24.2.1 点和圆的位置关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

∵ BE=22,BE2=BD2+ED2= 2BD2, ∴ BD=2. ∵ AB=25, ∴ OB=OD=5. 设OF=t,则DF=5-t. 在Rt△BOF 和Rt△BDF 中,OB2- OF2=BD2-DF2=BF2,即(5)2- t2=22-(5-t)2,解得t=355 . ∴ OF=355 . ∴ BF= (5)2- 35 5 2 =455. ∴ BC=2BF=855. (第10题) 11. B [解析] 如图,连接BD,OA, OD.∵ AB =BC,∴ AB︵ =BC︵. ∴ ∠BDA = ∠BDC.∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于 半 径 为 5 的 ☉O, ∴ ∠BAD+∠C=180°.∵ BC= BE,∴ ∠BEC=∠C.∵ ∠BEC+ ∠BED=180°,∴ ∠BAD=∠BED. 在 △BAD 和 △BED 中, ∠BDA=∠BDE, ∠BAD=∠BED, BA=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD ≌ △BED.∴ ∠ABD = ∠EBD. ∵ AB ⊥BE,∴ ∠ABD =45°. ∴ ∠AOD=90°.在 Rt△AOD 中, OA=OD=5,∴ AD=52. (第11题) 12. (1) ∵ ∠BAC = ∠ADB, ∠BAC=∠CDB, ∴ ∠ADB=∠CDB. ∴ DB 平分∠ADC. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∴ ∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB=180°. ∴ 2(∠ABD+∠ADB)=180°. ∴ ∠ABD+∠ADB=90°. ∴ ∠BAD=180°-90°=90°. (2) 由(1),可知∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAE=90°. ∵ ∠BAE=∠ADE, ∴ ∠ADE+∠DAE=90°. ∴ ∠AED=90°. ∵ ∠BAD=90°, ∴ BD 是圆的直径. ∴ BD 垂直平分AC. ∴ AD=CD. ∵ AC=AD, ∴ AC=AD=CD,即△ACD 是等边 三角形. ∴ ∠ADC=60°. ∴ ∠BDC=12∠ADC=30°. ∵ CF∥AD, ∴ ∠F+∠BAD=180°. ∴ ∠F=90°. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC=180°. ∵ ∠FBC+∠ABC=180°, ∴ ∠FBC=∠ADC=60°. ∴ ∠BCF=30°. ∴ BC=2BF=4. ∵ BD 是圆的直径, ∴ ∠BCD=90°. ∵ ∠BDC=30°, ∴ BD=2BC=8. ∵ BD 是圆的直径, ∴ 此圆半径的长是4. 24.2　点和圆、直线 和圆的位置关系 第1课时 点和圆的位置关系 1. B 2. B 3. 8 4. △ABD, △ACD,△BCD 5. (1) (1,-2). (2) 连接MB,MD. 由勾股定理,得MB= 32+12= 10. ∵ D(3,-5), ∴ MD= (1-3)2+(-2+5)2 = 13> 10. ∴ 点D(3,-5)在☉M 外. 6. A [解析] 把A(-2,0),B(4,0) 代 入 y = ax2 + bx + c,得 4a-2b+c=0, 16a+4b+c=0, 解 得 b=-2a , c=-8a. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= ax2-2ax-8a=a(x-1)2-9a.设 抛物线的顶点为P,则抛物线的顶点 P 的坐标为(1,-9a),对称轴为直线 x=1.设C 为线段AB 的中点,则点 C的坐标为(1,0).∴ CP=|-9a|= 9a.∵ 以AB 为直径的圆与在x轴下 方的抛物线有交点,∴ CP≥12AB , 即9a≥3,解得a≥13. 7. C [解析] ① 如图①,当圆心O 在△ABC 内部时,过点A 作AE⊥ BC于点E.∴ BE=CE=12BC=1. ∵ OB=OC,∠BOC=60°,∴ △OBC 是等边三角形.∴ OB=OC=BC= 2.∴ OE= 3.∴ AE=OA+OE= 2+3.∴ S△ABC= 1 2BC ·AE=2+ 3.② 如图②,当圆心O 在△ABC外 部时,连接OA 交BC 于点E.同理, 易 得 AE =OA -OE =2- 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 ∴ S△ABC= 1 2BC ·AE=2- 3.综 上所述,△ABC 的面积为2+ 3或 2-3. (第7题) 8. 4<r≤ 26 9. ①③ [解析] ∵ △ABC 是等边 三角形,∴ ∠BAC=∠ACB=60°. ∵ AB︵=AB︵,BC︵=BC︵,∴ ∠ADB= ∠ACB=60°,∠BDC=∠BAC=60°. ∴ ∠ADB=∠BDC.故①正确.∵ D 是AC︵ 上一个动点,∴ AD︵ 与CD︵ 不 一定相等.∴ DA 与DC不一定相等. 故②错误.当DB 最长时,DB 为☉O 的直径,∴ ∠BCD=90°.∵ ∠BDC= 60°,∴ ∠DBC=30°.∴ DB=2DC. 故③正确.综上所述,一定正确的是 ①③. 10. (1) 点B,C,D,E 在以点M 为圆 心的同一个圆上. 理由:如图①,连接EM,DM. ∵ BD⊥AC,CE⊥AB, ∴ ∠BDC=∠BEC=90°. ∵ M 是BC的中点, ∴ EM=BM=12BC ,DM=CM= 1 2BC. ∴ EM=BM=DM=CM. ∴ 点B,C,D,E 在以点M 为圆心的 同一个圆上. (2) 如图②,连接AF 并延长,交BC 于点G,连接BO 并延长,交☉O 于点 H,连接AH,CH. ∵ BD,CE 是△ABC 的高,BD,CE 相交于点F, ∴ AG⊥BC. ∵ BH 是☉O 的直径, ∴ ∠BAH=∠BCH=90°. ∴ BA⊥AH,BC⊥CH. ∴ AG∥CH. ∵ CE⊥AB, ∴ AH∥CE. ∴ 四边形AFCH 是平行四边形. ∴ CF=AH=6. ∵ 在Rt△BAH 中,AB=8, ∴ BH = BA2+AH2 = 82+62=10. ∴ △ABC外接圆的半径为5. (第10题) 11. (1) ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°, AC=AB=23. ∴ ∠APC=∠ABC=60°. ∵ ∠PAC=90°, ∴ ∠PCA=30°. ∴ PC=2PA. ∵ PC2=PA2+AC2, ∴ PA=2,PC=4. ∵ ∠PAC =90°,∠ACB =60°, ∴ ∠D=30°,∠PCB = ∠ACB - ∠PCA=30°. ∴ ∠D=∠PCB. ∴ PC=PD. ∴ PD=4. (2) PC=PB+PA. 在PC上截取一点E,使得PB=PE, 连接BE. ∵ ∠BPC=∠BAC=60°,PB=PE, ∴ △PBE 是等边三角形. ∴ BP=BE,∠PBE=∠ABC=60°. ∴ ∠ABP=∠CBE. ∵ BA=BC, ∴ △ABP≌△CBE. ∴ PA=EC. ∴ PC=PE+EC=PB+PA. 第2课时 直线和圆的位置关系 1. D 2. D 3. 相切 相交 4. (1) 4 (2) 90° 5. (1) ∵ P(x,y)是直线y=2x 上 的一点, ∴ y=2x. ∵ ☉P 与直线y=3相切,☉P 的半 径为1, ∴ 点P 的纵坐标为2或4. ∴ 点P 的横坐标为1或2. ∴ 当x=1或2时,☉P 与直线y=3 相切,点P 的坐标为(1,2)或(2,4). (2) 当☉P 与直线y=3相交时,1< x<2;当☉P 与直线y=3相离时, x>2或x<1. 6. D [解析] 如图,连接PA,过点P 作PC⊥AB 于点C.由垂径定理,得 AC= 12AB = 1 2 ×2 3= 3. ∵ P(3,-1),∴ PC=1.在Rt△PAC 中,由勾股定理,得 PA2=PC2+ AC2=12+(3)2=4.∴ PA=2. ∴ ☉P 的半径是2.将☉P 向上平移, 当☉P 与x 轴相切时,平移的距离为 1+2=3(个)单位长度;将☉P 向下平 移,当☉P 与x 轴相切时,平移的距 离为2-1=1(个)单位长度.综上所 述,若要使☉P 与x 轴相切,则应将 ☉P 沿着与y轴平行的方向向下平移 1个单位长度或向上平移3个单位 长度. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04 78 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 第1课时 点和圆的位置关系 ▶ “答案与解析”见P39 1. 已知☉O 的半径是4,点P 到圆心O 的距离 d为方程x2-4x-5=0的一个根,则点P在 ( ) A. ☉O 的内部 B. ☉O 的外部 C. ☉O 上或☉O 的内部 D. ☉O 上或☉O 的外部 2. 用反证法证明三角形至少有一个角不小于 60°,应先假设 ( ) A. 三个角都大于60° B. 三个角都小于60° C. 三个角都不大于60° D. 三个角都不小于60° 3. 如图,在△ABC 中,∠A=60°,BC=43cm, 则△ABC 的外接圆的直径是 cm. (第3题) 4. (2022·玉林)如图,在5×7的网格中,各小 正方形的边长均为1,点O,A,B,C,D,E 均 在格点上,点O 是△ABC 的外心,在不添加 其他字母的情况下,把除△ABC,外心也是 点O 的三角形都写出来: . (第4题) 5. 如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点 O,A,B,C 均在格点(两条网格线的交点叫 做格点)上,以O为原点建立平面直角坐标系. (1) 过A,B,C 三点的圆的圆心M 的坐标为 . (2) 请通过计算判断点D(3,-5)与☉M 的 位置关系. (第5题) 6. (易错易混题)(2022·宜宾)已知抛物线y= ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点A(-2,0), B(4,0).若以AB 为直径的圆与在x 轴下方 的抛物线有交点,则a的取值范围是 ( ) A. a≥13 B. a>13 C. 0<a<13 D. 0<a≤13 答案讲解 7. 若点O 是等腰三角形ABC 的外心, ∠BOC=60°,底 边 BC =2,则 △ABC 的面积为 ( ) A. 2+3 B. 23 3 C. 2+3或2-3 D. 4+23或2-3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 79 8. 如图,在由边长为1的小正方形组成的9×9 网格中选取9个格点A,B,C,D,E,F,G, H,I.若以点A 为圆心,r为半径画圆,选取 的格点中除点A 外恰好有4个点在圆内,则 r的取值范围是 . (第8题) (第9题) 9. 如图,☉O 是等边三角形ABC 的外接圆,D 是AC ︵ 上一个动点(不与点A,C 重合).有下 列结论:① ∠ADB=∠BDC;② DA=DC; ③ 当DB 最长时,DB=2DC.其中,一定正 确的是 (填序号). 10. 如图①,BD,CE 是△ABC 的高,BD,CE 相交于点F,M 是BC 的中点,☉O 是 △ABC 的外接圆. (1) 点B,C,D,E 是否在以点M 为圆心的 同一个圆上? 请判断并说明理由. (2) 如图②,若AB=8,CF=6,求△ABC 外接圆的半径. (第10题) 答案讲解 11. (核心素养·模型建构)已知☉O 是等边三角形ABC 的外接圆,P 是圆上异于点A,B,C 的一点. (1) 如图,若∠PAC=90°,AB=23,记直 线AP 与直线BC 的交点为D,连接PC,求 PD 的长. (2) 试猜想PA,PB,PC 之间的数量关系, 并证明. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆