图象可得，则， 由及图象可得， 由于，则，则，所以，， 从而得，且，从而得， 所以，， 令，因为，则， 令，则，， 则在单调递增，则， 故的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$