专题特训(一)根的判别式及根与系数的关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

12 　　　 专题特训（一）　根的判别式及根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 不解方程,用判别式判断方程根的情况 1. (2023·广安)已知a,b,c为常数,点P(a, c)在第四象限,则关于x 的方程ax2+bx+ c=0的根的情况是 ( ) A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 类型二 利用根的判别式求待定字母的值 或取值范围 答案讲解 2. 若实数a,b满足12a-ab+b 2+2= 0,则a的取值范围是 ( ) A. a≤-2 B. a≥4 C. a≤-2或a≥4 D. -2≤a≤4 3. 已知关于x的方程(a+1)x2-2x+3=0有 两个实数根,则整数a的最大值是 . 类型三 利用根与系数的关系求方程另一个根 4. ★已知方程x2+mx+4=0的一个根为6+ 2,则方程的另一个根为 . 类型四 利用根与系数的关系求代数式的值 5. 已知α,β是方程x2-2x-2022=0的两个 实数根,则α2-4α-2β-2的值是 ( ) A. 2016 B. 2018 C. 2022 D. 2024 6. 已知a,b是方程x2+2022x+1=0的两个根, 则(1+2024a+a2)(ab+b2)的值为 ( ) A. -4044 B. 4048 C. -2024 D. 2022 答案讲解 7. 已知a,b是方程x2-3x-5=0的 两个根,则代数式2a3-6a2+b2+ 7b+1的值是 ( ) A. -25 B. -24 C. 35 D. 36 8. 若m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两 个实数根,则m 3+m2n 3m-1 的值为 . 9. 已知关于x 的一元二次方程x2-4mx+ 3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,求 m 的值. 类型五 根的判别式及根与系数的关系的 综合应用 10. 若关于x 的一元二次方程x2-(a2-3a- 10)x+a=0的两根互为相反数,则两根之 积是 . 11. 已知关于x的一元二次方程mx2+2(m+ 1)x+m-1=0有两个不等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个实数根分别为x1,x2, 且x21+x22=8,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 13 12. 已知关于x 的一元二次方程x2-(2k+ 1)x+k2+k=0. (1) 求证:方程有两个不等的实数根. (2) 若△ABC 的两边AB,AC 的长是这个 方程的两个实数根,且∠BAC=90°,BC= 5,求k的值. 类型六 利用根的判别式求几何图形的存在性 答案讲解 13. 如图,在矩形ABCD 中,设AB= a,AD=b,且a>b. (1) 若a,b为方程x2-kx+k+ 4=0的两个根,且a,b满足a2+b2=40,求 k的值. (2) 在(1)的条件下,P 为CD 上一点(与C, D 两点不重合),当点P 在什么位置时, △APB 为直角三角形? (3) P 为CD 上一动点(与C,D 两点不重 合),当a,b满足什么条件时,使△APB 为 直角三角形的点P 有且只有一个? (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 此时方程为1 2x 2-x+12=0. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. 7. A 8. D 9. D [解析] ∵ 1 n2+ 5 n -2=0 , ∴ 2n2-5n-1=0.∵ 2m2-5m- 1=0,m≠n,∴ m,n是一元二次方程 2x2-5x-1=0的两个根.∴ m+ n= 52 ,mn=- 12.∴ 1 m + 1 n = n+m mn = 5 2 -12 =-5. 10. 7 4 [解析] ∵ 关于x 的一元二 次方程x2-4x+m=0的两个实数根 分别 为 x1,x2,∴ x1 +x2 =4. ∵ x1+3x2=5,∴ x1+3x2=x1+ x2+2x2=4+2x2=5.∴ x2= 1 2. 把 x2= 1 2 代入 x2-4x+m=0,得 1 2 2 -4×12+m=0 ,解得m=74. 11. -6 [解析] ∵ a,b满足a2+ 2a-1=0,b2+2b-1=0,且a≠b, ∴ a,b是方程x2+2x-1=0的两个 根.∴ a+b=-2,ab=-1.∴ a2+ b2=(a+b)2-2ab=4+2=6. ∴ a b+ b a= a2+b2 ab = 6 -1=-6. 12. -1 [解析] ∵ 方程x2-2024x+ 1=0 的 两 个 根 分 别 为 x1,x2, ∴ x1x2=1,x21-2024x1+1=0. ∴ x21-2024x1=-1.∴ x21- 2024 x2 = x21- 2024x1 x1x2 =x 2 1-2024x1=-1. 13. (1) ∵ Δ=m2-4(m-2)=m2- 4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 无论m 取任何实数,此方程总有 两个不等的实数根. (2) 由根与系数的关系,得 x1+ x2=-m,x1x2=m-2. ∵ x21+x22+m(x1+x2)=m2+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2+m (x1+ x2)=m2+1. ∴ m2-2(m-2)-m2=m2+1. 整理,得m2+2m-3=0,解得m= -3或m=1. 14. (1) ∵ 方程x2-2(m+1)x+ m2+5=0有两个不等的实数根, ∴ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)= 8m-16>0,解得m>2. (2) ∵ 原方程的两个实数根为x1,x2, ∴ x1+x2=2(m +1),x1x2= m2+5. ∵ m>2, ∴ x1+x2=2(m+1)>0,x1x2= m2+5>0. ∴ x1>0,x2>0. ∵ x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= |x1|+|x2|+2x1x2, ∴ 4(m+1)2-2(m2+5)=2(m+ 1)+2(m2+5),即6m-18=0,解得 m=3. 15. 1 [解析] ∵ x1,x2是关于x的 一元二次方程x2-2(m+1)x+ m2+2=0的两个实数根,∴ x1+ x2=2(m +1),x1x2 =m2 +2. ∵ (x1+1)(x2+1)=8,即x1x2+ x1+x2+1=8,∴ m2+2+2(m+ 1)+1=8,解得m=1或m=-3. ∵ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+2)= 8m-4≥0,解得m≥12 ,∴ m=1. 16. (1) x1=2,x2=- 2,x3= 3, x4=- 3. [解析] 令y=x2,则有 y2-5y+6=0,∴ (y-2)(y-3)= 0.∴ y1=2,y2=3.∴ x2=2或x2= 3.∴ x1= 2,x2=- 2,x3= 3, x4=-3. (2) ∵ a≠b, ∴ a2≠b2或a2=b2(a=-b). ① 当a2≠b2时,令a2=m,b2=n. ∴ m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2- 7n+1=0. ∴ m,n是方程2x2-7x+1=0的两 个不等的实数根. ∴ m+n=72 ,mn=12. ∴ a4+b4=m2+n2=(m+n)2- 2mn=454. ② 当a2=b2(a=-b)时,易得a2= b2=7± 414 ,此时a4+b4=2a4= 2(a2)2=45±7 414 . 综 上 所 述,a4 +b4 的 值 为454 或 45+7 41 4 或45-7 41 4 . (3) 令 1 m2=a ,-n=b,则a2+a- 7=0,b2+b-7=0. ∵ n>0, ∴ 1 m2 ≠-n,即a≠b. ∴ a,b是方程x2+x-7=0的两个 不等的实数根. ∴ a+b=-1,ab=-7. ∴ 1 m4+n 2=a2+b2=(a+b)2- 2ab=15. 专题特训（一）　根的判别式 及根与系数的关系 1. A 2. C 3. -2 [解析] ∵ Δ=(-2)2-4× (a+1)×3≥0,解 得a≤- 23 , ∴ a≤-23 且a≠-1.又∵ a 为整 数,∴ a的最大值是-2. 4. 6-2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 已知一元二次方程的一个根, 求另一个根的方法 方法一(利用根与系数的关 系):当方程的二次项系数、一次项 系数已知,常数项未知时,利用两 根的和求另一个根;当方程的二次 项系数、常数项已知,一次项系数 未知时,利用两根的积求另一个根. 方法二(利用方程根的定义): 先把方程的已知根代入方程求出 未知系数或常数项,再解方程求另 一个根. 5. A 6. A 7. D 8. 3 [解析] ∵ m,n是一元二次方 程x2+3x-1=0的两个实数根, ∴ m+n=-3,m2+3m-1=0. ∴ 3m-1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 9. 设方程的两个根分别为t,t+2. 根据题意,得t+t+2=4m,t(t+ 2)=3m2. ∴ t=2m-1. 把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得 (2m-1)(2m+1)=3m2. 整理,得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1(不合题意,舍去). ∴ m 的值为1. 10. -2 11. (1) 由题意,知[2(m+1)]2-4× m·(m-1)>0,解得m>-13. ∵ m≠0, ∴ m 的取值范围是 m>- 13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1,x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . ∵ x21 +x22 =8,即 (x1+x2)2 - 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原方程 的解. ∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 12. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2- 4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k= 1>0, ∴ 方程有两个不等的实数根. (2) ∵ △ABC 的两边AB,AC 的长 是这个方程的两个实数根, ∴ AB+AC=2k+1,AB·AC= k2+k. ∵ ∠BAC=90°,BC=5, ∴ AB2+AC2=52,即(AB+AC)2- 2AB·AC=25. ∴ (2k+1)2-2(k2+k)=25,解得 k1=-4,k2=3. 当k=-4时,AB+AC=2×(-4)+ 1=-7,不合题意,舍去;当k=3时, AB+AC=2×3+1=7. ∴ k的值为3. 13. (1) ∵ a,b为方程x2-kx+k+ 4=0的两个根, ∴ a+b=k>0,ab=k+4. ∵ a2+b2=40, ∴ (a+b)2-2ab=40,即k2-2(k+ 4)=40,解得k=8或k=-6(不合题 意,舍去). ∴ k=8. (2) 当k=8时,x2-8x+12=0,解得 x1=2,x2=6. ∵ a>b, ∴ a=6,b=2. ∵ 易知∠APB=90°, ∴ AP2+BP2=AB2. 设DP=m. ∴ 4+m2+4+(6-m)2=36,解得 m1=3+5,m2=3-5. ∴ DP=3±5. ∴ 当点P 与点D 相距3+ 5或3- 5时,△APB 为直角三角形. (3) 同(2),可列方程为b2+m2+ (a-m)2+b2=a2,即 m2-am+ b2=0. 当Δ=(-a)2-4b2=0时,点P 有且 只有一个,此时a2=4b2. ∵ a>b>0, ∴ a=2b. ∴ 当a=2b时,使△APB 为直角三 角形的点P 有且只有一个. 21.3　实际问题 与一元二次方程 第1课时 传播与握手等问题 1. B 2. B 3. C 4. 51 5. 8 6. (1) 设每轮感染中平均一台电脑 会感染x台电脑. 依题意,得1+x+(1+x)x=81. 整理,得(1+x)2=81,解得x1=8, x2=-10(不合题意,舍去). ∴ 每轮感染中平均一台电脑会感染 8台电脑. (2) ∵ (1+x)2+x(1+x)2=(1+ x)3=(1+8)3=729(台),729>700, ∴ 3轮感染后,被感染的电脑会超过 700台. 7. D 8. 13 9. 5 10. 12 11. 设周瑜去世时的年龄的个位上的 数字为x,则十位上的数字为x-3. 依题意,得10(x-3)+x=x2,解得 x1=5,x2=6. 当x=5时,25<30,不合题意,舍去; 当x=6时,36>30,符合题意. ∴ 周瑜去世时的年龄为36岁. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5