22.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

34 第5课时 用待定系数法求二次函数的解析式 ▶ “答案与解析”见P13 1. 一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过 另一点(0,-4),则这个二次函数的解析式为 ( ) A. y=-2(x+2)2+4 B. y=2(x+2)2-4 C. y=-2(x-2)2+4 D. y=2(x-2)2-4 2. 已知抛物线y=ax2+bx 经过点A(-3, -3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛 物线对应的函数解析式为 ( ) A. y= 1 3x 2+2x B. y=- 1 3x 2+2x C. y= 1 3x 2-2x D. y=- 1 3x 2-2x 3. 若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y 与x之间的函数解析式为 ( ) x -1 0 1 ax2 1 ax2+bx+c 8 3 A. y=x2-4x+3 B. y=x2-3x+4 C. y=x2-3x+3 D. y=x2-4x+8 4. 已知二次函数图象的顶点坐标是(-3,2),形 状与抛物线y=2x2+3x 相同,且开口向下, 则该二次函数的解析式为 . 5. 如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C, 与x轴交于A,B 两点,且OB=OC=3OA,则 该抛物线对应的函数解析式为 . (第5题) 6. ★如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,该三角形 的三个顶点均在坐标轴上.抛物线y=ax2+ bx+c过点A(-1,0),B(0,2),C(4,0). (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 若P 为该抛物线第一象限上一点,当 △BCP 的面积最大时,求点P 的坐标. (第6题) 7. 一个二次函数的图象如图所示,则这个二次 函数的解析式为 ( ) (第7题) A. y=x2-2x+3 B. y=x2-2x-3 C. y=x2+2x-3 D. y=x2+2x+3 8. (易错易混题)设抛物线l:y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点为D,与y轴的交点是C,我们 称以C 为顶点,且过点D 的抛物线为抛物线 l的“伴随抛物线”.抛物线y=x2-4x+1的 “伴随抛物线”对应的函数解析式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 35 9. 如图,在▱ABCD 中,AB=4,点D 的坐标为 (0,-4),以C 为顶点的抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)经过x 轴上的点A,B,则抛物 线对应的函数解析式为 . (第9题) 答案讲解 10. 已知抛物线y=ax2+bx+3交 x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M 为抛物线的顶点,C,D 为抛物线上 不与点A,B 重合的不同的两点,记AB 的 中点为E. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 已知点C(4,3),D m,-34 ,且m<2, 求证:C,D,E 三点共线. 11. 已知P(m,n)为抛物线y=ax2-4ax+b (a≠0)上一动点.当1≤m≤4时,n的取值 范围是1≤n≤4,则抛物线对应的函数解析 式为 . 答案讲解 12. 如图,在平面直角坐标系中,抛物 线y=-x2+2x+c经过点A(0, 1),点P,Q 在此抛物线上,其横坐 标分别为m,2m(m>0),连接AP,AQ. (1) 求此抛物线对应的函数解析式. (2) 当点Q 与此抛物线的顶点重合时,求m 的值. (3) 当∠PAQ 的边与x 轴平行时,求点P 与点Q 的纵坐标的差. (4) 设此抛物线在点A 与点P 之间部分 (包括点A 和点P)的最高点与最低点的纵 坐标的差为h1,在点A 与点Q 之间部分(包 括点A 和点Q)的最高点与最低点的纵坐 标的差为h2,当h2-h1=m 时,直接写出m 的值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 10. (1) 把(1,k2)代入y=x2-2(k- 1)x+k2-52k ,得k2=12-2(k- 1)+k2-52k ,解得k=23. (2) 把(2k,y1)代入y=x2-2(k- 1)x+k2- 52k ,得y1=(2k)2- 2(k-1)×2k+k2-52k=k 2+32k. 把(2,y2)代入y=x2-2(k-1)x+ k2-52k ,得y2=22-2(k-1)×2+ k2-52k=k 2-132k+8. ∵ y1>y2, ∴ k2+32k>k 2-132k+8 ,解得 k>1. (3) ∵ y=x2-2(k-1)x+k2- 5 2k= (x-k+1)2+ -12k-1 , ∴ 将抛物线向右平移1个单位长度 得到新抛物线对应的函数解析式为 y=(x-k)2+ -12k-1 . 当k<1时,1≤x≤2对应的抛物线部 分位于对称轴右侧,y 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=1时,y最小 =(1-k)2- 1 2k-1=k 2-52k. ∴ k2-52k=- 3 2 ,解得k1=1,k2= 3 2 ,都不合题意,舍去. 当1≤k≤2时,y最小=- 1 2k-1 , ∴ -12k-1=- 3 2 ,解得k=1. 当k>2时,1≤x≤2对应的抛物线部 分位于对称轴左侧,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=2时,y最小 =(2-k)2- 1 2k-1=k 2-92k+3. ∴ k2-92k+3=- 3 2 ,解得k1=3, k2= 3 2 (不合题意,舍去). 综上所述,k=1或3. 11. (1) 答案不唯一,如C(2,-3). (2) -1<x<5. (3) ∵ y=x2-4x+1=(x-2)2-3, ∴ 将函数y=x2-4x+1(x<0)的图 象向右平移4个单位长度后的抛物线 对应的函数解析式为y=(x-6)2- 3(x<4). 当x=3时,点P 在抛物线y=(x- 6)2-3上, ∴ m=(3-6)2-3,解得m=6. (4) 存在. 当点Q 在抛物线y=(x-6)2-3的 部分上时,设Q(t,t2-12t+33). ∴ 易得S△ODQ= 1 2×2× (t2-12t+ 33)=9,解得t=6+23或t=6-23. ∵ t<4, ∴ t=6-23. ∴ Q(6-23,9). 当点Q 在抛物线y=x2-4x+1的部 分上时,设Q(m,m2-4m+1). ∴ S△ODQ= 1 2×2× (m2-4m+1)= 9,解得m=23+2或m=-23+2. ∵ m≥4, ∴ m=23+2. ∴ Q(23+2,9). 综上所述,点Q 的坐标为(6-23,9) 或(23+2,9). 第5课时 用待定系数法求 二次函数的解析式 1. C 2. A 3. A 4. y=-2(x+ 3)2+2 5. y=x2-2x-3 6. (1) 将A(-1,0),B(0,2),C(4,0) 代 入 y = ax2 + bx + c,得 a-b+c=0, c=2, 16a+4b+c=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=32 , c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=- 1 2x 2+32x+2. (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=kx+2. 将C(4,0)代入,得4k+2=0,解得 k=-12. ∴ 直线 BC 对应的函数解析式为 y=- 1 2x+2. 过点P 作PQ∥y轴,交BC于点Q. 设P t,-12t2+32t+2 ,则Q t, -12t+2 (0<t<4). ∴ PQ=-12t 2+32t+2+ 1 2t- 2=-12t 2+2t. ∴ S△BCP= 1 2×4× - 1 2t 2+2t = -t2+4t=-(t-2)2+4. ∴ 当t=2时,△BCP 的面积最大,此 时点P 的坐标为(2,3). 根据所给点的坐标,设二次 函数解析式的方法 (1) 已知任意三点,设一般式. (2) 已知点中有两点的纵坐标 都为0,设交点式. (3) 已 知 顶 点 的 坐 标,设 顶 点式. (4) 已知点中有两点的纵坐标 相等,此时可利用抛物线的对称性 求得顶点的横坐标,设顶点式. 7. B 8. y=-x2+1 9. y=(x- 4)2-4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 10. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx+3 经过点A(1,0),B(3,0), ∴ a+b+3=0, 9a+3b+3=0, 解得 a=1 , b=-4. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2-4x+3. (2) 设点C,E 所在直线对应的函数 解析式为y=kx+n(k≠0). ∵ E 为AB 的中点, ∴ E(2,0). 又∵ C(4,3), ∴ 2k+n=0, 4k+n=3, 解得 k= 3 2 , n=-3. ∴ 点C,E 所在直线对应的函数解析 式为y= 3 2x-3. ∵ 点D m,-34 在抛物线上, ∴ m2-4m+3=-34 ,解得m=32 或m=52. 又∵ m<2, ∴ m=32. ∴ D 32 ,-34 . ∵ 3 2× 3 2-3=- 3 4 , ∴ 点D 32 ,-34 在点C,E 所在直 线上. ∴ C,D,E 三点共线. 11. y= 3 4x 2-3x+4或y=- 3 4x 2+ 3x+1 [解析] ① 若a<0,当x= --4a2a =2 时,函数有最大值4,当 x=4 时,函 数 有 最 小 值 1,得 4a-8a+b=4, 16a-16a+b=1, 解 得 a=- 3 4 , b=1. 此时抛物线对应的函数解析式为 y=- 3 4x 2+3x+1.② 若a>0,当 x=--4a2a =2 时,函数有最小值1, 当x=4时,函 数 有 最 大 值4,得 4a-8a+b=1, 16a-16a+b=4, 解 得 a= 3 4 , b=4. 此 时抛物线对应的函数解析式为y= 3 4x 2-3x+4.综上所述,抛物线对应 的函数解析式为y= 3 4x 2-3x+4或 y=- 3 4x 2+3x+1. 12. (1) ∵ 抛物线y=-x2+2x+c 经过点A(0,1), ∴ c=1. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-x2+2x+1. (2) ∵ y=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,2). ∵ 点Q 与此抛物线的顶点重合,点Q 的横坐标为2m, ∴ 2m=1,解得m=12. (3) ① 当AQ∥x 轴时,点A,Q 关于 抛物线的对称轴直线x=1对称,则 xQ=2m=2, ∴ Q(2,1),m=1. 当x=1时,y=-12+2×1+1=2, ∴ P(1,2). ∴ 点P 与点Q 的纵坐标的差为2- 1=1. ② 当AP∥x轴时,点A,P 关于抛物 线的对称轴直线x=1对称,则xP= m=2, ∴ P(2,1),xQ=2m=4. 当x=4时,y=-42+2×4+1=-7. ∴ Q(4,-7). ∴ 点P 与点Q 的纵坐标的差为1- (-7)=8. 综上所述,点P 与点Q 的纵坐标的差 为1或8. (4) m=13 或m=54. [解析] ① 如 图①,当点P,Q 都在抛物线的对称轴 直线x=1的左侧时,0<2m<1, ∴ 0<m<12.∵ P(m,-m2+2m+ 1),∴ Q(2m,-4m2 +4m +1). ∴ h1=yP-yA=-m2+2m+1- 1= -m2 +2m,h2 =yQ -yA = -4m2+4m+1-1=-4m2+4m. ∴ h2-h1=-4m2+4m+m2- 2m=m,解得m=13 或m=0(不合题 意,舍去).② 如图②,当点P,Q 在抛 物线的对称轴直线x=1的两侧或其 中一点在对称轴上时,2m≥1,m≤1, 即1 2≤m≤1 ,∴ h1=-m2+2m, h2=2-1=1.∴ h2-h1=1+m2- 2m=m,解得m=3-52 或m=3+52 , 都不合题意,舍去.③ 如图③,当点P 在抛物线的对称轴直线x=1的右侧 且在直线y=1的上方时,1<m<2, ∴ h1=2-1=1,h2=2-(-4m2+ 4m+1)=4m2-4m+1.∴ h2-h1= 4m2-4m+1-1=m,解得m=54 或 m=0(不合题意,舍去).④ 如图④, 当点P 在直线y=1上或下方时, m≥2,∴ h1=2-(-m2+2m+1)= m2-2m+1,h2=2-(-4m2+4m+ 1)=4m2-4m+1.∴ h2-h1= 4m2-4m+1-(m2-2m+1)=m,解 得m=1或m=0,都不合题意,舍去. 综上所述,m=13 或m=54. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 (第12题) 专题特训（三）　二次函数 解析式的确定 1. (1) 把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分 别 代 入 y =ax2 +bx +c,得 c=6, 9a+3b+c=3, 16a+4b+c=6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=-4, c=6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 此二次函数的解析式为y=x2- 4x+6. (2) 当y>6时,x的取值范围是x<0 或x>4. 2. (1) 设抛物线的顶点式为y= a(x-1)2-4. ∵ 点A(-1,0)在抛物线上, ∴ 0=a(-1-1)2-4. ∴ a=1. ∴ y=(x-1)2-4. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2-2x-3. (2) 联立 y=x2-2x-3, y=-2x+1, 解得 x=-2, y=5 或 x=2, y=-3. ∴ C(-2,5),D(2,-3). 如图,过点P 作PH∥y 轴,交直线 CD于点H,则点H 的坐标为(1,-1). ∵ S△PCD =S△PCH +S△PDH,PH = -1-(-4)=3, ∴ S△PCD = 1 2PH ·(xD -xC)= 1 2×3× [2-(-2)]=6. (第2题) 3. (1) 设二次函数的解析式为y= a(x+1)(x-5). 把C(0,-5)代入,得-5=a(0+1)× (0-5),解得a=1. ∴ 二次函数的解析式为y=(x+1)· (x-5)=x2-4x-5. ∵ y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ∴ D(2,-9). (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=mx+n. 把B(5,0),C(0,-5)分别代入,得 5m+n=0, n=-5, 解得 m=1 , n=-5. ∴ 直线BC对应的函数解析式为y= x-5. 当x=2时,y=x-5=-3, ∴ E(2,-3). ∴ △CDE 的面积=12× (-3+9)× 2=6. 4. (1) 将(0,-3)和(3,0)分别代 入y = a (x - 1)2 + h,得 a(0-1)2+h=-3, a(3-1)2+h=0, 解得 a=1 , h=-4. (2) 新抛物线对应的函数解析式为 y=(x-1-1)2-4+2=x2-4x+2. 5. ∵ y=2x2-4x+1=2(x- 1)2-1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (1) ∵ 点(1,-1)关于x轴对称的对 应点的坐标为(1,1), ∴ 原抛物线关于x 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x- 1)2+1. (2) ∵ 点(1,-1)关于y轴对称的对 应点的坐标为(-1,-1), ∴ 原抛物线关于y 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=2(x+ 1)2-1. (3) ∵ 点(1,-1)关于原点对称的对 应点的坐标为(-1,1), ∴ 原抛物线关于原点对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x+ 1)2+1. 22.2　二次函数与一元 二次方程 1. C 2. B 3. B 4. x1=0,x2=4 5. m>3 6. (1) 将P(2,4)代入y=x2+mx+ m2-3,得4=4+2m+m2-3,解得 m1=1,m2=-3. ∵ m>0, ∴ m=1. (2) 二次函数y=x2+mx+m2-3 的图象与x轴交点的个数为2. 理由:∵ m=1, ∴ y=x2+x-2. ∵ 在方程x2+x-2=0中,Δ=12+ 8=9>0, ∴ 二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数为2. 7. B 8. 1或-45 [解析] 当m=0时, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51