24.3 正多边形和圆-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

90 24.3　正多边形和圆 ▶ “答案与解析”见P49 1. (2023·内江)如图,正六边形ABCDEF 内 接于☉O,点P 在AB ︵ 上,Q 是DE ︵ 的中点, 则∠CPQ 的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 36° D. 60° (第1题) (第2题) 2. (2022·绵阳)在2022年北京冬奥会开幕式 和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界 大同、天下一家”的主题,让全世界观众感受 到了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边 长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角 坐标系中,若AB 与x 轴垂直,顶点A 的坐 标为(2,-3),则顶点C 的坐标为 ( ) A. (2-23,3) B. (0,1+23) C. (2-3,3) D. (2-23,2+3) 3. 如图,A,B,C,D 为一个正多边形相邻的四 个顶点,点O 为这个正多边形外接圆的圆 心.若∠ADB=15°,则这个正多边形的边数 为 . (第3题) (第4题) 4. (2023·陕西)如图,正八边形的边长为2,对 角线AB,CD 相交于点E,则线段BE 的长 为 . 5. 如图,正八边形ABCDEFGH 内接于☉O,连 接AC,BD,相交于点P.若☉O 的半径为 1,求: (1) AC 的长. (2) ∠APD 的度数. (第5题) 6. 如图,∠1是正九边形两条对角线的夹角,则 ∠1的度数是 ( ) A. 45° B. 54° C. 60° D. 72° (第6题) (第7题) 7. (核心素养·新情景)我国魏晋时期数学家刘 徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆 术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法 来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之 又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所 失矣”.他用这种方法得到了圆周率π的近似 值为3.1416.如图,☉O 的半径为1,运用“割 圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O 的面积,可得π的估计值为332 . 若用圆内接 正十二边形作近似估计,可得π的估计值为 ( ) A. 3 B. 22 C. 3 D. 23 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 91 答案讲解 8. 如图,在正五边形ABCDE 中,F 是 边CD 的中点,AF,BC 的延长线交 于点N,P 是AN 上一个动点,M 是BN 上一个动点.当PB+PM 的值最小 时,∠BPN 的度数为 ( ) A. 72° B. 90° C. 108° D. 120° (第8题) (第9题) 9. 如图,在圆内接正六边形ABCDEF 中,BD, EC 交于点G.已知半径为 3,则EG 的长为 . 10. (2022·金华)如图①,正五边形ABCDE 内 接于☉O.现有如下作图过程:如图②,作直 径AF;以点F 为圆心,FO 长为半径作圆 弧,与☉O 交于点M,N;连接AM,MN, NA. (1) 求∠ABC 的度数. (2) 试判断△AMN 是否为正三角形,并说 明理由. (3) 从点A 开始,以DN 长为半径,在☉O 上依次截取点,再依次连接这些点,得到正 n边形,求n的值. (第10题) 答案讲解 11. (易错易混题)如图,六边形ABCDEF 是☉O 的内接正六边形,设正六边 形ABCDEF 的面积为S1,△ACE 的面积为S2,则 S1 S2= . (第11题) 答案讲解 12. 如图所示的正六边形ABCDEF 是 一个创意花坛,AB=20m.点G, H,M,N,P,Q 分别在该正六边形 的六条边上,且AG=BH=CM=DN= EP=FQ,现计划在六边形GHMNPQ 内 种植花卉,在剩余部分的六个全等三角形内 种植草皮. (1) 正六边形ABCDEF的面积是 m2. (2) 当AG 为多少时,草皮的种植面积最 大? 最大面积是多少? (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆 ∴ OM=AM=12AB= 1 2×6=3. ∴ OA= OM2+AM2=32. ∴ CM=OC+OM=32+3. ∴ △ABC 的 面 积 的 最 大 值 为 1 2AB ·CM=12×6× (32+3)= 92+9. (第7题) 24.3　正多边形和圆 1. B 2. A 3. 12 4. 2+2 5. (1) 如图,连接OA,OB,OB 与AC 相交于点Q. 由题意,可知QA=QC,OB⊥AC. ∵ 多边形ABCDEFGH 是正八边形, ∴ ∠AOB=360°8 =45°. 由勾股定理,易知QA=OQ= 22. ∴ AC=2QA=2. (2) ∵ AFD︵ 所 对 的 圆 心 角 为 5∠AOB=225°, ∴ AFD︵ 所对的圆周角为∠ABD= 1 2×225°=112.5°. ∵ ∠BAC=12×45°=22.5° , ∴ ∠APD = ∠ABD + ∠BAC = 135°. (第5题) 6. C [解析] 如图,作这个正九边形 的外接圆为☉O,连接OA,OB,OC, OD,BD,则 ∠AOB =360°9 =40° , ∠COD = 2 ∠AOB = 80°. ∴ ∠ADB = 12 ∠AOB = 20° , ∠CBD=12∠COD=40°.∴ ∠1= ∠ADB+∠CBD=20°+40°=60°. (第6题) 7. C [解析] 如图,AB 是正十二边 形的一条边,点O 是正十二边形的中 心,过点A 作AM⊥OB 于点M.在正 十二边形中,∠AOB=360°÷12= 30°.∴ AM=12OA= 1 2.∴ S△AOB= 1 2OB ·AM = 12 ×1× 1 2 = 1 4. ∴ 正十二边形的面积为12×14=3. ∴ 3=12×π,解得π=3.∴ π的估计 值为3. (第7题) 8. C [解析] ∵ 在正五边形ABCDE 中,F 是边CD 的中点,∴ 直线AN 是正五边形ABCDE 的对称轴.∴ 点 B 与点E 关于直线AN 对称.如图, 过点E 作EM⊥BC 于点M,交AN 于点P,此时PE+PM 的值最小,即 PB+PM 的值最小.∴ 直线EM 是 正五边形ABCDE 的对称轴.∴ 点P 为 正 五 边 形 ABCDE 的 中 心. ∴ PA=PB=PE.∵ 正 五 边 形 ABCDE 的 内 角 ∠BAE = (5-2)×180° 5 =108° ,∴ 由对称性,可 知∠BAN=∠EAN= 12∠BAE= 54°.∵ 在 △ABP 中,PA =PB, ∴ ∠BAP=∠ABP=54°.∴ ∠BPN= 2∠ABP=108°. (第8题) 9. 2 [解析] 如图,连接BE,GO. ∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形, ∴ BE 经过点O,且O 是BE 的中点, ∠EDC = (6-2)×180° 6 = 120° , ∠EOG = 90°.∵ DE = DC, ∴ ∠DEC =30°.∵ BC = CD, ∴ CD︵=BC︵.∴ ∠GEO=∠DEC= 30°.∴ OG=12EG. 由勾股定理,得 OG2+OE2=EG2,即 12EG 2 + (3)2=EG2,解 得 EG=2(负 值 舍去). (第9题) 10. (1) ∵ 五边形ABCDE 是正五 边形, ∴ ∠ABC= (5-2)×180° 5 =108°. (2) △AMN 是正三角形. 理由:如图,连接ON,NF. 由题意,得FN=OF=ON. ∴ △FON 是正三角形. ∴ ∠NFA=60°. ∴ ∠NMA=60°. 同理,可得∠ANM=60°. ∴ ∠MAN=60°. ∴ △AMN 是正三角形. (3) 如图,连接OD. ∵ ∠AMN=60°, ∴ ∠AON=120°. ∵ 易得∠AOD=360°5 ×2=144° , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 ∴ ∠NOD = ∠AOD - ∠AON = 144°-120°=24°. ∵ 正n边形的边数为360°÷24°=15, ∴ n的值是15. (第10题) 11. 2 [解析] 如图,连接OC,OD, OE,OD 交CE 于点 M,过点 O 作 ON⊥CD 于点N.设☉O 的半径为r, 则OC=OD=OE=r.∵ 六边形 ABCDEF 是☉O 的内接正六边形, ∴ ∠COD=360°6 =60°.∵ OC=OD, ∴ △COD 是 正 三 角 形.∴ CD= OC=OD=r.∵ ON⊥CD,∴ CN= DN = 12CD = 1 2r.∴ ON = OC2-CN2 = 32 r.∴ S1 = 6S△COD=6× 1 2×r× 3 2r= 33 2r 2. ∵ ∠COM=60°,∴ OM=12OC= 1 2r.∴ CM= 32r.∴ CE=2CM= 3r.由题意,可知△ACE 是☉O 的内 接正三角形.∴ S2=3S△OCE=3× 1 2×3r× 1 2r= 33 4r 2.∴ S1 S2=2. (第11题) 12. (1) 6003. (2) 如图,过点G 作GS⊥AF,交FA 的延长线于点S. ∵ ∠GAS=360°6 =60° , ∴ ∠AGS=30°. 设AG=xm,则AS=12xm. ∴ SG= AG2-AS2= 32xm. ∵ AG=FQ,AB=AF, ∴ AQ=BG=(20-x)m. 设草皮的种植面积为Sm2. ∴ S=6S△AGQ=6× 1 2× (20-x)× 3 2x = - 33 2 x 2 + 303x = -332 (x-10)2+1503. ∵ -332 <0 , ∴ 当x=10时,S 的值最大,最大值 为1503. ∴ 当AG=10m时,草皮的种植面积 最大,最大面积是1503m2. (第12题) 24.4　弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 1. C 2. D 3. D 4. 5 6π 5. (1) 如 图,设 圆 心 为 点 O,连 接OC. ∵ ∠ACB=90°, ∴ AB 是☉O 的 直 径,即 点 O 在 AB 上. ∵ AC︵ 所对圆心角的度数为120°, ∴ ∠AOC=120°. ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC=∠OCA=30°. ∵ ∠CAD=60°, ∴ ∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°. ∴ OA⊥AD. ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AD 是△ABC的外接圆的切线. (2) 如图,连接OE. ∵ ∠OCA=30°,∠ACD=35°, ∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠ACD = 30°+35°=65°. ∵ OC=OE, ∴ ∠OEC=∠OCD=65°. ∴ ∠COE = 180° - ∠OCE - ∠OEC=180°-65°-65°=50°. ∴ CE︵ 的长=50×π×3180 = 5π 6. (第5题) 6. A [解析] 如图,圆心O 运动路径 的长度=OE+EO'︵的长=14×2π× 5+14×2π×5=5π. (第6题) 7. B [解析] 如图,连接OC 交AB 于点D.由题意,得AC=AO,BC= BO.∵ AO=BO,∴ 四边形AOBC 是菱形.∵ OC=OA,∴ △AOC 是等 边三角形.∴ ∠CAO=∠AOC=60°. ∴ ∠AOB=120°.由折叠,可知OC⊥ AB,∴ ∠DAO=30°.∵ OA =3, ∴ 易得AD= 32AO= 33 2 .∴ AB= 2AD=33.∴ 图中阴影部分的面 积=S扇形OAB-S菱形AOBC= 120×π×32 360 - 1 2×3×33=3π- 93 2 . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05