专题特训(十)圆中常用的辅助线作法&专题特训(十一)巧作辅助圆解题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

∴ AC= OA2+OC2 =5 3.如图 ②,当∠OAC=90°时,∵ BC 是☉O 的切线,∴ ∠CBO=∠OAC=90°. ∵ BC=OA=OB=5,∴ △OBC 是 等腰直角三角形.∴ 易得OC=52. 综上所述,其斜边长为53或52. (第14题) 15. D 16. 4或5 17. 3 2 或23 [解析] ∵ E 是AD 的中点,∴ AE=12AD=2. 当☉P 与 BC相切时,易得PE=PB=4-AP. 在Rt△PAE 中,AP2+AE2=PE2, 即AP2+22=(4-AP)2,∴ AP= 3 2. 当☉P 与DC 相切时,PE=4,则 AP= 42-22=23.综上所述,当 ☉P 与正方形ABCD 的边相切时, AP 的长为32 或23. 18. (1) 24 5. (2) ∵ 开始时,O 为AC的中点, ∴ OC=12AC= 1 2×8=4. 易知当CD⊥AB 时,点O 到AB 的距 离最短. ∴ 易得OG=CG-OC=245-4= 4 5. ∴ 点O 到AB 距离的最小值为45. (3) ① 当半圆O 与BC 相切于点K 时,如图①,连接OK. ∴ ∠OKC=90°. 在Rt△OCK 中,OK=3,OC=4, ∴ CK= OC2-OK2= 42-32=7. ∴ BK=BC-CK=6-7. ② 当半圆O 与AC相切于点K 时,如 图②,连接OK,BK. ∴ ∠OKC=90°. 在Rt△OCK 中,OK=3,OC=4, ∴ CK= OC2-OK2= 42-32=7. 在 Rt△BCK 中, BK = BC2+CK2= 62+(7)2= 43. 综上所述,BK 的长为6-7或 43. (第18题) 专题特训（十）　圆中 常用的辅助线作法 1. B 2. 5+33 [解析] 如图,过点O 作 OM⊥CD 于点M,连接OD.∴ CM= DM.∵ ∠CEA=30°,∴ ∠OEM= ∠CEA=30°.∵ 在 Rt△OEM 中, OE=2,∴ OM=12OE=1. 由勾股定 理,知 EM = 3.∵ DE =5 3, ∴ DM=DE-EM =5 3- 3= 43.∴ CD=2DM=83.∴ CE= CD-DE=33.∵ OM=1,DM= 43,∴ 在 Rt△DOM 中,OD = OM2+DM2 = 1+48 = 7. ∴ OA=OD=7.∴ AE=OA-OE= 7-2=5.∴ AE+CE=5+33. (第2题) 3. D 4. 2 2 [解析] 连 接 OA,OC. ∵ ∠COA=2∠CBA=2×45°=90°, ∴ △AOC 为等腰直角三角形.在 Rt△AOC 中,由勾股定理,得AC= OA2+OC2=42.∵ CD⊥AB, ∠CAB=30°,∴ CD=12AC=22. 5. A 6. B 7. D 8. (1) 如图,连接OM,ON,MN. ∵ CM=CN,OM=ON, ∴ ∠CMN = ∠CNM,∠OMN = ∠ONM. ∵ ☉O 与边BC相切于点M, ∴ OM⊥BC. ∴ ∠OMC=∠OMN+∠CMN=90°. ∴ ∠ONC=∠ONM+∠CNM=90°. ∴ ON⊥CD. 又∵ ON 是☉O 的半径, ∴ CD 与☉O 相切. (2) 如图,过点O 作OG⊥AB 于点 G,连接OE. 由题意,易知GE=12AE=3. ∴ BG=BE+GE=5. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠B=∠C=90°. 又∵ OM⊥BC, ∴ 四边形OGBM 是矩形. ∴ BM =OG,OM =BG=OE = ON=5. ∴ OG= OE2-GE2=4. ∴ BM=4. ∵ ∠C=90°,OM⊥BC,ON⊥CD, ∴ 四边形OMCN 是矩形. ∴ MC=ON=5. ∴ BC=BM+CM=9. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 专题特训（十一）　巧作 辅助圆解题 1. 84° 14° [解析] 如图,以点A 为 圆心,AD 长为半径作圆.∵ AB= AC=AD,∴ 点 B,C 在☉A 上. ∵ ∠DBC = 42°,∴ ∠CAD = 2∠DBC = 84°. ∵ ∠CAD = 3∠BAC,∴ ∠BAC= 13∠CAD= 28°.∵ ∠BDC=12∠BAC ,∴ ∠BDC= 1 2×28°=14°. (第1题) 2. 15 [解析] 如图,以点A 为圆 心,AB 长为半径作圆,延长BA 交 ☉A 于点F,连接DF.∵ AB=AC= AD=2,∴ 点 D,C 在 ☉A 上. ∵ DC∥AB,∴ ∠DBF=∠BDC. ∴ DF︵=BC︵.∴ DF=BC=1.∵ BF 是☉A 的 直 径,∴ ∠FDB=90°. ∵ BF=2AB=4,∴ 由勾股定理,得 BD= BF2-DF2= 42-12= 15. (第2题) 3. 9 2 [解析] 如图,连接PC,取PC 的中点O,连接OE,OD,过点O 作 OH⊥DE 于点H,以点O 为圆心, OC长为半径作圆.∵ △ABC 是等边 三角形,∴ ∠ACB=60°,AB=BC= AC=6.∵ PD ⊥BC,PE⊥AC, ∴ ∠PDC = ∠PEC = 90°. ∴ ∠PDC+∠PEC=180°.∴ 易得 C,D,P,E 四点共圆.∴ ∠EOD= 2∠ECD=120°.易知当OE 的长最小 时,DE 的长最小.根据垂线段最短, 可知当CP⊥AB,即CP=33时,OE 的长 最 小,为33 2 .∵ OE =OD, OH⊥DE,∴ DH=EH,∠DOH= ∠EOH=60°.∴ 易得DH=EH= 9 4.∴ DE=2DH=92.∴ DE 长的 最小值为9 2. (第3题) 4. 2 [解析] 如图,取AB 的中点 H,以点 H 为圆心,AH 长为半径作 圆,连 接 HC,HP.∵ AP ⊥BP, ∴ ∠APB=90°.∴ 点P 在以线段 AB 为直径的☉H 上.易知当 H,P, C 三点共线时,CP 最短.∵ HB= 1 2AB =3 ,BC =4,∴ HC = HB2+BC2=5.∴ CP 长的最小 值为HC-HP=5-3=2. (第4题) 5. 10- 2 [解析] 如图,连接 AC,BD 交于点O.易证O 是EF 的 中点.∵ BG⊥EF,∴ ∠BGO=90°. 作△BGO 的外接圆☉M,连接AM, 则点G 在☉M 上运动.易知当A,G, M 三点共线时,AG 的长最小.易得 OM= 2,OA=22,∴ 根据勾股定 理,可得 AM= OM2+OA2= 10. ∴ AG 长的最小值为 10-2. (第5题) 6. B [解析] ∵ △ABC是等边三角 形,∴ ∠ABC=∠BAC=60°,AC= AB=3.∵ ∠PAB=∠ACP,∴ 易得 ∠PAC+∠ACP=60°.∴ ∠APC= 120°.∴ 点P 的运动轨迹是AC︵(不与 点A,C重合).如图,设AC︵ 所在圆的 圆心为点O,连接OP,交AC于点D. 易知当点O,P,B 共线时,PB 的长最 小.易得此时PA=PC,OB⊥AC,则 AD=CD= 12AC= 3 2 ,∴ 易 得 ∠PAC= ∠ACP =30°,∠ABD = 1 2∠ABC=30°.∴ 易得PD= 32 , BD=332 .∴ PB=BD -PD = 33 2 - 3 2=3. (第6题) 7. 如图,作△ABC 的外接圆☉O,过 点C作CM⊥AB 于点M. ∵ 弦AB 已确定, ∴ 要使△ABC的面积最大,只要CM 的长取最大值即可. 易知当CM 过圆心O 时,CM 的长 最大. ∵ CM⊥AB,CM 过点O, ∴ AM=BM. ∴ 易得AC=BC. ∵ ∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84 ∴ OM=AM=12AB= 1 2×6=3. ∴ OA= OM2+AM2=32. ∴ CM=OC+OM=32+3. ∴ △ABC 的 面 积 的 最 大 值 为 1 2AB ·CM=12×6× (32+3)= 92+9. (第7题) 24.3　正多边形和圆 1. B 2. A 3. 12 4. 2+2 5. (1) 如图,连接OA,OB,OB 与AC 相交于点Q. 由题意,可知QA=QC,OB⊥AC. ∵ 多边形ABCDEFGH 是正八边形, ∴ ∠AOB=360°8 =45°. 由勾股定理,易知QA=OQ= 22. ∴ AC=2QA=2. (2) ∵ AFD︵ 所 对 的 圆 心 角 为 5∠AOB=225°, ∴ AFD︵ 所对的圆周角为∠ABD= 1 2×225°=112.5°. ∵ ∠BAC=12×45°=22.5° , ∴ ∠APD = ∠ABD + ∠BAC = 135°. (第5题) 6. C [解析] 如图,作这个正九边形 的外接圆为☉O,连接OA,OB,OC, OD,BD,则 ∠AOB =360°9 =40° , ∠COD = 2 ∠AOB = 80°. ∴ ∠ADB = 12 ∠AOB = 20° , ∠CBD=12∠COD=40°.∴ ∠1= ∠ADB+∠CBD=20°+40°=60°. (第6题) 7. C [解析] 如图,AB 是正十二边 形的一条边,点O 是正十二边形的中 心,过点A 作AM⊥OB 于点M.在正 十二边形中,∠AOB=360°÷12= 30°.∴ AM=12OA= 1 2.∴ S△AOB= 1 2OB ·AM = 12 ×1× 1 2 = 1 4. ∴ 正十二边形的面积为12×14=3. ∴ 3=12×π,解得π=3.∴ π的估计 值为3. (第7题) 8. C [解析] ∵ 在正五边形ABCDE 中,F 是边CD 的中点,∴ 直线AN 是正五边形ABCDE 的对称轴.∴ 点 B 与点E 关于直线AN 对称.如图, 过点E 作EM⊥BC 于点M,交AN 于点P,此时PE+PM 的值最小,即 PB+PM 的值最小.∴ 直线EM 是 正五边形ABCDE 的对称轴.∴ 点P 为 正 五 边 形 ABCDE 的 中 心. ∴ PA=PB=PE.∵ 正 五 边 形 ABCDE 的 内 角 ∠BAE = (5-2)×180° 5 =108° ,∴ 由对称性,可 知∠BAN=∠EAN= 12∠BAE= 54°.∵ 在 △ABP 中,PA =PB, ∴ ∠BAP=∠ABP=54°.∴ ∠BPN= 2∠ABP=108°. (第8题) 9. 2 [解析] 如图,连接BE,GO. ∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形, ∴ BE 经过点O,且O 是BE 的中点, ∠EDC = (6-2)×180° 6 = 120° , ∠EOG = 90°.∵ DE = DC, ∴ ∠DEC =30°.∵ BC = CD, ∴ CD︵=BC︵.∴ ∠GEO=∠DEC= 30°.∴ OG=12EG. 由勾股定理,得 OG2+OE2=EG2,即 12EG 2 + (3)2=EG2,解 得 EG=2(负 值 舍去). (第9题) 10. (1) ∵ 五边形ABCDE 是正五 边形, ∴ ∠ABC= (5-2)×180° 5 =108°. (2) △AMN 是正三角形. 理由:如图,连接ON,NF. 由题意,得FN=OF=ON. ∴ △FON 是正三角形. ∴ ∠NFA=60°. ∴ ∠NMA=60°. 同理,可得∠ANM=60°. ∴ ∠MAN=60°. ∴ △AMN 是正三角形. (3) 如图,连接OD. ∵ ∠AMN=60°, ∴ ∠AON=120°. ∵ 易得∠AOD=360°5 ×2=144° , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 88 　　　 专题特训（十）　圆中常用的辅助线作法 ▶ “答案与解析”见P47 类型一 作弦心距,求弦长 1. 如图,在△ABC 中,∠ACB=130°,∠A= 20°,BC=2,以点C 为圆心,CB 长为半径的 圆交AB 于点D,则BD 的长为 ( ) A. 3 B. 23 C. 3 3 D. 4 (第1题) (第2题) 2. 如图,AB 是☉O 的直径,弦CD 交AB 于点 E,∠CEA=30°,OE=2,DE=5 3,则 AE+CE= . 类型二 连半径,构造同弧所对的圆心角 3. (2023·杭州)如图,在☉O 中,半径OA,OB 互相垂直,点C 在AB ︵ 上.若∠ABC=19°,则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 23° B. 24° C. 25° D. 26° (第3题) (第4题) 答案讲解 4. 如图,△ABC 内接于☉O,∠CAB= 30°,∠CBA=45°,CD⊥AB 于点 D.若☉O 的半径为4,则CD 的长 为 . 类型三 利用直径构造直角三角形 (第5题) 5. (2022·营口)如图,点A,B, C,D 在 ☉O 上,AC⊥BC, AC=4,∠ADC=30°,则BC的 长为 ( ) A. 43 B. 8 C. 42 D. 4 类型四 构造圆内接四边形 6. 如图,AB 是半圆O 的直径,C,D 是半圆O 上的两点,∠CAB=24°,则∠ADC 的度数为 ( ) A. 124° B. 114° C. 116° D. 126° (第6题) (第7题) 7. 如图,点A,B,C 在☉O 上,点B 在AC ︵ 上, ∠AOC=120°,则∠ABC 的度数为 ( ) A. 100° B. 80° C. 110° D. 120° 类型五 连半径,证切线 答案讲解 8. 如图,在矩形ABCD 中,☉O 经过点 A,且与边BC 相切于点M,☉O 过 边CD 上的点N,且CM=CN. (1) 求证:CD 与☉O 相切. (2) 若BE=2,AE=6,求BC 的长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 89 专题特训（十一）　巧作辅助圆解题 ▶ “答案与解析”见P48 类型一 定(动)点定长模型 1. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD, 且∠CAD=3∠BAC.若∠DBC=42°,则 ∠CAD= ,∠BDC= . (第1题) (第2题) 2. 如图,在四边形ABCD 中,DC∥AB,BC=1, AB=AC=AD=2,则BD 的长为 . 类型二 对角互补模型 答案讲解 3. 如图,在等边三角形ABC 中,AB= 6,P 为边AB 上一动点,PD⊥BC, PE⊥AC,垂足分别为D,E,则DE 长的最小值为 . (第3题) 类型三 圆周角为直角模型 4. 如图,在Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6, BC=4.如果P 是△ABC 内部的一个动点, 且始终有 AP⊥BP,那么CP 长的最小值为 . (第4题) (第5题) 5. 如图,正方形ABCD 的边长为4,E 是边AB 上一个动点,F 是边CD 上一个动点,且 AE=CF,连接EF,过点 B 作 BG⊥EF 于 点G,连接 AG,则 AG长的最小值为 . 类型四 定弦对定角模型 答案讲解 6. 如图,△ABC 为等边三角形,AB= 3.若P 为△ABC 内一个动点,且满 足∠PAB=∠ACP,则PB 长的最 小值为 ( ) (第6题) A. 1.5 B. 3 C. 43 3 D. 2 答案讲解 7. 在△ABC 中,若AB=6,∠C=45°, 求△ABC 的面积的最大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆