专题特训(二)一元二次方程的实际应用-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

20 　　　 专题特训（二）　一元二次方程的实际应用 ▶ “答案与解析”见P7 类型一 传播问题 1. 某种病毒具有人传人的特性,若一人携带病 毒,且未进行有效隔离,则经过两轮传染后, 共有169人成为该病毒的携带者. (1) 每轮传染中平均每人传染了多少人? (2) 若不控制传染渠道,则按照这样的传染 速度,第三轮传染后,共有多少人成为该病毒 的携带者? 类型二 数字问题 2. 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字 之和为5,把这个两位数的十位上的数字与 个位上的数字对调后,所得的新的两位数与 原来的两位数的积是736,求原来的两位数. 类型三 平均变化率问题 3. 某商场今年2月的营业额为400万元,3月的 营业额比2月增加10%,5月的营业额达到 633.6万元,求3月到5月营业额的平均月增 长率. 4. 现代互联网技术的广泛应用,促使快递行业 高速发展.据调查,某家小型快递公司今年一 月份与三月份完成投递的快递总件数分别为 10万和12.1万,现假定该公司每月投递的 快递总件数的增长率相同. (1) 求该快递公司投递快递总件数的月增 长率. (2) 如果平均每人每月最多可投递快递0.6万 件,那么该公司现有的21名快递投递业务员 能否完成今年四月份的快递投递任务? 如果 不能,请问:至少需要增加几名业务员? 类型四 面积问题 5. 如图,某工程队在工地利用互相垂直的两面 墙AE,AF,另两边用铁栅栏围成一块矩形 场地ABCD,中间再用铁栅栏分割成两个矩 形.已知铁栅栏总长为180m,墙AE 长为 90m,墙AF 长为60m. (1) 设BC=xm,则CD 为 m,矩形 ABCD 的面积为 m2. (2) 若矩形ABCD 的面积为4000m2,则BC 的长为多少米? (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 21 6. 如图①所示为一张长20cm、宽13cm的矩形 纸板,将纸板四个角各剪去一个边长为xcm 的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成 一个如图②所示的无盖纸盒. (1) 这个无盖纸盒的长为 cm,宽为 cm(用含x的代数式表示). (2) 若要制成一个底面积是144cm2的无盖 长方体纸盒,求x的值. (第6题) 类型五 商品销售问题 答案讲解 7. 某网店为满足航空航天爱好者的需 求,特推出了“中国空间站”模型,已 知该模型平均每天可售出20个,每 个盈利40元,为了扩大销售,该网店准备适 当降价,经过一段时间测算,每个模型每降价 1元,平均每天可以多售出2个. (1) 若每个模型降价4元,平均每天可以售 出 个模型. (2) 在每个模型盈利不少于25元的前提下, 要使销售“中国空间站”模型每天获利1200元, 每个模型应降价多少元? 类型六 动态几何问题 答案讲解 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, AB=10cm,BC=8cm,点P 从点 A 开始沿射线AC 方向以2cm/s的 速度运动,与此同时,点Q 从点C 开始沿边 CB 向点B 以1cm/s的速度运动.如果点P, Q 分别从点A,C 同时出发,运动的时间为 ts,当点Q 运动到点B 时,两点停止运动. (1) 当点P 在线段AC 上运动时,P,C 两点 之间的距离为 cm(用含t的代数式 表示). (2) 在运动的过程中,是否存在某一时刻,使 得△PQC 的面积是△ABC 面积的16 ? 若存 在,求t的值;若不存在,请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 1,x2=23(不合题意,舍去). ∴ 所铺设的石子路的宽度为1m. 5. C 6. 4 7. 2或3 8. (1) 设矩形 ABCD 的边AB= xm,则边AD=70-2x+2=(72- 2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640. 整理,得x2-36x+320=0,解得 x1=16,x2=20. 当x=16时,72-2x=40;当x=20 时,72-2x=32. ∴ 当羊圈的长为40m、宽为16m或 长为32m、宽为20m时,能围成一个 面积为640m2 的羊圈. (2) 不能. 理由:由题意,得x(72-2x)=650. 整理,得x2-36x+325=0. ∵ Δ=(-36)2-4×325=-4<0, ∴ 一元二次方程无实数根. ∴ 羊圈的面积不能为650m2. 9. 6 [解析] 由题意,知AB+BC= 2 13.∵ AB=BC,∴ AB= 13. ∵ AB=BC,BD⊥AC,∴ AC= 2AD,∠ADB=90°.在Rt△ABD 中, AD2+BD2=AB2=13①.设点M 到 AC的距离为h.∴ S△ADM= 1 2AD · h.∵ 动点 M 从点A 出发,沿折线 A-B-C运动,∴ 当点 M 运动到点B 时,△ADM 的面积最大,即h=BD. 由题意,知△ADM 的面积的最大值 为3.∴ 1 2AD ·BD=3.∴ AD· BD=6②.①+2×②,得 AD2+ BD2+2AD·BD=13+2×6=25. ∴ (AD+BD)2=25.∴ AD+BD= 5.∴ BD=5-AD③.将③代入②,得 AD(5-AD)=6.∴ AD=3或AD= 2.∵ AD>BD,∴ AD=3.∴ AC= 2AD=6. 10. (1) 设经过xs,PQ的长是10cm. 过点Q 作QE⊥AB 于点E. 由题意,知AP=3xcm,CQ=2xcm. ∴ 易知PE=16-2x-3x=(16- 5x)cm,EQ=6cm. ∴ (16-5x)2+62=102,即(16- 5x)2=64. ∴ x1= 8 5 ,x2= 24 5. ∴ 经过8 5s 或24 5s ,P,Q 两点之间的 距离是10cm. (2) 设经过ys,△PBQ 的面积为 12cm2. ① 当0≤y< 16 3 时,PB=(16- 3y)cm, ∴ 1 2PB ·BC=12,即12× (16- 3y)×6=12,解得y=4. ② 当16 3<y≤ 22 3 时,BP=(3y- 16)cm,CQ=2ycm,则 1 2BP ·CQ= 1 2 (3y-16)×2y=12,解得y1=6, y2=- 2 3 (不合题意,舍去). ③ 当22 3<y≤8 时,QP=CQ-CP= 2y-(3y-22)=(22-y)cm,则 1 2QP ·CB=12 (22-y)×6=12,解 得y=18(不合题意,舍去). 综上所述,经过4s或6s,△PBQ 的 面积为12cm2. 专题特训（二）　一元二次 方程的实际应用 1. (1) 设每轮传染中平均每人传染 了x人. 依题意,得1+x+x(1+x)=169,即 (1+x)2=169,解得x1=12,x2= -14(不合题意,舍去). ∴ 每轮传染中平均每人传染了12人. (2) 169×(1+12)=2197(人), ∴ 按照这样的传染速度,第三轮传染 后,共有2197人成为该病毒的携带者. 2. 设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为5-x. 根据题意,得(10x+5-x)[10(5- x)+x]=736. 整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2, x2=3. 当x=2时,5-x=3;当x=3时,5- x=2. ∴ 原来的两位数为23或32. 3. 设3月到5月营业额的平均月增 长率为x. 由 题 意,得 400(1+10%)(1+ x)2=633.6. ∴ (1+x)2=1.44,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 3月到5月营业额的平均月增长率 为20%. 4. (1) 设该快递公司投递快递总件 数的月增长率为x. 根据题意,得10×(1+x)2=12.1,解 得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合 题意,舍去). ∴ 该快递公司投递快递总件数的月 增长率为10%. (2) 12.1×(1+10%)=13.31(万 件),21×0.6=12.6(万件). ∵ 12.6<13.31, ∴ 该公司现有的21名快递投递业务 员不能完成今年四月份的快递投递 任务. 设增加m 名业务员才能完成今年四 月份的快递投递任务. ∵ (21+m)×0.6≥13.31,则m≥7160 , ∴ 至少需要增加2名业务员. 5. (1) (180-2x);x(180-2x). (2) 由题意,得x(180-2x)=4000. 整理,得x2-90x+2000=0,解得 x=40或x=50. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 当x=40时,180-2x=100>90,不 合题意,舍去;当x=50时,180- 2x=80<90,符合题意. ∴ BC的长为50m. 6. (1) (20-2x);(13-2x). (2) 依 题 意,得 (20-2x)(13- 2x)=144. 整理,得2x2-33x+58=0,解得 x1=2,x2=14.5(不合题意,舍去). ∴ x的值为2. 7. (1) 28. (2) 设每个模型降价x 元,则每个模 型可盈利(40-x)元,平均每天可售 出(20+2x)个. 根据题意,得(40-x)(20+2x)= 1200. 整理,得x2-30x+200=0,解得 x1=10,x2=20. ∵ 每个模型盈利不少于25元, ∴ x=10. ∴ 每个模型应降价10元. 8. (1) (6-2t). (2) 存在. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC= AB2-BC2=6cm. ∵ S△ABC= 1 2×6×8=24 (cm2), ∴ S△PQC= 1 6×24=4 (cm2). ① 当0<t<3时,PC=(6-2t)cm, QC=tcm, ∴ S△PCQ= 1 2QC ·PC=12t (6- 2t)cm2. ∴ 1 2t (6-2t)=4,即t2-3t+4=0. ∵ Δ=(-3)2-4×1×4=-7<0, ∴ 该一元二次方程无实数根. ∴ 该范围内不存在. ② 当3<t≤8时,PC=(2t-6)cm, QC=tcm, ∴ S△PCQ= 1 2QC ·PC=12t (2t- 6)cm2. ∴ 1 2t (2t-6)=4,即t2-3t-4=0, 解得t=4或t=-1(不合题意,舍去). 综上所述,当t=4时,存在△PQC 的 面积是△ABC面积的16. 第二十一章复习 ［知识体系构建］ ax2+bx+c=0(a ≠0) x= -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) -ba c a ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. ∵ m 为方程x2+ 3x-2022=0的根, ∴ m2+3m-2022=0. ∴ m2+3m=2022. ∴ 原式=m3+3m2-m2-3m- 2022m+2022=m(m2+3m)- (m2 +3m)-2022m +2022= 2022m-2022-2022m+2022=0. 典例2 (1) x1=1,x2=- 5 3. (2) x1= 23 3 -1 ,x2=- 23 3 -1. (3) x1= 1+ 19 3 ,x2= 1- 19 3 . (4) x1=3,x2= 3 5. [跟踪训练] 2. (1) y1= 3 2 ,y2=-1. (2) x1= 3+ 17 2 ,x2= 3- 17 2 . (3) x1= 1 2 ,x2=-2. (4) x1=-1,x2=3. 典例3 (1) ∵ 关于x的一元二次方 程x2-2(m+1)x+m2-3=0有实 数根, ∴ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2-3)= 4m2+8m+4-4m2+12=8m+ 16≥0. ∴ m≥-2. (2) 由根与系数的关系,得x1+x2= 2(m+1),x1x2=m2-3. ∵ x21+x22-x1x2=33, ∴ (x1+x2)2-3x1x2=33. ∴ 4(m+1)2-3(m2-3)=33,即 m2+8m-20=0,解得m1=-10, m2=2. ∵ m≥-2, ∴ m=2. [跟踪训练] 3. (1) ∵ Δ=[-(m+ 5)]2-4(3m+6)=m2-2m+1= (m-1)2≥0, ∴ 不论实数m 取何值,方程总有实 数根. (2) 设矩形的两条邻边的长分别为 a,b. 根据根与系数的关系,得a+b=m+ 5>0,ab=3m+6>0. 由题意,易得a2+b2=25, ∴ (a+b)2-2ab=25,即(m+5)2- 2(3m+6)=25. 整理,得 m2+4m -12=0,解 得 m1=-6(不合题意,舍去),m2=2. ∴ m 的值为2. 典例4 设x2=t. x4-4x2-5=0可化为t2-4t-5= 0,则(t+1)(t-5)=0,解得t1=-1, t2=5. 当t=-1时,方程x2=-1无实数 根;当t=5时,x2=5,解得x=±5. 综上所述,原方程的解为x1= 5, x2=-5. [跟踪训练] 4. 我们可以将x2-1 视为一个整体,然后设x2-1=y,则 (x2-1)2=y2. 原方程可化为y2-3y-4=0,则(y+ 1)(y-4)=0,解得y1=-1,y2=4. 当y=-1时,x2-1=-1, ∴ x1=x2=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8