23.1.2 旋转作图-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

58 第2课时 旋转作图 ▶ “答案与解析”见P28 1. (易错易混题)在方格纸上,将Rt△AOB 绕 点B按顺时针方向旋转90°,得到Rt△A'O'B, 则下列图形中,正确的是 ( ) A. B. C. D. 2. (2022·聊城)如图,在平面直角坐标系中,线 段A1B1是将△ABC 绕着点P(3,2)按逆时 针方向旋转一定角度后得到的△A1B1C1 的 一部分,那么点C 的对应点C1的坐标是 ( ) A. (-2,3) B. (-3,2) C. (-2,4) D. (-3,3) (第2题) (第3题) 3. (2022·吉林)第24届冬季奥林匹克运动会 入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花 两种元素.如图,这个图案绕着它的中心旋转 α(0°<α<360°)后能够与它本身重合,则α 可以为 (写出一个即可). 4. ★在平面直角坐标系中,O 为原点,已知点 A(4,0),B(0,3),把△ABO 绕点B 按逆时 针方向旋转,得△A'BO',点A,O 旋转后的 对应点为A',O',记旋转角的度数为α. (1) 如图①,若α=90°,求AA'的长. (2) 如图②,若α=120°,求点O'的坐标. (第4题) 5. 如图,在△AOB 中,OA=AB,∠OAB=120°, 边OA 在x轴上,将△AOB 绕原点O 按逆时 针方向旋转120°,得到△A'OB'.若OB= 43,则点A 的对应点A'的坐标为 ( ) A. (-2,2) B. (-2,23) C. (-2,4) D. (-2,25) (第5题) (第6题) 答案讲解 6. 如图,△ABC 的三个顶点的坐标分 别是A(1,-1),B(2,-2),C(4,-1), 将△ABC 绕着原点O 旋转75°,得 到△A1B1C1,则点B1的坐标为 ( ) A. (2,6)或(-6,-2) B. (6,2)或(-6,-2) C. (6,2)或(-2,-6) D. (2,6)或(-2,-6) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 59 7. (2023·通辽)如图,在平面直角坐标系中,已 知点P(0,1),A(4,1),以点P 为中心,把 PA 按逆时针方向旋转60°得到 PB,在 M1(-1,-3),M2 -33 ,0 ,M3(1,3-1), M4(2,23)四个点中,直线PB 经过的点是 ( ) A. M1 B. M2 C. M3 D. M4 (第7题) (第8题) 8. 如图,在平面直角坐标系中,线段OA 与x轴 正方向的夹角为45°,且OA=2.若将线段 OA 绕点O 按逆时针方向旋转105°得到线段 OA',则此时点A'的坐标为 . 9. (2022·武汉)如图所示为由小正方形组成的 6×9网格,每个小正方形的顶点叫做格点, △ABC 的三个顶点都是格点.仅用无刻度的 直尺在给定的网格中完成画图,画图过程用 虚线表示. (1) 如图①,D,E 分别是边AB,AC 与网格 线的交点.先将点B 绕点E 旋转180°得到 点F,画 出 点 F,再 在 AC 上 画 点G,使 DG∥BC. (2) 如图②,P 是边AB 上一点,∠BAC=α. 先将AB 绕点A 按逆时针方向旋转2α,得到 线段AH,画出线段AH,再画点Q,使P,Q 两点关于直线AC 对称. (第9题) 答案讲解 10. (核心素养·模型建构)在平面直 角坐标系中,已知点A(2,0),点B 在y轴正半轴上,且∠BAO=60°. 将△AOB 绕着点O 按顺时针方向旋转,得 △A'OB',点A,B 旋转后的对应点为A', B',记旋转角为α. (1) 如图①,当A'B'恰好经过点A 时,求: ① 旋转角α的度数. ② 点B'的坐标. (2) 如图②,若0°<α<90°,设直线AA'和 直线BB'交于点P,猜测AA'与BB'的位置 关系,并说明理由. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十三章　旋　转 ∴ BD=CE=10. ∵ 易知∠ADC=45°,∠EDA=45°, ∴ ∠EDC=90°. ∴ DE= CE2-CD2= 100-25= 53. ∵ ∠DAE=90°, ∴ 易得AD= 22DE= 56 2 . (第11题) 第2课时 旋转作图 1. B 2. A 3. 答案不唯一,如60° 4. (1) ∵ A(4,0),B(0,3), ∴ OA=4,OB=3. 在 Rt△ABO 中,由 勾 股 定 理,得 AB=5. ∵ △A'BO'是把△ABO 绕点B 按逆 时针方向旋转90°得到的, ∴ ∠A'BA=90°,A'B=AB=5. ∴ AA'=52. (2) 根据题意,可得∠O'BO=120°, O'B=OB=3. 如图,过点O'作O'C⊥y 轴,垂足为 C,则∠O'CB=90°. 在Rt△O'CB 中,∵ ∠O'BC=180°- ∠O'BO=60°,则∠BO'C=30°, ∴ BC=12O'B= 3 2. 由勾股定理,得O'C=332 . ∴ OC=OB+BC=92. ∴ 点O'的坐标为 33 2 ,9 2 . (第4题) 利用旋转的性质求点的 坐标的方法 在平面直角坐标系中,根据旋 转的性质求点的坐标,可以先过所 求的点分别作出x 轴、y 轴的垂 线,再根据旋转的性质求出有关线 段的长,从而确定点的坐标. 5. B 6. C 7. B [解析] ∵ A(4,1),P(0,1), ∴ PA⊥y 轴,PA=4.由旋转,得 ∠APB=60°,AP=PB=4.如图,过 点 B 作 BC ⊥ y 轴 于 点 C. ∴ ∠BPC=30°.∴ BC=2.∴ PC= 23.∴ B(2,1+23).设直线PB 对 应的函数解析式为y=kx+b,则 2k+b=1+23, b=1, ∴ k=3,b=1. ∴ 直 线PB 对应的函数解析式为y= 3x+1.当x=-1时,y=- 3+1, ∴ 点 M1(-1,- 3)不在直线PB 上.当x=- 33 时,y=-1+1=0, ∴ 点M2 - 33 ,0 在直线PB 上.当 x=1时,y= 3+1,∴ 点 M3(1, 3-1)不在直线PB 上.当x=2时, y=23+1,∴ 点M4(2,23)不在直 线PB 上. (第7题) 8. (-3,1) 9. (1) 如图①,点F,G 即为所求作. (2) 如图②,线段AH,点Q 即为所 求作. (第9题) 10. (1) ① 由旋转,得OA=OA', ∠A'=∠BAO=60°. ∴ △OAA'是等边三角形. ∴ α=∠AOA'=60°. ② 过点B'作B'C⊥x轴于点C. ∵ A(2,0), ∴ OA=2. ∵ ∠BAO=60°, ∴ ∠OBA=30°. ∵ ∠AOB=90°, ∴ AB=2OA=4. ∴ OB= AB2-OA2= 42-22= 23. ∴ 由旋转,得OB'=OB=23. 又∵ ∠AOA'=60°, ∴ ∠B'OC=90°-∠AOA'=30°. ∵ ∠B'CO=90°, ∴ B'C=12OB'=3. ∴ OC = OB'2-B'C2 = (23)2-(3)2=3. ∴ B'(3,3). (2) AA'⊥BB'. 理 由:∵ ∠BOB'= ∠AOA'=α, OB=OB',OA=OA', ∴ 易 知 ∠OBB' = ∠OA'A = 1 2 (180°-α). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 ∵ ∠BOA'=90°+α,四边形OBPA' 的内角和为360°, ∴ ∠BPA'=360°-2×12 (180°- α)-(90°+α)=90°,即AA'⊥BB'. 专题特训（八）　旋转中 常见的几何模型 1. 4 2. 19 3. 14+43 [解析] 如图,将△ABP 绕点B 按顺时针方向旋转90°,得到 △CBP',连接PP',过点A 作AH⊥ BP,交 BP 的 延 长 线 于 点 H,则 ∠PBP'=90°,∠APB= ∠BP'C, P'B=PB=2,P'C=PA=23.由勾 股定理,得PP'2=2+2=4.∵ P'C2= (23)2=12,PC2=42=16,∴ PC2= PP'2+P'C2.∴ ∠PP'C=90°.又 ∵ 易得∠BP'P=45°,∴ ∠BP'C= 135°.∴ ∠APB=∠BP'C=135°. ∴ ∠APH =45°.∴ ∠APH = ∠PAH=45°.∴ 易得AH=PH= 2 2PA=6.∴ AB2=AH2+BH2= 6+(6+2)2=14+43.∴ 正方形 ABCD 的面积=14+43. (第3题) 4. 27 [解析] 如图,将△AOB 绕 点B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 60°至 △A'O'B 处,连接OO',A'C.∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2, ∠ABC=30°,∴ AB=4.∴ BC= 23.由旋转,得A'B=AB=4,OB= O'B,O'A'=OA.∵ 将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°,∴ ∠A'BC= ∠ABC+60°=30°+60°=90°, ∠OBO'=60°.∴ △OBO'为等边三角 形.∴ OO'=OB.易得当C,O,A',O' 四点共线时,OA+OB+OC的值最小, 为A'C的长,∴ A'C= BC2+BA'2= (23)2+42=27.∴ OA+OB+ OC的最小值为27. (第4题) 5. 如图,将△ABP 绕点A 按逆时针 方向旋转120°得到△ACQ,连接PQ, 过点A 作AD⊥PQ,垂足为D. ∵ ∠ACB=30°,AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=30°. ∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB=120°. 由 旋 转,得 PB =CQ = 21, ∠BAC = ∠PAQ =120°,PA = AQ=2. ∴ ∠APQ=∠AQP= 12 (180°- ∠PAQ)=30°,PQ=2DQ. 在Rt△ADQ 中,AQ=2, ∴ AD=12AQ=1. ∴ DQ=3. ∴ PQ=2DQ=23. ∵ PQ2+PC2=(23)2+32=21, CQ2=(21)2=21, ∴ PQ2+PC2=CQ2. ∴ △PCQ 是 直 角 三 角 形,且 ∠QPC=90°. ∴ ∠APC = ∠APQ + ∠QPC = 30°+90°=120°. (第5题) 6. (1) 如图①,过点A 作AG⊥BC于 点G,延长FE 交AG 于点H. 在 等 边 三 角 形 ABC 中,∠B = ∠BAC=60°,AB=8, ∵ AB=AC, ∴ ∠BAG=30°. ∵ 将线段EB 绕点E 按顺时针方向 旋转60°得到线段EF, ∴ ∠BEF=60°,EF=EB=2. ∴ ∠BEF=∠B. ∴ EF∥BC. ∵ AG⊥BC, ∴ AG⊥FH. 在Rt△AEH 中,∵ AE=8-2=6, ∠EAH=30°, ∴ EH=12AE=3. ∴ AH = AE2-EH2 =3 3, FH=5. 在 Rt△AFH 中, AF = AH2+FH2 = (33)2+52 = 2 13. (2) 如图②,连接FB. ∵ 将线段EB 绕点E 按顺时针方向 旋转60°得到线段EF, ∴ ∠BEF=60°,EF=EB. ∴ △EBF 是等边三角形. ∴ FB=EB,∠FBE=60°=∠ABC. ∴ ∠FBE + ∠EBA = ∠ABC + ∠EBA,即∠FBA=∠EBC. 在△FBA 和△EBC中, FB=EB, ∠FBA=∠EBC, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBA≌△EBC. ∴ AF=CE. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92