专题12 将军饮马模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 4 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 6 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 7 9 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，是上的动点，若，则的最小值为 ． 例3.（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，直线m是中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．15 例4．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·福建泉州·七年级期末）如图，在网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．(1)画出关于直线l对称的图形；(2)点P在直线l上，直接写出的最大值． 例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 例3．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，，，，是内的一条射线，且，P为上一动点，则的最大值是 ．（结果表示根据需要可以含a，b，c） 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例3．（2024·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 例3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值． 1．（2023·河南·九年级专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点M，，的周长是，若点在直线上，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 2．（2024·上浙江八年级月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（23-24广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．（2024·湖北恩施·一模）如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 6．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 7．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，分别平分和， P是上一点，，已知．当取最小值时， ．（用含m，n的式子表示） 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是 ． 10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）如图，等边和等腰，，点，分别为边，的中点，若的面积为16，，点是上的动点，则的周长的最小值为 . 13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 14．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在中 ，平分，，的面积为78，M、N分别是、上的点，则的最小值是 ． 15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 16．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 17．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．    18．（2024·江苏·仪征市八年级阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的； （2）在直线上找出一点P，使得的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P） （3）在正方形网格中存在____________个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短． 例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 是等边三角形，是边上的中线，， 是的垂直平分线，点关于的对应点为点，就是的最小值． 是等边三角形，是边的中点，是的中点， 是的中线，，即的最小值为6，故答案为6． 例3.（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，直线m是中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据题意知这是动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点A关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：∵直线垂直平分，∴、关于直线对称， 令直线交于，连接，如图所示： ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，且的最小值等于， ∴周长的最小值是，故选：B． 例4．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】此题考查轴对称的性质，的直角三角形的性质， 过作于，作关于的对称点，连接，证明在上，当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长，进一步可得答案． 【详解】解：过作于，作关于的对称点，连接， ∵平分，∴在上，∴， 当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长， ，，，∴的最小值是5．故答案为： 5 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则，∴， ∵点E别是上的动点，∴时，有最小值 ∵，∴故答案为： 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·福建泉州·七年级期末）如图，在网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．(1)画出关于直线l对称的图形；(2)点P在直线l上，直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接即可； （2）利用三角形三边关系得到（当、、共线时，取等号），从而得到的最大值为的长即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：（当、、共线时，取等号）， 的最大值为的长，即的最大值为2． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换、三角形三边关系的应用，熟练掌握相关知识是解答的关键，属于中考常考题型． 例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm）， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC ∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC 当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm． 例3．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，，，，是内的一条射线，且，P为上一动点，则的最大值是 ．（结果表示根据需要可以含a，b，c） 【答案】a 【分析】本题考查了线段之差的最小值问题，作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即可求解．正确作出点B的对称点是解题的关键． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，． 则，，，． ∵，∴，∴ 是等边三角形，∴， 在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为a． ∴的最大值是a．故答案为：a． 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 【答案】123° 【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB， ∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°， 又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，    的最小周长为， 连接，则， ∴ ，∴是等边三角形， ∴，即的周长的最小值是6．故选：A． 例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F． 此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF． ∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP， 同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP． ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α． 又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4， ∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 例3．（2024·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°． 【答案】80 【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN． 【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小， ∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1， ∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°， ∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 例3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 例3．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】证明：（1）在中，，， 点是斜边的中点，，是等边三角形； （2）如图，连接， 和都是等边三角形，，， ，垂直平分，， 同理可得：垂直平分，，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 1．（2023·河南·九年级专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点M，，的周长是，若点在直线上，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件垂直平分，可知，即可将的周长转换为AB+BC，即可求出，再通过作辅助线（见详解），可得到，则中，当共线时（）有最大值即可得到最大值，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分 ∴ 又∵∴ 在上取点1∵垂直平分 连接、、∴ ∴ 在中 当运动位置时，即共线时（）有最大值，此时. 即最大值是8cm,故答案选B. 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2．（2024·上浙江八年级月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果． 【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6， 即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B． 【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键． 3．（23-24广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D． 4．（2024·湖北恩施·一模）如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形，∴，， ∵为的平分线，∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接， 根据轴对称可知：，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小，即的最小值为， ∵，∴，， ∴，，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴．故选：C． 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查成轴对称的性质，垂线段最短．连接，根据对称性得到，，三点共线，进而得到，根据垂线段最短，得到时，最小，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称，∴，， ∵，∴，∴， ∴三点共线，∴，∴当最小时，最小， ∵点M是上一点，∴时，最小， 此时：，∴，∴， ∴的最小值为，故选C． 6．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握将军饮马基本模型是解题的关键．连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当、、共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接， 点是的中点，是等边三角形，，，， 点为的中点，是的垂直平分线，， 的周长为，当、、共线时，的最小值为2， 的周长最小值为3，故答案为：3 7．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，分别平分和， P是上一点，，已知．当取最小值时， ．（用含m，n的式子表示） 【答案】 【分析】由题意知，，，如图，作关于的对称点，连接，，，则，当三点共线时，和最小， 如图，过作于，交于，则是和的最小值，证明是等边三角形，则，，是等边三角形，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵，∴，∵分别平分和， ∴，， 如图，作关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴当三点共线时，和最小， 如图，过作于，交于，则是和的最小值， 由对称的性质可得，，， ∴，， ∴是等边三角形，∴，，∴是等边三角形， ∴，，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，轴对称的性质，三角形内角和定理．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4，，， 与关于直线对称，也是边长为4的等边三角形， ，，， 在和中，，，， ，，， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ，的最小值为8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．作点关于的对称点，则，，，当三点在同一直线上，且时，为最短． 【详解】如图，作点关于的对称点，则，，∴， ∴当三点在同一直线上，且时，为最短， ∵，∴，，∴，故答案为：． 10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案； 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，, ∵，∴，， ∴，∴，故答案为：6cm． 11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵为中点，∴， ∵，，∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接， 当点共线时，的值最小．最小值为， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，∴的最小值为7．故答案为：7． 12．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）如图，等边和等腰，，点，分别为边，的中点，若的面积为16，，点是上的动点，则的周长的最小值为 . 【答案】10 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，以及利用轴对称解决三角形的周长问题． 连接交于点，根据三线合一，得到关于对称，根据的周长等于，当三点共线时，的周长最短，再根据的面积为16，求出的长，进而求出的周长的最小值即可． 【详解】解：连接交于点，连接 ∵是等边三角形，点E为边的中点， ∴关于对称，∴，∴， 即：当三点共线时，的周长最短， ∵是等腰三角形，F为边的中点，∴，， ∴，∴， ∴的周长的最小值为；故答案为：10． 13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：连接交于，如图，    ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得，∴， ∴面积的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 14．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在中 ，平分，，的面积为78，M、N分别是、上的点，则的最小值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 在上取一点E，使得，连接，证明，可得，则，进而可得当点B，M，E共线且时，取最小值即，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，使得，连接，过点作于点F. ∵是的平分线，∴， 在和中，，∴ ∴，∴， ∴当点B，M，E共线且时，取最小值即， ∵，的面积为78，∴，∴， 即的最小值是12．故答案为：12． 15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，，连接，．此时，的周长最小，最小值为线段的长．证明是等边三角形，从而可得结论． 【详解】解：如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，， 连接，． 此时，的周长最小，最小值为线段的长．∵，∴． ∵，∴是等边三角形， ∴，∴的周长的最小值为2． 16．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°##60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 17．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作交轴于点，交于点 ，得矩形，正方形，点E是点C关于对称的对称点，此时 的值最小． 【详解】∵ ，，∴，轴，∴，，∴ 如图，过点作交轴于点，交 于点，连接，    则，∵，∴，∵，∴， ∵，轴，∴， ∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，同理可得四边形是矩形， ∵，∴,∴四边形是正方形， ∴点E是点C关于对称的对称点，的值最小， ∵,∴,∴，此时 的值最小，为，故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称一最短路线问题，坐标与图形性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 18．（2024·江苏·仪征市八年级阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的； （2）在直线上找出一点P，使得的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P） （3）在正方形网格中存在____________个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）分别作出△ABC的顶点关于直线l的对称点，顺次连接可得； （2）作射线A1C，与直线l的交点即为点P；（3）作线段BC的中垂线，从而得出符合条件的格点． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，点P即为所求，此时|PA-PC1|的值最大； （3）如图，在正方形网格中存在4个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于直线对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$