第一章空间向量与立体几何单元检测-2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

人教版选择性必修第一册空间向量与立体几何单元检测 一、单选题 1．如图，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，若，，共面，则实数的值等于（    ） A． B． C． D．0 5．向量，，若，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 6．在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 7．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题是真命题的有（ ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A． 直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 12．若，，，则的值为 ． 13．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 14．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知，，，，，求： (1)，，； (2)与夹角的余弦值. 16．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 17．如图，已知直四棱柱中，底面是直角梯形，为直角，. （1）求线段的长度； （2）异面直线与所成角的余弦值．    18．如图，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求证：∥； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值． 19．如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙． （1）已知，为，上的动点，求证：； （2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C A A D AD BCD 题号 11 答案 ABD 12．5 13． 14． 15．（1），则，解得， ， 又，则，， ； （2）由（1），， 设与夹角为，则． 16．（1）因为，所以，、、为共面向量， 因为、、有公共点，故、、、四点共面， 因为，则、、为共面向量， 因为、、有公共点，故、、、四点共面； （2），，， ，， 因为、无公共点，故. 17．（I）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则    ∴， （II）由（I）可知，，,|, ∴cos，＝ ∴异面直线与所成的角的余弦值为. 18．(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4), 设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量, 因为 所以∥； (2)取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|＝＝＝， 得sinθ＝. 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为. 19．（1）证明：在图甲中， ∵，∴， 又∵，∴且， 即在图乙中，，，又， 故有平面， 而平面，故有； （2）解：∵，， 所以为二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理，可知，满足，则有， 由（1）知，平面，则， 如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线与平面所成角满足． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$