22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

32 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P12 1. 将y=(2x-1)(x+2)+1化成y=a(x+ m)2+n的形式为 ( ) A. y=2x+34 2 -2516 B. y=2x-34 2 -178 C. y=2x+34 2 -178 D. y=2x+34 2 +178 2. (2023·大连)已知二次函数y=x2-2x-1, 当0≤x≤3时,函数的最大值为 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 3. (2023·扬州)已知二次函数y=ax2-2x+ 1 2 (a为常数,且a>0),有下列结论:① 函数 图象一定经过第一、第二、第四象限;② 函数 图象一定不经过第三象限;③ 当x<0时,y 随x的增大而减小;④ 当x>0时,y随x的 增大而增大.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④ 4. 若函数y=x2-2x+m 的图象经过A(-1, y1),B(2,y2),C(3,y3)三点,则y1,y2,y3 的大小关系是 . 5. 将函数y=x2-4x-5的图象向左平移3个 单位长度,再向上平移7个单位长度,所得新 图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c,则 b= . 6. 如图,二次函数y=-x2+ax+1的图象经 过点P(2,1). (1) 求a的值和图象的顶点坐标. (2) 点Q(m,n)在该二次函数的图象上. ① 当m=3时,求n的值. ② 若点Q 到y轴的距离小于2,求n的取值 范围. (第6题) 7. 函数y=kx+k和函数y=-kx2+4x+4(k 是常数,且k≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 8. (易错易混题)(2023·邵阳)已知P1(x1, y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3 (a是常数,且a≠0)上的点,现有下列结论: ① 该抛物线的对称轴是直线x=-2;② 点 (0,3)在抛物线上;③ 若x1>x2>-2,则 y1>y2;④ 若y1=y2,则x1+x2=-2.其 中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 33 9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的 对称轴是直线x=t,点P(1,m),Q(3,n)在 这个二次函数的图象上.若n<c<m,则t的 取值范围是 . 答案讲解 10. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=x2-2(k-1)x+k2- 5 2k (k为 常数). (1) 若抛物线经过点(1,k2),求k的值. (2) 若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2), 且y1>y2,求k的取值范围. (3) 若将抛物线向右平移1个单位长度得 到新抛物线,当1≤x≤2时,新抛物线对应 的函数有最小值-32 ,求k的值. 答案讲解 11. (2022·德州)如图①,题目中的涂 色部分是由于被墨水污染了而无 法辨认的文字,该部分导致题目缺 少一个条件而无法解答,经查询发现,该二 次函数的解析式为y=x2-4x+1. (1) 请根据已有信息添加一个适当的条件 (被墨水污染的内容): . (2) 当函数值y<6时,自变量x 的取值范 围是 . (3) 如图②,将函数y=x2-4x+1(x<0) 的图象向右平移4个单位长度,与y=x2- 4x+1(x≥4)的图象组成一个新的函数图 象,记为L.若点P(3,m)在L 上,求 m 的值. (4) 如图③,在(3)的条件下,点D 的坐标为 (2,0),在L 上是否存在点Q,使得S△ODQ= 9? 若存在,求出所有满足条件的点Q 的坐 标;若不存在,请说明理由. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A(0,1),B(1,-2), ,求该二 次函数的解析式. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 设直线AB'对应的函数解析式为y= kx+b(k≠0). 将A1,14 ,B'(4,-3)代入y=kx+ b,得 k+b=14 , 4k+b=-3, 解得 k=-1312 , b=43. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线 AB'对应的函数解析式为 y=- 13 12x+ 4 3. 当y=-1时,- 13 12x+ 4 3=-1 ,解 得x=2813. ∴ 当点 P 的坐标为 2813 ,-1 时, PA+PB 取得最小值. 12. C [解析] ① ∵ 二 次 函 数 y=-(x-n)2+n2+1(n为常数)中 a=-1<0,∴ 该函数图象开口向下. 故①正确.② ∵ 在y=-(x-n)2+ n2+1中,令x=0,则y=-n2+n2+ 1=1,∴ 该函数的图象一定经过点 (0,1).故②正确.③ ∵ 函数图象开口 向下,当x=n时,y有最大值n2+1, ∴ 该函数图象的顶点在函数y= x2 +1 的 图 象 上.故 ③ 正 确. ④ ∵ y=-(x-n)2+n2+1,∴ 函 数图象的对称轴为直线x=n.若n< 0,则当0≤x≤1时,y有最大值1,不 合题意,舍去;若0≤n≤1,则当0≤ x≤1时,y 有最大值n2+1,此时 n2+1=2,解得n=1(负值舍去);若 n>1,则当0≤x≤1时,y 有最大值 2n,此时2n=2,解得n=1(不合题 意,舍去).故④错误.综上所述,正确 的有3个. 13. (1) ① ∵ 二次函数y=a(x- 2)2-1(a>0)的图象经过点(3,1), ∴ 1=a-1,解得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2(x- 2)2-1. ② ∵ y1=y2, ∴ 点 M,N 关于抛物线的对称轴 对称. ∵ 抛物线的对称轴是直线x=2,且 x2-x1=3, ∴ x1= 1 2 ,x2= 7 2. 当x= 12 时,y=2× 12-2 2 - 1=72. 易知抛物线的顶点坐标为(2,-1), ∴ 当y1=y2 时,顶点到点 M,N 所 在直线的距离=72+1= 9 2. (2) ① 点M,N 在图象的对称轴的异 侧,当y1≥y2时,x2=x1+3>2, ∴ x1+x2 2 ≤2 ,x1>-1. ∴ x1≤ 1 2. ∴ -1<x1≤ 1 2. ∵ 函 数 的 最 大 值 为 y1 = a(x1-2)2-1,最小值为-1, ∴ y1-(-1)=1. ∴ a= 1(x1-2)2 . ∵ -1<x1≤ 1 2 , ∴ -3<x1-2≤- 3 2. ∴ 9 4≤ (x1-2)2<9. ∴ 1 9<a≤ 4 9. ② 点M,N 在图象的对称轴的异侧, 当y1≤y2时,x1<2, ∴ x1+x2 2 ≥2. ∵ x2-x1=3, ∴ x1≥ 1 2. ∴ 1 2≤x1<2. ∵ 函数的最大值为y2=a(x2- 2)2-1,最小值为-1, ∴ y2-(-1)=1. ∴ a= 1(x2-2)2 = 1(x1+1)2 . ∵ 1 2≤x1<2 , ∴ 3 2≤x1+1<3. ∴ 9 4≤ (x1+1)2<9. ∴ 1 9<a≤ 4 9. 综上 所 述,a 的 取 值 范 围 是 19 < a≤49. 第4课时 二次函数y=ax2+ bx+c的图象和性质 1. C 2. D 3. B 4. y2<y1=y3 5. 2 6. (1) 把(2,1)代入y=-x2+ax+ 1,得1=-4+2a+1,解得a=2. ∴ y=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2. ∴ 图象的顶点坐标为(1,2). (2) ① 把x=3代入y=-x2+2x+ 1,得y=-9+6+1=-2, ∴ n=-2. ② ∵ m 为点Q 的横坐标,点Q 到 y轴的距离小于2, ∴ |m|<2. ∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,顶 点坐标为(1,2), ∴ y的最大值为2. ∵ 2-1<1-(-2), ∴ 当x=-2时,y 取最小值,即 y=-4-4+1=-7. ∴ -7<n≤2. 7. A 8. B 9. 1 2<t< 3 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 10. (1) 把(1,k2)代入y=x2-2(k- 1)x+k2-52k ,得k2=12-2(k- 1)+k2-52k ,解得k=23. (2) 把(2k,y1)代入y=x2-2(k- 1)x+k2- 52k ,得y1=(2k)2- 2(k-1)×2k+k2-52k=k 2+32k. 把(2,y2)代入y=x2-2(k-1)x+ k2-52k ,得y2=22-2(k-1)×2+ k2-52k=k 2-132k+8. ∵ y1>y2, ∴ k2+32k>k 2-132k+8 ,解得 k>1. (3) ∵ y=x2-2(k-1)x+k2- 5 2k= (x-k+1)2+ -12k-1 , ∴ 将抛物线向右平移1个单位长度 得到新抛物线对应的函数解析式为 y=(x-k)2+ -12k-1 . 当k<1时,1≤x≤2对应的抛物线部 分位于对称轴右侧,y 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=1时,y最小 =(1-k)2- 1 2k-1=k 2-52k. ∴ k2-52k=- 3 2 ,解得k1=1,k2= 3 2 ,都不合题意,舍去. 当1≤k≤2时,y最小=- 1 2k-1 , ∴ -12k-1=- 3 2 ,解得k=1. 当k>2时,1≤x≤2对应的抛物线部 分位于对称轴左侧,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=2时,y最小 =(2-k)2- 1 2k-1=k 2-92k+3. ∴ k2-92k+3=- 3 2 ,解得k1=3, k2= 3 2 (不合题意,舍去). 综上所述,k=1或3. 11. (1) 答案不唯一,如C(2,-3). (2) -1<x<5. (3) ∵ y=x2-4x+1=(x-2)2-3, ∴ 将函数y=x2-4x+1(x<0)的图 象向右平移4个单位长度后的抛物线 对应的函数解析式为y=(x-6)2- 3(x<4). 当x=3时,点P 在抛物线y=(x- 6)2-3上, ∴ m=(3-6)2-3,解得m=6. (4) 存在. 当点Q 在抛物线y=(x-6)2-3的 部分上时,设Q(t,t2-12t+33). ∴ 易得S△ODQ= 1 2×2× (t2-12t+ 33)=9,解得t=6+23或t=6-23. ∵ t<4, ∴ t=6-23. ∴ Q(6-23,9). 当点Q 在抛物线y=x2-4x+1的部 分上时,设Q(m,m2-4m+1). ∴ S△ODQ= 1 2×2× (m2-4m+1)= 9,解得m=23+2或m=-23+2. ∵ m≥4, ∴ m=23+2. ∴ Q(23+2,9). 综上所述,点Q 的坐标为(6-23,9) 或(23+2,9). 第5课时 用待定系数法求 二次函数的解析式 1. C 2. A 3. A 4. y=-2(x+ 3)2+2 5. y=x2-2x-3 6. (1) 将A(-1,0),B(0,2),C(4,0) 代 入 y = ax2 + bx + c,得 a-b+c=0, c=2, 16a+4b+c=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=32 , c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=- 1 2x 2+32x+2. (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=kx+2. 将C(4,0)代入,得4k+2=0,解得 k=-12. ∴ 直线 BC 对应的函数解析式为 y=- 1 2x+2. 过点P 作PQ∥y轴,交BC于点Q. 设P t,-12t2+32t+2 ,则Q t, -12t+2 (0<t<4). ∴ PQ=-12t 2+32t+2+ 1 2t- 2=-12t 2+2t. ∴ S△BCP= 1 2×4× - 1 2t 2+2t = -t2+4t=-(t-2)2+4. ∴ 当t=2时,△BCP 的面积最大,此 时点P 的坐标为(2,3). 根据所给点的坐标,设二次 函数解析式的方法 (1) 已知任意三点,设一般式. (2) 已知点中有两点的纵坐标 都为0,设交点式. (3) 已 知 顶 点 的 坐 标,设 顶 点式. (4) 已知点中有两点的纵坐标 相等,此时可利用抛物线的对称性 求得顶点的横坐标,设顶点式. 7. B 8. y=-x2+1 9. y=(x- 4)2-4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31