专题特训(十二)阴影部分面积的计算-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

96 　　　 专题特训（十二）　阴影部分面积的计算 ▶ “答案与解析”见P53 类型一 公式法 1. (2023·锦州)如图,点A,B,C 在☉O 上, ∠ABC=40°,连接OA,OC.若☉O 的半径为 3,则扇形OAC(阴影部分)的面积为 ( ) (第1题) A. 2 3π B. π C. 4 3π D. 2π 类型二 作差法 2. (2023·鄂州)如图,在△ABC 中,∠ABC= 90°,∠ACB=30°,AB=4,O 为BC 的中点, 以点O 为圆心,OB 长为半径作半圆,交AC 于点D,则图中阴影部分的面积是 ( ) (第2题) A. 53- 33π B. 53-4π C. 53-2π D. 103-2π 3. (2023·重庆A卷)如图,☉O 是矩形ABCD 的外接圆.若AB=4,AD=3,则图中阴影部 分的面积为 (结果保留π). (第3题) (第4题) 4. 如图,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4,以 点C 为圆心,BC 长为半径画弧,交AD 于点 M,交CD 的延长线于点N,则图中阴影部分 的面积为 . 类型三 等积变形法 5. (2023·广元)如图,在半径为5的扇形OAB 中,∠AOB=90°,C 是AB ︵ 上一点,CD⊥ OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若CD= CE,则图中阴影部分的面积为 ( ) (第5题) A. 25π 16 B. 25π 8 C. 25π 6 D. 25π 4 6. (2022·西宁)如图,等边三角形ABC 内接于 ☉O.如果BC=23,那么阴影部分的面积是 . (第6题) 类型四 重叠求余法 7. 如图,☉O 的半径为1,AB 是直径,分别以点 A,B 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧相交于 C,D 两点,则图中阴影部分的面积为 ( ) (第7题) A. 5π 3-23 B. 5π 6-3 C. 5π 3-3 D. 8π 3-23 8. 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,AC 为 对角线,先以点A 为圆心,AB 长为半径画 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 97 答案讲解 弧,再以AB 长为直径画半圆,则阴 影部分的面积为 . (第8题) 类型五 割补法 9. 如 图,在 扇 形 OAB 中,点 C 在 AB ︵ 上, ∠AOB=90°,∠ABC=30°,AD⊥BC,交 BC 的延长线于点D,连接AC.若OA=2,则 图中阴影部分的面积为 . (第9题) 答案讲解 10. 如图,将半径为2的☉O 折叠两 次,若AB ︵ 和BC ︵ 都经过圆心,则阴 影部分的面积是 (结果保 留π). (第10题) 类型六 整体法 11. 如图,☉A,☉B,☉C,☉D,☉E的半径都是1, 顺次连接这些圆的圆心得到五边形ABCDE, 则图中的阴影部分面积之和为 . (第11题) (第12题) 12. 如图,在边长为1的小正方形构成的网格 中,半径为1的☉O 与大正方形的四条边相 切,则图中阴影部分的面积为 (结 果保留π). 类型七 图形变换法 13. 如图,从大半圆中剪去一个小半圆(小半圆 的直径在大半圆的直径MN 上),点O 为大 半圆的圆心,AB 是大半圆的弦,且与小半 圆相切,AB∥MN.已知AB=24,则阴影部 分的面积是 . (第13题) 14. 如图,在矩形ABCD 中,BC=2,DC=4,以 AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E,求 阴影部分的面积. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆 ∴ r1-r2= 3 8- 3 12= 3 24. 12. (1) ① ∵ 60×π×63 180 =23π , ∴ 扇形ABC的弧长为23π. ② ∵ 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 为 23π 2π =3 , ∴ h= (63)2-(3)2= 105. (2) 63-6. [解析] 如图,连接OB 并延长,交☉O 于点D,过点 O 作 OE⊥BC 于点E,则BD 的长是☉O 上任意一点到正三角形ABC 上任意 一点距离的最小值.∵ 点O 是正三角 形ABC 的中心,∴ BE=12BC= 33,∠OBE=30°.由勾股定理,易知 OB=6.∴ BD=OD-OB=63-6. ∴ ☉O 上任意一点到正三角形ABC 上任意一点距离的最小值为63-6. (第12题) 专题特训（十二）　阴影部分 面积的计算 1. D 2. C 3. 25 4π-12 4. 8π 3 -23 [解析] 过点 M 作 ME⊥BC于点E.易知CB=CM=4, ME=AB =2.∵ ∠MEC =90°, ME=12CM ,∴ CE= 42-22 = 23,∠MCE=30°.∴ 易知 MD= CE =23.∴ S阴影 =S扇形CBN - S扇形CBM - S△CDM = 90π×42 360 - 30π×42 360 - 2×23 2 =4π- 4π 3-23= 8π 3-23. 5. B 6. 4π 3 7. A [解析] 连接BC,AC.由作法 可知AC=BC=AB=2,∴ △ACB 为等 边 三 角 形.∴ ∠BAC=60°. ∴ S弓形BC=S扇形ABC-S△ABC.∴ 易得 图中阴影部分的面积=4S弓形BC + 2S△ABC - S☉O = 4 (S扇形ABC - S△ABC)+2S△ABC-S☉O=4S扇形ABC- 2S△ABC-S☉O =4× 60π×22 360 -2× 3 4×2 2-π×12=5π3-23. 8. 3 2- π 4 [解析] 如图,设BD︵ 与 AC交于点E,以AB 为直径的半圆交 AC 于 点 O,连 接 OB.∵ 四 边 形 ABCD 是正方形,∴ 易得∠BAC= ∠DAC=45°.∵ AB 是半圆的直径, ∴ ∠AOB=90°.∴ 易得△AOB 是等 腰直角三角形.∵ AB=2,∴ 易得 OA=OB=2.∴ 阴影部分的面积= S△ACD-S扇形ADE+S扇形ABE- 12× π×12-12 12×π×12-12× 2× 2 = 12×2×2-45×π×2 2 360 + 45×π×22 360 - π 2- π 4+ 1 2 =2- π 4- 1 2= 3 2- π 4. (第8题) 9. 1+3-23π 10. 4 3π [解析] 如图,过点O 作 OD⊥AB 于点D,连接AO,OB,OC. ∵ 易知OD=12AO ,∴ ∠OAD= 30°.∴ ∠AOD =60°.∴ 易 得 ∠AOB=2∠AOD=120°.同理,可得 ∠BOC=120°.∴ ∠AOC=120°. ∵ 易得阴影部分的面积=S扇形OAC, ∴ 阴影部分的面积=120π×2 2 360 = 4π 3. (第10题) 11. 3π 2 12. π 4 13. 72π [解析] 如图,将小半圆向 右平移,使两个半圆的圆心重合,连接 OB,过点O 作OC⊥AB 于点C,则 AC=BC=12.∵ AB 是大半圆的弦, 且与小半圆相切,∴ OC 为小半圆的 半径.∴ S阴影=S大半圆-S小半圆=12π · OB2- 12π ·OC2= 12π (OB2- OC2)=12π ·BC2=72π. (第13题) 14. 连接OE,交BD 于点M. ∵ CD 是半圆O 的切线, ∴ OE⊥CD. 又∵ 易得AB∥CD, ∴ OE⊥AB. 又∵ OA=OB,且易得DE=OA, ∴ OB=ED. ∴ 易证△OBM≌△EDM. 把△EDM 绕点M 旋转180°就会转到 △OBM 的位置,阴影部分就转化为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 扇形OBE. ∴ 阴影部分的面积为1 4π×2 2=π. 专题特训（十三）　圆 和无刻度直尺作图 1. (1) 如图,点M 即为所求作. (2) 如图,射线BM 即为所求作. (第1题) 2. 如图,点O,D 即为所求作. (第2题) 3. (1) 如图①,点O,D 即为所求作. (2) 画法不唯一,如图②,线段CE 即 为所求作. (第3题) 4. (1) 如图①,线段AD 即为所求作. (2) 如图②,点O 即为所求作. (第4题) 5. 画法不唯一,如图,线段EF 即为 所求作. (第5题) 6. 如图,直线AP 即为所求作. (第6题) 7. (1) 如图①,线段BD、点E 即为所 求作. (2) 如图②,△ABF、直线BG 即为所 求作. (第7题) 8. 如图,点O 和直线AE,EF 即为所 求作. (第8题) 9. (1) 如图①,点O 即为所求作. (2) 如图②,线段AD 即为所求作. (3) 如图③,射线AF 即为所求作. (第9题) 10. (1) 如图,点F、线段OF 即为所 求作. (2) 如图,线段BD 即为所求作. (3) 如图,点E 即为所求作. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45