24.2.4 切线长定理及三角形的内切圆-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

84 第4课时 切线长定理及三角形的内切圆 ▶ “答案与解析”见P43 1. 如图,☉O 是△ABC 的内切圆,D,E 分别为 边AB,AC 上的点,且DE 为☉O 的切线.若 △ABC的周长是25,BC 的长是9,则△ADE 的周长是 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 16 (第1题) (第2题) (第3题) 2. 如图,点O 是△ABC 的内心,∠BAC=70°, P 为平面内一点,点O 恰好又是△BCP 的 外心,则∠BPC 的度数为 ( ) A. 50° B. 55° C. 62.5°D. 65° 3. 如图,在扇形ABC 中,CD⊥AB,垂足为D, ☉E 是△ACD 的内切圆,连接AE,BE,则 ∠AEB= . 4. 如图,边长为1的正方形ABCD 的边AB 是 ☉O 的直径,CF 是☉O 的切线,E 为切点, 点F 在AD 上,BE 是☉O 的弦,求△CDF 的面积. (第4题) 5. 如图,PA,PB,CD 分别切☉O 于点A,B, E,CD 分别交PA,PB 于点C,D.若∠P= 40°,则∠PAE+∠PBE 的度数为 ( ) (第5题) A. 50° B. 62° C. 66° D. 70° 6. 如图,☉O 的直径AB=8,AM,BN 是它的 两条切线,DE 与☉O 相切于点E,并分别与 AM,BN 相交于D,C 两点,BD,OC 相交于 点F.若CD=10,则BF 的长是 ( ) (第6题) A. 817 9 B. 1017 9 C. 815 9 D. 1015 9 7. (2022·宜宾)我国古代数学家赵爽的“弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 拼成的一个大正方形(如图).若直角三角形 的内切圆的半径为3,小正方形的面积为49, 则大正方形的面积为 . (第7题) (第8题) 8. ★如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5, BC=12,AM=1,点I为△ABC 的内心,则 IM= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 85 答案讲解 9. 如图,矩形ABCO 的顶点A,C 分别 在x轴、y 轴上,点B 的坐标为(4, 3),☉M 是△AOC 的内切圆,N,P 分别是☉M、x 轴上的动点,则BP+PN 的 最小值是 . (第9题) 10. 如图,点I是△ABC 的内心,AI的延长线 和△ABC 的外接圆☉O 相交于点D,OI⊥ AD,IM⊥AB,连接BD.求证: (1) DB=DI. (2) BC=2AM. (第10题) 答案讲解 11. (新题型)【问题引入】 古希腊几何学家海伦和我国南宋 数学家秦九韶都曾提出利用三角 形的三边求面积的公式,这个公式被称为 “海伦-秦九韶公式”,如果一个三角形的三 边长分别是a,b,c,记p= a+b+c 2 ,那么三 角形的面积S= p(p-a)(p-b)(p-c). 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边长分 别为a,b,c,若a=3,b=4,c=5,则△ABC 的面积为6. 【问题探索】 如图,在△ABC 中,设 BC=a,AC=b, AB=c,p= a+b+c 2 ,☉M 是△ABC 的内 切圆,☉N 分别与AC 的延长线、AB 的延 长线以及线段BC 均只有一个公共点,☉M 的半径为m,☉N 的半径为n. (1) 分析与证明:连接 MA,MB,MC,则 △ABC 被划分为三个小三角形,用S 表示 △ABC 的面积,即S=S△MBC+S△MCA+ S△MAB,那么S=pm 是否成立? 请证明你 的结论. (2) 理解与应用:当∠CAB=60°,m=2, n=6时,求△ABC 的面积. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆 (2)2-12 =1.∴ A'B =OB. ∴ ∠BOA'=∠BA'O=45°.∴ α= ∠AOA'=90°-45°=45°.如图②,点 A'在第二象限,设☉A'与y轴相切于 点C,连 接 OA',CA'.同 理,可 证 OC=1.∴ A'C=OC.∴ ∠COA'= ∠CA'O=45°.∴ α=∠AOA'=90°+ 45°=135°.综 上 所 述,α 等 于 45° 或135°. (第10题) 11. (1) 如图,连接OC,OD. ∵ OC=OD, ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ FC=FE, ∴ ∠FCE=∠FEC. ∵ ∠OED=∠FEC, ∴ ∠OED=∠FCE. ∵ AB 是☉O 的直径,D 是AB︵ 的 中点, ∴ ∠DOE=90°. ∴ ∠OED+∠ODC=90°. ∴ ∠FCE + ∠OCD = 90°,即 ∠OCF=90°. ∴ OC⊥CF. ∵ OC为☉O 的半径, ∴ CF 为☉O 的切线. (2) 如图,连接AD,过点G 作GH⊥ AB 于点H. 设☉O 的半径为r. ∵ BF=2, ∴ OF=r+2. 在Rt△OCF 中,∵ CF=4, ∴ 42+r2=(r+2)2,解得r=3. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. ∵ AB=2×3=6, ∴ 易得AD=BD=32. ∵ G 为BD 的中点, ∴ BG=12BD= 32 2 . 又∵ FE=FC=4,BF=2, ∴ BE=FE-BF=4-2=2. 又∵ AB 是直径,D 是AB︵ 的中点, ∴ 易得∠AOD=90°. ∴ ∠ABD=12∠AOD=45°. ∵ GH⊥AB, ∴ 易得△BGH 是等腰直角三角形. ∴ 易得BH=GH= 22BG= 3 2. ∴ EH=BE-BH=2-32= 1 2. 在Rt△EGH 中,EG= EH2+GH2= 1 2 2 + 32 2 = 102 . (第11题) 第4课时 切线长定理 及三角形的内切圆 1. A 2. C 3. 135° 4. 设AF=x,则DF=1-x. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠DAB=∠CBA=90°. ∴ DA⊥AB,CB⊥AB. ∴ AD 是☉O 的切线,CB 是☉O 的 切线. ∵ CF 是☉O 的切线,E 为切点, ∴ EF=AF=x,CB=CE=1. ∴ CF=CE+EF=1+x. ∴ 在Rt△CDF 中,由勾股定理,得 CF2=CD2+DF2,即(1+x)2=1+ (1-x)2,解得x=14. ∴ DF=1-x=34. ∴ S△CDF= 1 2×1× 3 4= 3 8. 5. D [解析] ∵ PA,PB,CD 分别 切☉O 于点A,B,E,CD 交PA,PB 于点C,D,∴ CE=CA,DE=DB. ∴ ∠CAE = ∠CEA,∠DEB = ∠DBE. ∴ ∠PCD = ∠CAE + ∠CEA = 2∠CAE, ∠PDC = ∠DEB + ∠DBE = 2 ∠DBE. ∴ ∠CAE= 12 ∠PCD ,∠DBE = 1 2∠PDC ,即∠PAE= 12 ∠PCD , ∠PBE=12∠PDC.∵ ∠P=40°, ∴ ∠PAE+∠PBE=12∠PCD+ 1 2∠PDC= 1 2 (∠PCD+∠PDC)= 1 2 (180°-∠P)=70°. 6. A [解析] 如图,以O 为原点构建 平面直角坐标系,过点D 作DH⊥BC 于 点 H.∵ AB 是直径,AB=8, ∴ OA=OB=4.∵ AD,BC,CD 是 ☉O 的切线,∴ ∠DAB=∠ABH= 90°=∠DHB,DA=DE,CE=CB. ∴ 四边形ABHD 是矩形.∴ AD= BH,AB = DH =8.∴ CH = CD2-DH2 = 102-82 =6.设 AD=DE=BH=x,则CE=CB= x+6.∴ x+x+6=10.∴ x=2. ∴ 易得D(2,4),C(8,-4),B(0,-4). ∴ 易得直线OC 对应的函数解析式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 为y=- 1 2x ,直线BD 对应的函数解 析式为y=4x-4.联立 y=- 1 2x , y=4x-4, 解 得 x=89 , y=- 4 9. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ F 89 ,-49 . ∴ BF= 89 2 + -49+4 2 = 8 17 9 . (第6题) 7. 289 [解析] 如图,设内切圆的圆 心为点O,☉O 与AC,BC 分别相切 于点E,D,连接OE,OD,易得四边形 EODC为正方形.∴ 易得OE=OD= 3=AC+BC-AB2 .∴ AC+BC- AB=6.∴ AC+BC=AB+6. ∴ (AC+BC)2=(AB+6)2.∴ AC2+ BC2+2BC·AC=AB2+12AB+ 36.∵ BC2+AC2=AB2,∴ 2BC· AC=12AB+36①.∵ 小正方形的面 积为49,∴ 易得(BC-AC)2=49. ∴ BC2+AC2-2BC·AC=49,即 AB2-2BC·AC=49②.把①代入 ②,易 得 AB2 -12AB -85=0. ∴ AB=17.∴ 大正方形的面积为 17×17=289. (第7题) 8. 2 2 [解析] 如图,过点I 作 ID⊥AB 于点D,IE⊥BC 于点E, IF⊥AC 于点F,连接IA,IB,IC. ∵ ∠ACB=90°,AC=5,BC=12, ∴ AB= AC2+BC2= 52+122= 13.∵ ∠IEC=∠IFC=∠ACB= 90°,∴ 四边形IECF 是矩形.∵ 点I 为△ABC 的内心,∴ ID=IE=IF. ∴ 四边形IECF 是正方形.设CF= IF=ID=IE=r.∵ S△AIB+S△BIC+ S△AIC=S△ABC,∴ 1 2×13r+ 1 2× 12r+12×5r= 1 2×12×5 ,解得r= 2.∴ CF=IF=2.∵ ∠AFI=90°, MF=AC-CF-AM=5-2-1=2, ∴ IM= IF2+MF2= 22+22= 22. (第8题) 有关三角形内切圆的 两个重要结论 (1) 若三角形的三边长分别为 a,b,c,内切圆的半径为r,则三角 形的面积S=12 (a+b+c)r. (2) 若直角三角形的两直角边 长分别为a,b,斜边长为c,则此直 角 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 r= a+b-c 2 或r= aba+b+c. 9. 4 [解析] 如图,作点B 关于x轴 的对称点B',连接MB',交☉M 于点 N,交x 轴于点P,过点 M 作MQ⊥ x轴,交x轴于点E,过点B'作B'Q⊥ MQ 于点Q.∵ 点B 与点B'关于x轴 对称,∴ PB+PN=PB'+PN.当点 N,P,B'在同一条直线上,且该直线 经过点M 时,BP+PN 取最小值.在 Rt△AOC 中,由B(4,3),易得OA= 4,OC=3,∴ AC= OA2+OC2= 5.由☉M 是△AOC 的内切 圆,设 ☉M 的半径为r.∴ S△AOC= 1 2 (3r+ 4r+5r)=12×3×4 ,解得r=1. ∴ ME=MN=1.∴ 易得OE=1.易 得B'(4,-3),Q(1,-3).∴ QB'= 4-1=3,QM=3+1=4.∴ 易得 MB'=5.∴ PB'+PN =B'N = MB'-MN=5-1=4,即PB+PN 的最小值是4. (第9题) 10. (1) 如图,连接BI. ∵ 点I是△ABC的内心, ∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ABI = ∠CBI. ∴ ∠BAD + ∠ABI= ∠CAD + ∠CBI. ∵ ∠CAD=∠CBD, ∴ ∠BAD + ∠ABI = ∠CBD + ∠CBI. ∵ ∠BID = ∠BAD + ∠ABI, ∠IBD=∠CBD+∠CBI, ∴ ∠BID=∠IBD. ∴ DB=DI. (2) 如图,连接OD,交BC于点E. ∵ ∠BAD=∠CAD, ∴ BD︵=CD︵. ∴ OD⊥BC,BE=CE. ∵ OI⊥AD,IM⊥AB, ∴ ∠BED=∠AMI=90°,IA=DI. ∵ DB=DI, ∴ DB=IA. ∵ ∠DBE = ∠DAC,∠IAM = ∠DAC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 ∴ ∠DBE=∠IAM. 在△DBE 和△IAM 中, ∠BED=∠AMI, ∠DBE=∠IAM, DB=IA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DBE≌△IAM. ∴ BE=AM. ∴ 2BE=2AM. ∵ BC=2BE, ∴ BC=2AM. (第10题) 11. (1) 成立. 由题 意,得 S=S△MBC +S△MCA + S△MAB= am 2+ bm 2+ cm 2= a+b+c 2 ×m. ∵ p= a+b+c 2 , ∴ S=pm. (2) 如图,过点 N 分别作AB,CB, AC的垂线,垂足分别为D,E,F,连 接ME. ∵ ☉N 分别与AC 的延长线、AB 的 延长线以及线段BC 均只有一个公 共点, ∴ AD,AF,BC 与☉N 分别相切于 点D,F,E. ∴ AD=AF,CF=CE,BE=BD. ∴ AD=AF= 12 (AD +AF)= 1 2 (AB + BD + AC + CF)= 1 2 (AB + BE + AC + CE)= 1 2 (AB+BC+CA)=p. ∵ ND⊥AB,NF⊥AC,ND=NF, 且易证点A,M,E,N 在同一条直 线上, ∴ AN 平分∠CAB. ∴ ∠NAD=12∠CAB=30°. 在Rt△ADN 中,∵ DN=n=6, ∴ 易得AD=3ND=63=p. ∴ S△ABC=pm=63×2=123. (第11题) 专题特训（九）　圆中的 分类讨论思想 1. 6.5或2.5 2. C 3. 15°或75° [解析] 如图①,连接 OA,OB,过点O 作OM⊥AB 于点 M,ON⊥AC 于点N.由垂径定理,可 得AM=12AB ,AN=12AC.∵ 弦 AB,AC的长分别是2,3,∴ AM= 2 2 ,AN= 32.∵ ☉O 的半径为1, ∴ OA=1.∴ 由勾股定理,得OM= OA2-AM2 = 22 , ON = OA2-AN2 = 12. ∴ 易 得 ∠OAM = 45°,∠OAN = 30°. ∴ ∠BAC=∠OAM-∠OAN=15°. 如图②,同理可得∠BAC=∠OAM+ ∠OAN=75°.综上所述,∠BAC的度 数为15°或75°. (第3题) 4. D 5. D 6. D 7. D [解析] 过点B 作☉O 的直径, 连接AC 交BO 于点E.∵ B 为AC︵ 的中点,∴ BO⊥AC.如图①,∵ 点D 恰好 在 该 圆 直 径 的 三 等 分 点 上, ∴ BD= 13 ×2×3=2.∴ OD= OB-BD=1.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ DE=12BD=1.∴ OE=2.连 接OC.∵ CE= OC2-OE2= 5, ∴ CD= DE2+CE2=6.如图②, BD=23×2×3=4.∴ OD=BD- OB=1.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ DE=12BD=2.∴ OE=1.连接 OC.∵ CE= OC2-OE2 =2 2, ∴ CD= CE2+DE2=23.综上所 述,该菱形的边长为6或23. (第7题) 8. 1或3 [解析] 如图,设弦AB 的 中点为C,连接OC 并延长,交☉O 于 点D,延长DO 交☉O 于点E,连接 OA.易知OA=OD=OE=2.∵ C 是 弦AB 的中点,AB=23,∴ OC⊥ AB,AC=12AB= 3.∴ AD︵=BD︵, AE︵=BE︵.在Rt△AOC 中,由勾股定 理,得 OC = OA2-AC2 = 22-(3)2 =1.∴ CD =OD - 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54