专题特训(八)旋转中常见的几何模型-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

60 　　　　 专题特训（八）　旋转中常见的几何模型 ▶ “答案与解析”见P29 类型一 手拉手模型 1. 如图,等边三角形ABC 内有一点P,连接 AP,BP,CP.若∠BPC=150°,BP=3, AP=5,则CP= . (第1题) (第2题) 2. 如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB= 90°,∠APC=165°,PA=3,PC= 2,则 PB= . 答案讲解 3. 如图,P 是正方形ABCD 内一点,且 PA=23,PB= 2,PC=4,则正 方形ABCD 的面积是 . (第3题) (第4题) 答案讲解 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=2,∠ABC=30°,O 为 Rt△ABC 内一点,连接OA,OB, OC,则OA+OB+OC的最小值为 . 答案讲解 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=30°, AB=AC,P 是△ABC 内一点,且 PA=2,PB= 21,PC=3,求 ∠APC 的度数. (第5题) 6. 在边长为8的等边三角形ABC 中,E 是平面 上一点,将线段EB 绕点E 按顺时针方向旋 转60°得到线段EF,连接AF. (1) 如图①,当BE=2时,求线段AF 的长. (2) 如图②,连接CE,求证:AF=CE. (第6题) 类型二 角含半角模型 7. 如图,正方形ABCD 的边长为6,点M 在CB 的延长线上,BM=2,作∠MAN=45°,交DC 的延长线于点N,则MN 的长为 . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 61 8. 在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC, CD 上,∠EAF=∠CEF=45°. (1) 将△ADF 绕点A 按顺时针方向旋转90° 得到△ABG(如图①),求证:BE+DF=EF. (2) 若直线EF 与AB,AD 的延长线分别交 于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2. (第8题) 类型三 对角互补模型 9. 如图,P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定 点,且∠MPN 与∠AOB 互补.∠MPN 在绕 点P 旋转的过程中,其两边分别与OA,OB 相交于M,N 两点.有下列结论:① PM= PN 恒 成 立;② OM -ON 的 值 不 变; ③ △OMN 的周长不变;④ 四边形PMON 的 面积不变.其中,正确的为 (填序号). (第9题) 10. 如图①,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°, BA=BC,MN 是过点A 的直线,CD⊥ MN 于点D,连接BD. (1) 张老师在课堂上提出问题:线段DC, AD,BD 之间有什么数量关系? 经过观察 和思考,小明有一种思路:如图①,过点B 作BE⊥BD,交 MN 于点E,进而可得 DC+AD= BD. (2) 将直线MN 绕点A 按顺时针方向旋转 到如图②所示的位置,写出此时线段DC, AD,BD 之间的数量关系,并证明. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十三章　旋　转 ∵ ∠BOA'=90°+α,四边形OBPA' 的内角和为360°, ∴ ∠BPA'=360°-2×12 (180°- α)-(90°+α)=90°,即AA'⊥BB'. 专题特训（八）　旋转中 常见的几何模型 1. 4 2. 19 3. 14+43 [解析] 如图,将△ABP 绕点B 按顺时针方向旋转90°,得到 △CBP',连接PP',过点A 作AH⊥ BP,交 BP 的 延 长 线 于 点 H,则 ∠PBP'=90°,∠APB= ∠BP'C, P'B=PB=2,P'C=PA=23.由勾 股定理,得PP'2=2+2=4.∵ P'C2= (23)2=12,PC2=42=16,∴ PC2= PP'2+P'C2.∴ ∠PP'C=90°.又 ∵ 易得∠BP'P=45°,∴ ∠BP'C= 135°.∴ ∠APB=∠BP'C=135°. ∴ ∠APH =45°.∴ ∠APH = ∠PAH=45°.∴ 易得AH=PH= 2 2PA=6.∴ AB2=AH2+BH2= 6+(6+2)2=14+43.∴ 正方形 ABCD 的面积=14+43. (第3题) 4. 27 [解析] 如图,将△AOB 绕 点B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 60°至 △A'O'B 处,连接OO',A'C.∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2, ∠ABC=30°,∴ AB=4.∴ BC= 23.由旋转,得A'B=AB=4,OB= O'B,O'A'=OA.∵ 将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°,∴ ∠A'BC= ∠ABC+60°=30°+60°=90°, ∠OBO'=60°.∴ △OBO'为等边三角 形.∴ OO'=OB.易得当C,O,A',O' 四点共线时,OA+OB+OC的值最小, 为A'C的长,∴ A'C= BC2+BA'2= (23)2+42=27.∴ OA+OB+ OC的最小值为27. (第4题) 5. 如图,将△ABP 绕点A 按逆时针 方向旋转120°得到△ACQ,连接PQ, 过点A 作AD⊥PQ,垂足为D. ∵ ∠ACB=30°,AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=30°. ∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB=120°. 由 旋 转,得 PB =CQ = 21, ∠BAC = ∠PAQ =120°,PA = AQ=2. ∴ ∠APQ=∠AQP= 12 (180°- ∠PAQ)=30°,PQ=2DQ. 在Rt△ADQ 中,AQ=2, ∴ AD=12AQ=1. ∴ DQ=3. ∴ PQ=2DQ=23. ∵ PQ2+PC2=(23)2+32=21, CQ2=(21)2=21, ∴ PQ2+PC2=CQ2. ∴ △PCQ 是 直 角 三 角 形,且 ∠QPC=90°. ∴ ∠APC = ∠APQ + ∠QPC = 30°+90°=120°. (第5题) 6. (1) 如图①,过点A 作AG⊥BC于 点G,延长FE 交AG 于点H. 在 等 边 三 角 形 ABC 中,∠B = ∠BAC=60°,AB=8, ∵ AB=AC, ∴ ∠BAG=30°. ∵ 将线段EB 绕点E 按顺时针方向 旋转60°得到线段EF, ∴ ∠BEF=60°,EF=EB=2. ∴ ∠BEF=∠B. ∴ EF∥BC. ∵ AG⊥BC, ∴ AG⊥FH. 在Rt△AEH 中,∵ AE=8-2=6, ∠EAH=30°, ∴ EH=12AE=3. ∴ AH = AE2-EH2 =3 3, FH=5. 在 Rt△AFH 中, AF = AH2+FH2 = (33)2+52 = 2 13. (2) 如图②,连接FB. ∵ 将线段EB 绕点E 按顺时针方向 旋转60°得到线段EF, ∴ ∠BEF=60°,EF=EB. ∴ △EBF 是等边三角形. ∴ FB=EB,∠FBE=60°=∠ABC. ∴ ∠FBE + ∠EBA = ∠ABC + ∠EBA,即∠FBA=∠EBC. 在△FBA 和△EBC中, FB=EB, ∠FBA=∠EBC, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBA≌△EBC. ∴ AF=CE. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 7. 10 8. (1) ∵ △ADF 绕点A 按顺时针方 向旋转90°得到△ABG, ∴ AG=AF,BG=DF,∠GAF= 90°,∠BAG = ∠DAF,∠ABG = ∠D=90°. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠ABG+∠ABC=180°. ∴ 点G,B,E 在同一直线上. ∵ ∠EAF=45°, ∴ ∠EAG=∠EAF=45°. 在△AEG 和△AEF 中, AG=AF, ∠EAG=∠EAF, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEG≌△AEF. ∴ EG=EF. ∵ EG=BE+BG=BE+DF, ∴ BE+DF=EF. (2) 如图,延 长 CB 到 点G,使 得 BG=DF,连接AG,GM. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=AD,∠ABC= ∠ADC=∠C=90°. ∵ ∠CEF=45°, ∴ ∠CFE=∠DFN=∠BEM=45°. ∴ 易得CE=CF,DF=DN,BM=BE. ∵ BC=CD, ∴ BE=DF. ∵ BG=DF, ∴ BG=DF=BE=BM=DN. ∴ 易得∠EMB=45°,∠BMG=45°. ∴ ∠EMG=90°. ∵ 易得MG=2BM,NF=2DF, ∴ MG=NF. ∴ EG2=MG2+ME2=NF2+ME2. 由(1),得BE+DF=EF. ∵ EG=BG+BE, ∴ EG=EF. ∴ EF2=ME2+NF2. (第8题) 9. ①④ [解析] 如图,过点P 作 PE⊥OA 于点E,PF⊥OB 于点F. ∵ ∠PEO = ∠PFO = 90°, ∴ ∠EPF + ∠AOB = 180°. ∵ ∠MPN + ∠AOB = 180°, ∴ ∠EPF=∠MPN.∴ ∠EPM= ∠FPN.∵ OP 平分∠AOB,PE⊥ OA,PF ⊥OB,∴ PE =PF.在 Rt△POE和Rt△POF中, OP=OP, PE=PF, ∴ Rt△POE≌Rt△POF.∴ OE= OF.在 △PEM 和 △PFN 中, ∠EPM=∠FPN, PE=PF, ∠PEM=∠PFN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PEM ≌ △PFN.∴ EM=FN,PM=PN.故 ① 正 确.∵ △PEM ≌ △PFN, ∴ S△PEM =S△PFN.∴ S四边形PMON = S四边形PEOF=定值.故④正确.∵ OM- ON=OE+EM -(OF-FN)= 2EM,EM 的长不是定值,∴ OM- ON 的 值 不 是 定 值.故 ② 错 误. ∵ OM+ON =OE+ME+OF- NF=2OE=定值,∴ △OMN 的周 长=2OE+MN.在 旋 转 过 程 中, △PMN 是等腰三角形,∵ PM 的长 是变化的,∴ MN 的长是变化的. ∴ △OMN 的周长是变化的.故③错 误.综上所述,正确的为①④. (第9题) 10. (1) 2. (2) AD-DC=2BD. 如图,过点B 作BE⊥BD,交MN 于 点E,记AD 与BC交于点O. ∵ ∠ABC=∠DBE=90°, ∴ ∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC. ∴ ∠ABE=∠CBD. ∵ 易得∠BAE+∠AOB=90°,∠BCD+ ∠COD=90°,∠AOB=∠COD, ∴ ∠BAE=∠BCD. 又∵ AB=CB, ∴ △AEB≌△CDB. ∴ AE=CD,BE=BD. ∴ 易得△BDE 为等腰直角三角形, DE=2BD. ∵ DE=AD-AE=AD-CD, ∴ AD-DC=2BD. (第10题) 23.2　中心对称 第1课时 中心对称 1. C 2. 2 10 3. ∵ △ABO 与△CDO 关于点O 成 中心对称, ∴ BO=DO,AO=CO. ∵ AF=CE, ∴ AO-AF=CO-CE. ∴ FO=EO. 在△FOD 和△EOB 中, FO=EO, ∠FOD=∠EOB, DO=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FOD≌△EOB. ∴ DF=BE. 4. D 5. 26 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03