22.2 二次函数与一元二次方程-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

37 22.2　二次函数与一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P15 1. 已知关于x 的一元二次方程x2=bx-c的 解为x1=-1,x2=3,则二次函数y=x2- bx+c图象的对称轴是 ( ) A. 直线x=-1 B. 直线x=0 C. 直线x=1 D. 直线x=2 2. 已知二次函数y=x2-5x+m(m 为常数)的 图象与x 轴的一个交点为(1,0),则关于x 的一元二次方程x2-5x+m=0的两个实数 根是 ( ) A. x1=1,x2=-1 B. x1=1,x2=4 C. x1=1,x2=0 D. x1=1,x2=5 3. 若二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴有 两个不同的交点,则b的值不可能是 ( ) A. 4 B. -3 C. 5 D. -6 4. 若二次函数y=ax2-(2m+1)x 的图象经 过点(4,0),则关于x的一元二次方程ax2- (2m+1)x=0的两个根为 . 5. (2022·无锡)把二次函数y=x2+4x+m 的 图象先向上平移1个单位长度,再向右平移 3个单位长度.如果平移后所得抛物线与坐 标轴有且只有一个公共点,那么m 应满足条 件: . 6. (2022·青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2- 3(m 为常数,且m>0)的图象过点P(2,4). (1) 求m 的值. (2) 试判断二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数,并说明理由. 7. (易错易混题)(2023·衡阳)已知m>n>0, 若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为 x1,x2(x1<x2),关于x 的方程x2+2x- 3-n=0的解为x3,x4(x3<x4),则下列结 论中,正确的是 ( ) A. x3<x1<x2<x4 B. x1<x3<x4<x2 C. x1<x2<x3<x4 D. x3<x4<x1<x2 8. (2022·大庆)已知函数y=mx2+3mx+ m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实 数m 的值为 . 答案讲解 9. (2023·巴中)规定:如果两个函数 的图象关于y 轴对称,那么称这两 个函数互为“Y 函数”.例如函数y= x+3与y=-x+3互为“Y 函数”.若函数 y= k 4x 2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只 有一个交点,则它的“Y 函数”图象与x 轴的 交点坐标为 . 答案讲解 10. (2022·广西北部湾经济区)已知 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交 于A,B两点(点A在点B的左侧). (1) 求点A,B 的坐标. (2) 如图,过点A 的直线l:y=-x-1与抛 物线的另一个交点为C,P 为抛物线的对称 轴上的一点,连接PA,PC.设点P 的纵坐 标为m,当PA=PC 时,求m 的值. (3) 将线段AB 先向右平移1个单位长度, 再向上平移5个单位长度,得到线段MN, 若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 38 段MN 只有一个交点,请直接写出a 的取 值范围. (第10题) 11. 如图,将二次函数y=-x2+6x-5在x轴 下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,图象的 其余部分不变,得到一个新的图象.若直线 y=x+b(b为常数)与这个图象恰好有3个 公共点,则b的值为 . (第11题) 答案讲解 12. 已知二次函数的解析式为y= -x2+2mx-m2+4. (1) 求证:该二次函数图象与x 轴 一定有2个交点. (2) 若m=2,点M(n,y1),N(n+2,y2)都 在该二次函数的图象上,且y1y2<0,求n 的取值范围. (3) 当m-3≤x≤5时,函数的最大值与最 小值的差为8,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 (第12题) 专题特训（三）　二次函数 解析式的确定 1. (1) 把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分 别 代 入 y =ax2 +bx +c,得 c=6, 9a+3b+c=3, 16a+4b+c=6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=-4, c=6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 此二次函数的解析式为y=x2- 4x+6. (2) 当y>6时,x的取值范围是x<0 或x>4. 2. (1) 设抛物线的顶点式为y= a(x-1)2-4. ∵ 点A(-1,0)在抛物线上, ∴ 0=a(-1-1)2-4. ∴ a=1. ∴ y=(x-1)2-4. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2-2x-3. (2) 联立 y=x2-2x-3, y=-2x+1, 解得 x=-2, y=5 或 x=2, y=-3. ∴ C(-2,5),D(2,-3). 如图,过点P 作PH∥y 轴,交直线 CD于点H,则点H 的坐标为(1,-1). ∵ S△PCD =S△PCH +S△PDH,PH = -1-(-4)=3, ∴ S△PCD = 1 2PH ·(xD -xC)= 1 2×3× [2-(-2)]=6. (第2题) 3. (1) 设二次函数的解析式为y= a(x+1)(x-5). 把C(0,-5)代入,得-5=a(0+1)× (0-5),解得a=1. ∴ 二次函数的解析式为y=(x+1)· (x-5)=x2-4x-5. ∵ y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ∴ D(2,-9). (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=mx+n. 把B(5,0),C(0,-5)分别代入,得 5m+n=0, n=-5, 解得 m=1 , n=-5. ∴ 直线BC对应的函数解析式为y= x-5. 当x=2时,y=x-5=-3, ∴ E(2,-3). ∴ △CDE 的面积=12× (-3+9)× 2=6. 4. (1) 将(0,-3)和(3,0)分别代 入y = a (x - 1)2 + h,得 a(0-1)2+h=-3, a(3-1)2+h=0, 解得 a=1 , h=-4. (2) 新抛物线对应的函数解析式为 y=(x-1-1)2-4+2=x2-4x+2. 5. ∵ y=2x2-4x+1=2(x- 1)2-1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (1) ∵ 点(1,-1)关于x轴对称的对 应点的坐标为(1,1), ∴ 原抛物线关于x 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x- 1)2+1. (2) ∵ 点(1,-1)关于y轴对称的对 应点的坐标为(-1,-1), ∴ 原抛物线关于y 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=2(x+ 1)2-1. (3) ∵ 点(1,-1)关于原点对称的对 应点的坐标为(-1,1), ∴ 原抛物线关于原点对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x+ 1)2+1. 22.2　二次函数与一元 二次方程 1. C 2. B 3. B 4. x1=0,x2=4 5. m>3 6. (1) 将P(2,4)代入y=x2+mx+ m2-3,得4=4+2m+m2-3,解得 m1=1,m2=-3. ∵ m>0, ∴ m=1. (2) 二次函数y=x2+mx+m2-3 的图象与x轴交点的个数为2. 理由:∵ m=1, ∴ y=x2+x-2. ∵ 在方程x2+x-2=0中,Δ=12+ 8=9>0, ∴ 二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数为2. 7. B 8. 1或-45 [解析] 当m=0时, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 y=-1,函数图象与坐标轴只有一个 交点,不合题意,舍去.当m≠0时,分 情况讨论:① 函数图象过坐标原点, m-1=0,解得m=1.② 函数图象与 x 轴、y轴 各 有 一 个 交 点,∴ 在 mx2+3mx+m -1=0 中,Δ= (3m)2-4m(m-1)=0,解得m=0 (不合题意,舍去)或m=-45. 综上 所述,m 的值为1或-45. 9. (3,0)或(4,0) [解析] 当k=0 时,函数解析式为y=-x-3,它的 “Y 函数”解析式为y=x-3,它们的 图象与x轴都只有一个交点,∴ 它的 “Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为 (3,0).当k≠0时,此函数为二次函 数,∵ 二次函数y= k 4x 2+(k- 1)x+k-3的图象与x 轴只有一个 交点,∴ 二次函数图象的顶点在x轴 上,即 4×k4 (k-3)-(k-1)2 4×k4 =0,解 得k=-1.∴ 二次函数的解析式为 y=- 1 4x 2-2x-4=-14 (x+4)2. ∴ 它 的“Y 函 数”解 析 式 为 y= -14 (x-4)2.令y=0,则- 1 4 (x- 4)2=0,∴ x1=x2=4.∴ 二次函数 的“Y 函数”图象与x轴的交点坐标为 (4,0).综上所述,它的“Y 函数”图象 与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0). 10. (1) 当y=0时,-x2+2x+3=0, ∴ x1=-1,x2=3. ∴ A(-1,0),B(3,0). (2) ∵ 抛物线的对称轴为直线x= -1+3 2 =1 , ∴ P(1,m). 由题意,得-x2+2x+3=-x-1,解 得x3=-1(不合题意,舍去),x4=4. 当x=4时,y=-4-1=-5, ∴ C(4,-5). 由PA=PC,得PA2=PC2. ∴ 易知22+m2=(4-1)2+(m+5)2. ∴ m=-3. (3) a>53 或a=54 或a≤-1. [解析] 由题意,可得M(0,5),N(4, 5).当a>0时,∵ y=-a(x-1)2+ 4a,∴ 抛物线的顶点坐标为(1,4a). 当4a=5时,抛物线与线段MN 只有 一个公共点,∴ a=54. 当x=0时, y>5,∴ 3a>5.∴ a>53.∴ a>53 或a=54. 当a<0时,易知(-16+ 8+3)a≥5,∴ a≤-1.综上所述,a 的取值范围是a>53 或a=54 或 a≤-1. 11. 5 4 或-1 [解析] ① 当直线y= x+b与抛物线y=-x2+6x-5只 有一个交点时,满足题意.令-x2+ 6x-5=x+b,整理,得-x2+5x- 5-b=0.∴ Δ=52-4×(-1)× (-5-b)=0,解得b=54. 令-x2+ 6x-5=0,解得x1=1,x2=5,∴ 原 抛物线与x轴的交点坐标为(1,0), (5,0).② 当直线y=x+b经过点(1, 0)时,满足题意.将(1,0)代入y=x+ b,得0=1+b,解得b=-1.综上所 述,b的值为54 或-1. 12. (1) 在y=-x2+2mx-m2+4 中,令y=0,则-x2+2mx-m2+ 4=0. ∵ a=-1,b=2m,c=4-m2, ∴ Δ=b2-4ac=4m2-4×(-1)× (4-m2)=4m2+16-4m2=16>0. ∴ 该二次函数图象与x 轴一定有 2个交点. (2) ∵ m=2, ∴ y=-x2+4x. 令y=0,则-x2+4x=0,解得x1= 0,x2=4. ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(0,0) 和(4,0). ∵ 点M(n,y1),N(n+2,y2)都在该 二次函数的图象上,且y1y2<0, ∴ ① n<0, n+2>0, 即 -2<n<0; ② n<4, n+2>4, 即2<n<4. 综上所述,n的取值范围是-2<n<0 或2<n<4. (3) ∵ y=-x2+2mx-m2+4= -(x-m)2+4, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=m. ① 若m<m-3+52 ,即m<2,当x= m 时,y最大=4,当x=5时,y最小 = -(5-m)2+4, ∴ 4-[-(5-m)2+4]=8. ∴ m1=5+22,m2=5-22,都不 合题意,舍去. ② 若2≤m≤5,当x=m 时,y最大= 4,当x=m-3时,y最小=-5, ∴ 4-(-5)=9≠8,不合题意,舍去. ③ 若5<m≤8,当x=5时,y最大= -(5-m)2+4,当x=m-3时, y最小=-5, ∴ -(5-m)2+4-(-5)=8. ∴ m3=6,m4=4(不合题意,舍去). 综上所述,m=6. 专题特训（四）　二次函数 图象信息题 1. A 2. D 3. C 4. B 5. ①③ [解析] ∵ 二次函数y= ax2+bx+c 的图 象 与x 轴 交 于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61