22.3.1 几何图形面积问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

∴ - m2 2 +m 2 2 +2m=6 ,解得 m1=-4+2 10,m2=-4-2 10 (不合题意,舍去). 当m 2>2 ,即m>4时,在-1≤x≤2 的范围中,y随x的增大而增大, ∴ 当x=2时,y=6. ∴ -22+2m+2m=6,解得m=52 (不合题意,舍去). 综上所述,m 的值为-4+2 10. 6. 函数图象的对称轴为直线x= --2a2×1=a. ① 若a≤1,则当x=1时,函数取得 最小值,此时1-2a+3=2a,解得 a=1. ② 若1<a<3,则当x=a时,函数取 得最小值,此时a2-2a·a+3=2a, 解得a1=1,a2=-3,都不合题意, 舍去. ③ 若a≥3,则当x=3时,函数取得 最小值,此时9-6a+3=2a,解得 a=32 (不合题意,舍去). 综上所述,a的值为1. 22.3　实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题 1. A 2. 15 3. (1) 由 题 意,得 y =x (30- 3x)=-3x2+30x. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= -3x2+30x. (2) 当y=63时,-3x2+30x=63, 解得x1=7,x2=3. 当x=7时,30-3x=9<10,符合题 意;当x=3时,30-3x=21>10,不 合题意,舍去, ∴ AB 的长是7m. (3) y=-3x2+30x=-3(x- 5)2+75. 由题意,得0<30-3x≤10,解得203≤ x<10. ∵ -3<0, ∴ 当x>5时,y随x的增大而减小. ∴ 当x=203 时y有最大值,最大面积 为200 3 m 2. 利用二次函数的性质求实际 问题中最值的方法 在实际问题中,求最值的一般 步骤如下: (1) 列出二次函数解析式,并 根据自变量的实际意义,确定自变 量的取值范围. (2) 在自变量的取值范围内, 运用公式法或配方法求出二次函 数的最值. 注意:当二次函数图象的顶点 的横坐标不在自变量的取值范围 之内时,需结合二次函数的图象, 根据二次函数的增减性,在自变量 的取值范围内求出函数的最值. 4. D 5. C 6. 4 3 [解析] 过点 F 作FG⊥ AD,交AD 的延长线于点G.∵ 菱形 ABCD 的边长为8,∠BAD=60°, ∴ AD=CD=8,∠ADC=180°- ∠BAD=120°.∴ ∠FDG=180°- ∠ADC=60°.设AE=x.∴ DE= AD-AE=8-x.∵ AE+CF=8, ∴ CF=8-x.∴ DF=CD-CF= 8-(8-x)=x.在 Rt△DFG 中, ∵ ∠FDG=60°,∴ ∠DFG=30°. ∴ 易 得 FG = 32x.∴ S△DEF = 1 2DE ·FG=12× (8-x)× 32x= - 34x 2+23x=- 34 (x-4)2+ 43.∴ 当x=4时,△DEF 的面积 最大,最大值为43. 7. (1) ∵ 小正方形的边长为m,直角 三角形较短直角边的长为n, ∴ 直角三角形较长直角边的长为 m+n. ∴ 由勾股定理,得S=(m+n)2+n2. ∵ n=2m-4, ∴ S=(m+2m-4)2+(2m-4)2= 13m2-40m+32. ∵ n=2m-4>0, ∴ m>2. ∴ S 关于m 的函数解析式为S= 13m2-40m+32(m>2). (2) ∵ S=13m2 -40m +32= 13m-2013 2 +1613 (2<m≤3), ∴ 当 m≥2013 时,S 随x 的增大而 增大. ∴ 当大正方形的面积最大时,m=3. 8. C [解析] 过点 H 作HM⊥AB 于点M.∵ AC=2,∠B=30°,∴ 易 得 AB =23.∵ ∠EDF =90°, ∴ ∠ADG+∠MDH=90°.∵ ∠ADG+ ∠AGD=90°,∴ ∠AGD=∠MDH. ∵ DG=HD,∠A=∠DMH=90°, ∴ △ADG≌△MHD.∴ AD=MH. 设 AD =x,则 BD =2 3-x. ∴ S△BDH= 1 2BD ·MH=12BD · AD=12x (2 3-x)=-12 (x- 3)2+32.∴ △BDH 面积的最大值 是3 2. 9. (1) ∵ 在题图①中,AB=xm, ∴ AD = 76+18+1- (3x-1) 2 = 96-3x 2 m. ∴ y1=AB·AD=x· 96-3x 2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 -32x 2+48x. ∵ 在题图②中,AB=xm, ∴ AD=76+1-(3x-1)=(78- 3x)m. ∴ y2 =AB ·AD =x· (78- 3x)=-3x2+78x. (2) 不同意小红的说法. 理由:y1=- 3 2x 2+48x=-32 (x- 16)2+384. ∵ -32<0 , ∴ 当x=16时,y1有最大值,是384. y2=-3x2+78x=-3(x-13)2+ 507. ∵ -3<0, ∴ 当x=13时,y2有最大值,是507. 当x=13时,78-3x=78-39=39, 39>18,不合题意,舍去, ∴ y2的最大值不能是507. ∴ 不同意小红的说法. 第2课时 商品利润问题 1. B 2. C 3. 2.75 4. (1) 设y 与x 之间的函数解析式 为y=kx+b(k≠0). 由 题 意,可 知 36=12k+b, 34=13k+b, 解 得 k=-2, b=60. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= -2x+60. (2) 根据题意,得(x-10)(-2x+ 60)=192,解得x1=18,x2=22. ∵ 易得10≤x≤19, ∴ x=18. ∴ 销售单价为18元. (3) 由题意,得w=(x-10)(-2x+ 60)=-2x2+80x-600=-2(x- 20)2+200. ∵ -2<0,抛物线的对称轴为直线 x=20, ∴ 当10≤x≤19时,w 随x的增大而 增大. ∴ 当 x=19 时,w 取得最大 值, w最大=198. ∴ 当销售单价为19元时,每天获利 最大,最大利润是198元. 5. D 6. 1264 7. (1) 当1≤x≤10时,设每台的销 售价格y(元)与x之间的函数解析式 为y=kx+b(k≠0). ∵ 图象过A(1,2850),B(10,1500) 两点, ∴ k+b=2850, 10k+b=1500, 解得 k=-150 , b=3000. ∴ 当1≤x≤10时,每台的销售价格 y(元)与x 之间的函数解析式为 y=-150x+3000. (2) 设销售收入为w 万元. ① 当1≤x≤10时,w=(-150x+ 3000)· 110x+1 =-15(x-5)2+ 3375. ∵ -15<0, ∴ 当x=5时,w最大=3375. ② 当 10 < x ≤ 12 时,w = 1500 110x+1 =150x+1500, ∴ w 随着x的增大而增大. ∴ 当x=12时,w最大=150×12+ 1500=3300. ∵ 3375>3300, ∴ 第5个月的销售收入最多,最多为 3375万元. 8. (1) 把 (3,7.2),(4,5.8)代 入 y需求=ax2+c,得 9a+c=7.2, 16a+c=5.8, 解 得 a=-15 , c=9. (2) 4月出售这种蔬菜每千克获利 最大. 理由:设每月出售这种蔬菜每千克获 利w 元. 根据 题 意,得 w =x售价 -x成本 = 1 2t+2- 1 4t 2-32t+3 =-14× (t-4)2+3. ∵ -14<0 ,且1≤t≤7, ∴ 当t=4时,w 有最大值. ∴ 4月出售这种蔬菜每千克获利 最大. (3) 当 y供给 =y需求 时,x -1= -15x 2+9,解得x1=5,x2=-10 (不合题意,舍去). ∴ 此时售价为5元/千克,则y供给= x-1=5-1=4. 令1 2t+2=5 ,解得t=6, ∴ w=-14 (t-4)2+3=-14× (6-4)2+3=2. ∵ 4吨=4000千克, ∴ 总利润为2×4000=8000(元). ∴ 这种蔬菜供给量与需求量相等时 的售价为5元/千克,按此价格出售获 得的总利润为8000元. 第3课时 建立坐标系解 “抛物线”形问题 1. B 2. B 3. 4 4. (1) ∵ 8-6=2(m), ∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线对应的函数解析式为y= a(x-2)2+3. 把A(8,0)代入,得36a+3=0,解得 a=-112. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=- 1 12 (x-2)2+3. 当x=0时,y=- 1 12×4+3= 8 3>2.44 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 42 22.3　实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题 ▶ “答案与解析”见P18 1. 将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形,则 围成的矩形的最大面积为 ( ) A. 1 4m 2 B. 1 3m 2 C. 1 2m 2 D. 1m2 2. (2023·沈阳)如图,王叔叔想用长为60m的 栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈 ABCD.已知房屋外墙足够长,当矩形ABCD 的边AB= m时,羊圈的面积最大. (第2题) 3. ★如图,有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙 的最大可用长度为10m),围成中间隔有一 道篱笆(平行于AB)的矩形花圃ABCD.设 花圃的一边AB 的长为xm,面积为ym2. (1) 求y与x之间的函数解析式. (2) 如果要围成面积为63m2 的花圃,那么 AB 的长是多少? (3) 试确定当x 取何值时y 有最大值,并求 出最大面积. (第3题) 4. (易错易混题)如图①所示的矩形窗框ABCD 的周长及其两条隔断EF,GH 的总长为am, 且隔断EF,GH 分别与矩形的两条邻边平 行.设BC 的长为xm,矩形ABCD 的面积为 ym2,y关于x的函数图象如图②所示,则下 列说法中,正确的是 ( ) (第4题) A. 矩形ABCD 的最大面积为8m2 B. y与x之间的函数解析式为y=-x2+2x C. 当x=4时,矩形ABCD 的面积最大 D. a的值为12 5. (2022·自贡)九年级(2)班计划在劳动实践 基地内种植蔬菜,班长买回来8m长的围栏, 准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了 让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩 形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆这三种方案 (如图①②③),最佳方案是围成 ( ) (第5题) A. 矩形 B. 等腰三角形 C. 半圆 D. 矩形或等腰三角形 答案讲解 6. 如 图,菱 形 ABCD 的 边 长 为8, ∠BAD=60°,E 是AD 上一动点 (不与点A,D 重合),F 是CD 上一 动点,且AE+CF=8,则△DEF 的面积的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 43 最大值为 . (第6题) 7. 某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的 图案设计.这个图案是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形拼接而成的大正方形, 设小正方形的边长为m,直角三角形较短直 角边的长为n,且n=2m-4,大正方形的面 积为S. (1) 求S关于m 的函数解析式. (2) 若小正方形的边长不大于3,求出当大正 方形的面积最大时m 的值. (第7题) 答案讲解 8. 将一副三角尺(△ABC 与△DEF) 按如图所示的方式放置,点D 在边 AB 上滑动,DE 交AC 于点G,DF 交BC 于点H,且在滑动过程中始终保持 DG=DH.若AC=2,则△BDH 面积的最 大值是 ( ) (第8题) A. 3 B. 33 C. 3 2 D. 33 2 答案讲解 9. 某建筑工程队借助一段长为18m 的墙体CD,用76m长的铁栅栏围 成两个相连的矩形仓库,为了方便 取物,在两个仓库之间留出了1m宽的缺口 作通道,在平行于墙的一边留下一个1m宽 的缺口作小门.现有如图①②所示的两份图 纸(图①中点A 在线段DC 的延长线上,图 ②中点A 在线段DC 上),设AB=xm,图 ①,图②的仓库总面积分别为y1m2、y2m2 (墙体厚度忽略不计). (1) 请分别写出y1,y2 与x 之间的函数解 析式. (2) 小红说:“y1的最大值为384,y2的最大 值为507.”你同意吗? 请说明理由. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数