24.1.4 圆周角及圆内接四边形-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

第4课时 圆周角及圆 内接四边形 1. D 2. A 巧用圆周角定理及其 推论解决两类问题 (1) 解决与圆有关的角度的相 关问题时,一般先判断角是圆周角 还是圆心角,再转化成同弧所对的 圆周角或圆心角,利用同弧所对的 圆周角相等、同弧所对的圆周角是 圆心角的一半等关系求解. (2) 在圆中有直径即可连接圆 上两点,构造直径所对的圆周角,这 是圆中添加辅助线的一种常用方法. 3. 45°或135° 4. 155° 5. (1) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB=90°. ∴ ∠ACD=90°-∠BCD. ∵ AC=AD, ∴ ∠ACD=∠ADC. ∵ ∠A+∠ACD+∠ADC=180°, ∴ ∠A +90°- ∠BCD +90°- ∠BCD=180°. ∴ ∠A=2∠BCD. (2) 如图,连接OC,OE. 由(1),得 ∠A =2∠BCE =2× 15°=30°. ∵ OA=OC, ∴ ∠A=∠ACO. ∴ ∠COB=∠A+∠ACO=2∠A= 2×30°=60°. ∵ ∠BOE=2∠BCE=2×15°=30°, ∴ ∠COE=∠COB+∠BOE=60°+ 30°=90°. ∵ OC=OE=12AB= 1 2×6=3 , ∴ CE = OC2+OE2 = 32+32=32. (第5题) 6. C [解析] 如图,延长AO 交☉O 于 点 E,连 接 BE,则 ∠AOB + ∠BOE=180°.∵ ∠AOB+∠COD= 180°,∴ ∠BOE=∠COD.∴ BE= CD=4.∵ AE 为 ☉O 的 直 径, ∴ ∠ABE = 90°. ∴ AE = AB2+BE2 = 22+42 =2 5. ∴ OA=5,即☉O 的半径为5. (第6题) 7. B [解析] 如图,连接OA,OB. ∵ ∠ACB = 30°,∴ ∠AOB = 2∠ACB = 60°.∵ OA = OB, ∴ △AOB 为等边三角形.∵ ☉O 的 半径是4,∴ AB=OA=OB=4. ∵ E,F 分别是AC,BC 的 中 点, ∴ EF=12AB=2.∵ GE+EF+ FH=GH,EF 为定值,∴ 当GH 的 长最大时,GE+FH 的值最大.∵ 当 弦GH 是圆的直径时,GH 取得最大 值,最大值为4×2=8,∴ GE+FH 的最大值是8-2=6. (第7题) 8. 72° [解析] 延长ED 到点 H. ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于 ☉O, ∴ ∠ABC + ∠ADC = ∠BAD + ∠BCD=180°.∵ ∠EAB,∠FBC, ∠GCD 的 度 数 之 比 为1∶2∶4, ∴ 易得∠EAB, ∠FBC, ∠GCD, ∠CDH 的度数之比为1∶2∶4∶3. ∵ ∠EAB + ∠FBC + ∠GCD + ∠CDH=360°,∴ ∠CDH=360°× 3 1+2+4+3=108°.∴ ∠ADC = 180°-108°=72°. 9. 120 13 [解析] 连接AE.∵ AB 是 直径,∴ ∠AEB =90°= ∠AEC. ∵ DE︵=BE︵,∴ ∠BAE=∠CAE. 又∵ AE=AE,∴ △AEB≌△AEC. ∴ AB=AC,即△ABC 为等腰三角 形,BE=CE=12BC= 1 2×10=5. 在Rt△ABE 中,AB=13,BE=5, ∴ AE= 132-52=12,AB=AC= 13.∵ AB 是直径,∴ ∠ADB=90°. ∴ 1 2AE ·BC = 12BD ·AC. ∴ BD=10×1213 = 120 13. 10. (1) 由 圆 周 角 定 理,可 得 ∠CAD=∠CBD. ∵ AE 平分∠BAC,BE 平分∠ABC, ∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD, ∠ABE=∠CBE. ∵ ∠BED = ∠BAE + ∠ABE, ∠DBE=∠CBD+∠CBE, ∴ ∠BED=∠DBE. ∴ DB=DE. (2) 如图,连接OC,OD,OD 交BC于 点F. 由圆周角定理,得∠BAD=∠BCD. 由(1),可知∠BAD=∠CAD=∠CBD. ∴ ∠CBD=∠BCD. ∴ BD=DC. ∵ OB=OC, ∴ OD 垂直平分BC. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. 又∵ BD=ED, ∴ △BDE 是等腰直角三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 ∵ BE=22,BE2=BD2+ED2= 2BD2, ∴ BD=2. ∵ AB=25, ∴ OB=OD=5. 设OF=t,则DF=5-t. 在Rt△BOF 和Rt△BDF 中,OB2- OF2=BD2-DF2=BF2,即(5)2- t2=22-(5-t)2,解得t=355 . ∴ OF=355 . ∴ BF= (5)2- 35 5 2 =455. ∴ BC=2BF=855. (第10题) 11. B [解析] 如图,连接BD,OA, OD.∵ AB =BC,∴ AB︵ =BC︵. ∴ ∠BDA = ∠BDC.∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于 半 径 为 5 的 ☉O, ∴ ∠BAD+∠C=180°.∵ BC= BE,∴ ∠BEC=∠C.∵ ∠BEC+ ∠BED=180°,∴ ∠BAD=∠BED. 在 △BAD 和 △BED 中, ∠BDA=∠BDE, ∠BAD=∠BED, BA=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD ≌ △BED.∴ ∠ABD = ∠EBD. ∵ AB ⊥BE,∴ ∠ABD =45°. ∴ ∠AOD=90°.在 Rt△AOD 中, OA=OD=5,∴ AD=52. (第11题) 12. (1) ∵ ∠BAC = ∠ADB, ∠BAC=∠CDB, ∴ ∠ADB=∠CDB. ∴ DB 平分∠ADC. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∴ ∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB=180°. ∴ 2(∠ABD+∠ADB)=180°. ∴ ∠ABD+∠ADB=90°. ∴ ∠BAD=180°-90°=90°. (2) 由(1),可知∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAE=90°. ∵ ∠BAE=∠ADE, ∴ ∠ADE+∠DAE=90°. ∴ ∠AED=90°. ∵ ∠BAD=90°, ∴ BD 是圆的直径. ∴ BD 垂直平分AC. ∴ AD=CD. ∵ AC=AD, ∴ AC=AD=CD,即△ACD 是等边 三角形. ∴ ∠ADC=60°. ∴ ∠BDC=12∠ADC=30°. ∵ CF∥AD, ∴ ∠F+∠BAD=180°. ∴ ∠F=90°. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC=180°. ∵ ∠FBC+∠ABC=180°, ∴ ∠FBC=∠ADC=60°. ∴ ∠BCF=30°. ∴ BC=2BF=4. ∵ BD 是圆的直径, ∴ ∠BCD=90°. ∵ ∠BDC=30°, ∴ BD=2BC=8. ∵ BD 是圆的直径, ∴ 此圆半径的长是4. 24.2　点和圆、直线 和圆的位置关系 第1课时 点和圆的位置关系 1. B 2. B 3. 8 4. △ABD, △ACD,△BCD 5. (1) (1,-2). (2) 连接MB,MD. 由勾股定理,得MB= 32+12= 10. ∵ D(3,-5), ∴ MD= (1-3)2+(-2+5)2 = 13> 10. ∴ 点D(3,-5)在☉M 外. 6. A [解析] 把A(-2,0),B(4,0) 代 入 y = ax2 + bx + c,得 4a-2b+c=0, 16a+4b+c=0, 解 得 b=-2a , c=-8a. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= ax2-2ax-8a=a(x-1)2-9a.设 抛物线的顶点为P,则抛物线的顶点 P 的坐标为(1,-9a),对称轴为直线 x=1.设C 为线段AB 的中点,则点 C的坐标为(1,0).∴ CP=|-9a|= 9a.∵ 以AB 为直径的圆与在x轴下 方的抛物线有交点,∴ CP≥12AB , 即9a≥3,解得a≥13. 7. C [解析] ① 如图①,当圆心O 在△ABC 内部时,过点A 作AE⊥ BC于点E.∴ BE=CE=12BC=1. ∵ OB=OC,∠BOC=60°,∴ △OBC 是等边三角形.∴ OB=OC=BC= 2.∴ OE= 3.∴ AE=OA+OE= 2+3.∴ S△ABC= 1 2BC ·AE=2+ 3.② 如图②,当圆心O 在△ABC外 部时,连接OA 交BC 于点E.同理, 易 得 AE =OA -OE =2- 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 76 第4课时 圆周角及圆内接四边形 ▶ “答案与解析”见P38 1. (2023·鞍山)如图,AC,BC 为☉O 的两条 弦,D,G 分别为AC,BC 的中点,☉O 的半径 为2.若∠C=45°,则DG 的长为 ( ) (第1题) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 2. ★如 图,在 圆 内 接 四 边 形 ABCD 中, ∠BCD=105°,连 接 OB,OC,OD,BD, ∠BOC=2∠COD,则∠CBD 的度数是 ( ) (第2题) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3. (2022·襄阳)已知☉O 的直径AB 长为2,弦 AC 的长为 2,则弦AC 所对的圆周角的度 数等于 . 4. 如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且AB ︵ 所对圆 心角的度数为50°,则∠E+∠C= . (第4题) 5. 如图,AB 是☉O 的直径,D 为AB 上一点,C 为☉O 上一点,且AD=AC,连接CD 并延 长,交☉O 于点E,连接CB. (1) 求证:∠A=2∠BCD. (2) 若∠BCE=15°,AB=6,求CE 的长. (第5题) 6. (易错易混题)如图,在☉O 中,弦AB,CD 所 对的 圆 心 角 分 别 是 ∠AOB,∠COD.若 ∠AOB 和∠COD 互补,且AB=2,CD=4, 则☉O 的半径是 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 (第6题) (第7题) 答案讲解 7. 如图,AB 是☉O 的一条弦,C 是 ☉O 上一个动点,且∠ACB=30°, E,F 分别是AC,BC 的中点,直线 EF 与☉O 交于G,H 两点.若☉O 的半径是 4,则GE+FH 的最大值是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 77 8. (2022·南京)如图,四边形ABCD 内接于 ☉O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD 的度数之比为1∶2∶4,则∠D= . (第8题) (第9题) 9. 如图,以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与 其他两边AC,BC 的交点分别为D,E,且 DE ︵ =BE ︵ .若半圆的直径为13,BC=10,则 BD 的长为 . 答案讲解 10. 如图,以AB 为直径的☉O 经过 △ABC 的顶点C,AE,BE 分别平 分∠BAC 和∠ABC,AE 的延长 线交☉O 于点D,连接BD,CD. (1) 求证:DB=DE. (2) 若AB=25,BE=22,求BC 的长. (第10题) 11. 如图,四边形ABCD 内接于半径为5的 ☉O,AB=BC=BE,AB⊥BE,则AD 的 长为 ( ) (第11题) A. 5 B. 52 C. 53 D. 10 答案讲解 12. (核心素养·模型建构)(2023·北 京)如图,圆内接四边形ABCD 的 对角线AC,BD 交于点E,BD 平 分∠ABC,∠BAC=∠ADB. (1) 求证:DB 平分∠ADC,并求∠BAD 的 度数. (2) 过点C 作CF∥AD,交AB 的延长线于 点F.若 AC=AD,BF=2,求此圆半径 的长. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十四章　圆