24.2.2 直线和圆的位置关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

∴ S△ABC= 1 2BC ·AE=2- 3.综 上所述,△ABC 的面积为2+ 3或 2-3. (第7题) 8. 4<r≤ 26 9. ①③ [解析] ∵ △ABC 是等边 三角形,∴ ∠BAC=∠ACB=60°. ∵ AB︵=AB︵,BC︵=BC︵,∴ ∠ADB= ∠ACB=60°,∠BDC=∠BAC=60°. ∴ ∠ADB=∠BDC.故①正确.∵ D 是AC︵ 上一个动点,∴ AD︵ 与CD︵ 不 一定相等.∴ DA 与DC不一定相等. 故②错误.当DB 最长时,DB 为☉O 的直径,∴ ∠BCD=90°.∵ ∠BDC= 60°,∴ ∠DBC=30°.∴ DB=2DC. 故③正确.综上所述,一定正确的是 ①③. 10. (1) 点B,C,D,E 在以点M 为圆 心的同一个圆上. 理由:如图①,连接EM,DM. ∵ BD⊥AC,CE⊥AB, ∴ ∠BDC=∠BEC=90°. ∵ M 是BC的中点, ∴ EM=BM=12BC ,DM=CM= 1 2BC. ∴ EM=BM=DM=CM. ∴ 点B,C,D,E 在以点M 为圆心的 同一个圆上. (2) 如图②,连接AF 并延长,交BC 于点G,连接BO 并延长,交☉O 于点 H,连接AH,CH. ∵ BD,CE 是△ABC 的高,BD,CE 相交于点F, ∴ AG⊥BC. ∵ BH 是☉O 的直径, ∴ ∠BAH=∠BCH=90°. ∴ BA⊥AH,BC⊥CH. ∴ AG∥CH. ∵ CE⊥AB, ∴ AH∥CE. ∴ 四边形AFCH 是平行四边形. ∴ CF=AH=6. ∵ 在Rt△BAH 中,AB=8, ∴ BH = BA2+AH2 = 82+62=10. ∴ △ABC外接圆的半径为5. (第10题) 11. (1) ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°, AC=AB=23. ∴ ∠APC=∠ABC=60°. ∵ ∠PAC=90°, ∴ ∠PCA=30°. ∴ PC=2PA. ∵ PC2=PA2+AC2, ∴ PA=2,PC=4. ∵ ∠PAC =90°,∠ACB =60°, ∴ ∠D=30°,∠PCB = ∠ACB - ∠PCA=30°. ∴ ∠D=∠PCB. ∴ PC=PD. ∴ PD=4. (2) PC=PB+PA. 在PC上截取一点E,使得PB=PE, 连接BE. ∵ ∠BPC=∠BAC=60°,PB=PE, ∴ △PBE 是等边三角形. ∴ BP=BE,∠PBE=∠ABC=60°. ∴ ∠ABP=∠CBE. ∵ BA=BC, ∴ △ABP≌△CBE. ∴ PA=EC. ∴ PC=PE+EC=PB+PA. 第2课时 直线和圆的位置关系 1. D 2. D 3. 相切 相交 4. (1) 4 (2) 90° 5. (1) ∵ P(x,y)是直线y=2x 上 的一点, ∴ y=2x. ∵ ☉P 与直线y=3相切,☉P 的半 径为1, ∴ 点P 的纵坐标为2或4. ∴ 点P 的横坐标为1或2. ∴ 当x=1或2时,☉P 与直线y=3 相切,点P 的坐标为(1,2)或(2,4). (2) 当☉P 与直线y=3相交时,1< x<2;当☉P 与直线y=3相离时, x>2或x<1. 6. D [解析] 如图,连接PA,过点P 作PC⊥AB 于点C.由垂径定理,得 AC= 12AB = 1 2 ×2 3= 3. ∵ P(3,-1),∴ PC=1.在Rt△PAC 中,由勾股定理,得 PA2=PC2+ AC2=12+(3)2=4.∴ PA=2. ∴ ☉P 的半径是2.将☉P 向上平移, 当☉P 与x 轴相切时,平移的距离为 1+2=3(个)单位长度;将☉P 向下平 移,当☉P 与x 轴相切时,平移的距 离为2-1=1(个)单位长度.综上所 述,若要使☉P 与x 轴相切,则应将 ☉P 沿着与y轴平行的方向向下平移 1个单位长度或向上平移3个单位 长度. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04 7. 2或5 8. 4.8<r≤6 9. 3 (2+ 2,1)或(2- 2,1)或 (2,-1) [解析] 根据题意,易得当 ☉P 与x 轴相切时,点P 的纵坐标 |y|=1,即y=±1.当y=1时,x2- 4x+3=1,解得x1=2+ 2,x2=2- 2.∴ 点P 的坐标为(2+ 2,1)或 (2-2,1).当y=-1时,x2-4x+ 3=-1,解得x1=x2=2.∴ 点P 的 坐标为(2,-1).综上所述,点P 的坐 标为(2+ 2,1)或(2- 2,1)或(2, -1),即满足条件的圆共有3个. 10. (1) ∵ BQ=AP=2tcm, ∴ CQ=PC=(6-2t)cm. 由题意,易得 3 4 (6-2t)2= 3,解得 t=2或t=4(不合题意,舍去). ∴ 当t为2时,△PQC 的面积等于 3cm2. (2) 过点Q 作QH⊥AB 于点H,则 ∠BHQ=90°. ∵ ∠B=∠C=60°,CQ=PC, ∴ ∠BQH=30°,△CPQ 是等边三 角形. ∴ BH =tcm,则 HQ= 3tcm, PQ=CQ=(6-2t)cm. 当PQ=HQ 时,6-2t= 3t,解得 t=12-63. 又∵ 由题图,易得当0≤t<1.5时, ☉Q 与线段AB 有唯一公共点, ∴ 当☉Q 与线段AB 有唯一公共点 时,t的取值范围是0≤t<1.5或t= 12-63. 11. (1) A,B. (2) 设函数y=2x+3的图象上的“垂 距点”的坐标为(a,2a+3). 依题意,得|a|+|2a+3|=4. ① 当a≥0时,a+(2a+3)=4,解得 a= 13 ,此 时 “垂 距 点”的 坐 标 为 1 3 ,11 3 . ② 当-32<a<0 时,-a+(2a+ 3)=4,解得a=1(不合题意,舍去). ③ 当a≤-32 时,-a-(2a+3)=4, 解得a=-73 ,此时“垂距点”的坐标 为 -73 ,-53 . 综上所述,函数y=2x+3的图象上 的“垂距点”的坐标为 1 3 ,11 3 或 -73 ,-53 . (3) 设“垂距点”的坐标为(x,y),则 |x|+|y|=4(xy≠0). 当x>0,y>0时,x+y=4,即y= -x+4(0<x<4);当x<0,y>0时, -x+y=4,即y=x+4(-4<x< 0);当x<0,y<0时,-x-y=4,即 y=-x-4(-4<x<0);当x>0, y<0时,x-y=4,即y=x-4(0< x<4),画出该函数图象,如图所示. 当☉T 与 DE 相 切 时,过 点 T 作 TN⊥DE 于点N,易证△DNT 为等 腰直角三角形, ∴ 易得 TN= 22TD= 2 2×|4- 1|=322 . 当☉T 过点F(-4,0)时,☉T 上不存 在“垂距点”,此时r=FT=|1- (-4)|=5. ∴ 若☉T 上存在“垂距点”,则r的取 值范围是32 2 ≤r<5. (第11题) 第3课时 切线的判定和性质 1. C 2. B 3. 3 4. (1) ∵ BF 与☉O 相切于点B, ∴ ∠ABF=90°. ∴ ∠A+∠F=90°. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠DEB=90°. ∴ ∠D+∠ABD=90°. ∵ ∠A=∠D, ∴ ∠ABD=∠F. (2) 如图,连接OC,BC. ∵ AB⊥CD,E 是OB 的中点, ∴ OB=2OE=2,CD 是OB 的垂直 平分线. ∴ OC=BC. ∵ OC=OB, ∴ OC=BC=OB. ∴ △OBC是等边三角形. ∴ ∠COB=60°. ∴ ∠A=12∠COB=30°. ∵ 在Rt△ABF 中,AB=2OB=4, ∴ 易得BF=433 . (第4题) 5. A [解析] 如图,设☉P 与x 轴、 y轴相切于点F,E,连接PE,PF, PD,延长 EP 与CD 交于点G,则 PE⊥y轴,PF⊥x 轴.∵ ∠EOF= ∠PEO=∠PFO=90°,∴ 四边形 PEOF 为矩形.∵ PE=PF,∴ 四边 形PEOF 为正方形.∴ OE=PF= PE=OF=5,PE∥OF.∵ 点A 的坐 标是(0,8),∴ OA=8.∴ AE=8- 5=3.∵ 四 边 形 AOBC 为 矩 形, ∴ BC=OA=8,BC∥OA,AC∥OB. ∴ EG∥AC.∴ 四边形AEGC为平行 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 80 第2课时 直线和圆的位置关系 ▶ “答案与解析”见P40 1. 已知平面内有☉O 和点A,B,若☉O 的半径 为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线 AB 和☉O 的位置关系为 ( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 2. 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(-2, 3),以2为半径画☉M,则下列结论中,正确 的是 ( ) A. ☉M 与x轴相交,与y轴相切 B. ☉M 与x轴相切,与y轴相离 C. ☉M 与x轴相离,与y轴相交 D. ☉M 与x轴相离,与y轴相切 3. 在平面直角坐标系中,☉A 的圆心坐标为(3, 5),半径是方程x2-2x-15=0的一个根, 那么☉A 与x 轴的位置关系是 , ☉A 与y轴的位置关系是 . 4. 如图①,正方形ABCD 的边长为8,以边AB 为直径作☉O,以A 为顶点作∠DAM=30°, 交CD 于点M.现将Rt△ADM 绕点A 按逆 时针方向旋转(如图②),设旋转角为α(0°< α<150°),旋转过程中AD 与☉O 交于点F. (1) 当α=30°时,线段AF 的长为 . (2) 当α= 时,DM 与☉O 相切. (第4题) 5. 如图,P 是直线y=2x 上的一点,以点P 为 圆心,1个单位长度为半径作☉P,设点P 的 坐标为(x,y). (1) 当x为何值时,☉P 与直线y=3相切? 求出此时点P 的坐标. (2) 当☉P 与直线y=3相交、相离时,直接 写出x的取值范围. (第5题) 6. (易错易混题)如图,在平面直角坐标系中, ☉P 与x轴分别交于A,B 两点,点P 的坐 标为(3,-1),AB=23.若要使☉P 与x轴 相切,则应将☉P 沿着与y轴平行的方向 ( ) (第6题) A. 向下平移1个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向下平移1个单位长度或向上平移3个 单位长度 7. 以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,与坐标 轴恰好有三个交点,则r= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 81 答案讲解 8. 在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC= 8,以点C 为圆心,r为半径画☉C, 使☉C 与线段AB 有且只有两个公 共点,则r的取值范围是 . 9. 如图,P 是抛物线y=x2-4x+3上的一个 动点,以点P 为圆心,1个单位长度为半径作 ☉P,且☉P 与x轴相切,满足条件的圆共有 个,此时点P的坐标为 . (第9题) 10. 如图,在边长为6cm的等边三角形ABC 中,点P,Q 分别从点A,B 出发,同时向点 C以2cm/s的速度移动,到达点C 时停止, 设移动的时间为ts. (1) 当t 为何值时,△PQC 的面积等于 3cm2? (2) 以点Q 为圆心,PQ 长为半径画圆,当 ☉Q 与线段AB 有唯一公共点时,求t的取 值范围. (第10题) 答案讲解 11. (新定义型)P 是平面直角坐标系 中的一点且不在坐标轴上,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段.若垂 线段的长度的和为4,则P 叫做“垂距点”. 如图中的P(1,3)是“垂距点”. (1) 在点A(2,2),B 32 ,-52 ,C(-1,5) 中,是“垂距点”的为 (填字母). (2) 求函数y=2x+3的图象上的“垂距点” 的坐标. (3) ☉T 的圆心T 的坐标为(1,0),半径为 r.若☉T 上存在“垂距点”,求r的取值范围. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆