22.1.3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

∴ 直线AB 对应的函数解析式为y= 1 2x+2. (2) 在y= 1 2x+2 中,令x=0,则 y=2, ∴ 点C的坐标为(0,2). ∴ OC=2. ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×2× 2+12×2×4=6. (3) 4. [解析] 过OC的中点作直线 AB 的平行线P1P2 交抛物线于点 P1,P2,连接P1A,P1B,P2A,P2B, 此时△P1AB 的面积和△P2AB 的面 积都等于△AOB 的面积的一半.作直 线P1P2 关于直线AB 的对称直线, 交抛物线于点P3,P4,连接P3A,P3B, P4A,P4B,此时△P3AB 的面积和 △P4AB 的面积都等于△AOB 的面 积的一半.∴ 这样的点P 共有4个. 11. 1 6 [解析] 设点A,B 的横坐标 为a,则点A 的纵坐标为a2,点B 的 纵坐标为a 2 4.∵ BE∥x轴,∴ 点F 的 纵坐标为a 2 4.∵ F 是抛物线y=x2 上的点,∴ 点 F 的横坐标为x= y= 1 2a.∵ CD∥x 轴,∴ 点D 的 纵坐标为a2.∵ D 是抛物线y= x2 4 上 的点,∴ 点 D 的 横 坐 标 为 x= 4y=2a.∴ AD=a,BF=12a , CE=34a 2,OE=14a 2.∴ S△OFB S△EAD = 1 2BF ·OE 1 2AD ·CE = 1 2a× 1 4a 2 a×34a 2 =16. 12. (1) 令y=a(x+2)=0,得x=-2, ∴ 点A 的坐标为(-2,0). (2) 联立 y=a(x+2), y=ax2, ∴ x2-x-2=0. ∴ x=-1或x=2. ∴ B(-1,a),C(2,4a). ∵ 点B 关于x轴的对称点为B', ∴ B'(-1,-a). ∴ AB'2=(-2+1)2+(0+a)2= a2+1,AC2=(2+2)2+(4a-0)2= 16a2+16,B'C2=(2+1)2+(4a+ a)2=25a2+9. 若∠CAB'=90°,则 AB'2+AC2= B'C2,即 a2 +1+16a2 +16= 25a2+9, ∴ a=1. 若∠AB'C=90°,则AB'2+B'C2= AC2,即a2+1+25a2+9=16a2+16, ∴ a= 155 . 若∠ACB'=90°,则 AC2+B'C2= AB'2,即16a2+16+25a2+9=a2+ 1,此方程无解. 综上所述,a=1或a= 155 . 第3课时 二次函数y=a(x- h)2+k的图象和性质 1. D 2. C 3. C 4. 9 5. m≥-1 6. (1) ∵ y=a(x-4)2+8, ∴ 顶点C的坐标为(4,8). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD∥AB,CD=AB=4. ∴ 易得A(2,0),B(6,0). ∴ a(2-4)2+8=0,解得a=-2. (2) ∵ y=-2(x-4)2+8, ∴ 设平移后抛物线对应的函数解析 式为y=-2(x-4)2+8+k. 易知D(0,8),把(0,8)代入,得8= -32+8+k,解得k=32. ∴ 平移后抛物线对应的函数解析式 为y=-2(x-4)2+40,即 y= -2x2+16x+8. 7. C 8. B 9. C [解析] ∵ y=a(x-1)2-2, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=1. ① a>0,当x=1时,函数有最小值, 是-2;当x=-1时,函数有最大值, 是4a-2.∵ 函数的最大值与最小值 的差为3,∴ 4a-2-(-2)=3,解得 a=34.② a<0,当x=1时,函数有 最大值,是-2;当x=-1时,函数有 最小值,是4a-2.∵ 函数的最大值 与最小值的差为3,∴ -2-(4a- 2)=3,解得a=-34. 综上所述,a的 值为3 4 或-34. 10. 23 11. (1) ∵ 抛物线的顶点坐标为(2,0), ∴ 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-2)2. ∵ 该抛物线经过点(4,1), ∴ 1=a(4-2)2,解得a=14. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 1 4 (x-2)2=14x 2-x+1. (2) 存在. 联立 y= 1 4x , y= 1 4x 2-x+1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=1, y1= 1 4 , x2=4, y2=1. ∴ 点A 的坐标为 1,14 ,点B 的坐 标为(4,1). 作点B 关于直线l的对称点B',连接 AB'交直线l于点P,此时PA+PB 取得最小值. 易知点B'的坐标为(4,-3). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 设直线AB'对应的函数解析式为y= kx+b(k≠0). 将A1,14 ,B'(4,-3)代入y=kx+ b,得 k+b=14 , 4k+b=-3, 解得 k=-1312 , b=43. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线 AB'对应的函数解析式为 y=- 13 12x+ 4 3. 当y=-1时,- 13 12x+ 4 3=-1 ,解 得x=2813. ∴ 当点 P 的坐标为 2813 ,-1 时, PA+PB 取得最小值. 12. C [解析] ① ∵ 二 次 函 数 y=-(x-n)2+n2+1(n为常数)中 a=-1<0,∴ 该函数图象开口向下. 故①正确.② ∵ 在y=-(x-n)2+ n2+1中,令x=0,则y=-n2+n2+ 1=1,∴ 该函数的图象一定经过点 (0,1).故②正确.③ ∵ 函数图象开口 向下,当x=n时,y有最大值n2+1, ∴ 该函数图象的顶点在函数y= x2 +1 的 图 象 上.故 ③ 正 确. ④ ∵ y=-(x-n)2+n2+1,∴ 函 数图象的对称轴为直线x=n.若n< 0,则当0≤x≤1时,y有最大值1,不 合题意,舍去;若0≤n≤1,则当0≤ x≤1时,y 有最大值n2+1,此时 n2+1=2,解得n=1(负值舍去);若 n>1,则当0≤x≤1时,y 有最大值 2n,此时2n=2,解得n=1(不合题 意,舍去).故④错误.综上所述,正确 的有3个. 13. (1) ① ∵ 二次函数y=a(x- 2)2-1(a>0)的图象经过点(3,1), ∴ 1=a-1,解得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2(x- 2)2-1. ② ∵ y1=y2, ∴ 点 M,N 关于抛物线的对称轴 对称. ∵ 抛物线的对称轴是直线x=2,且 x2-x1=3, ∴ x1= 1 2 ,x2= 7 2. 当x= 12 时,y=2× 12-2 2 - 1=72. 易知抛物线的顶点坐标为(2,-1), ∴ 当y1=y2 时,顶点到点 M,N 所 在直线的距离=72+1= 9 2. (2) ① 点M,N 在图象的对称轴的异 侧,当y1≥y2时,x2=x1+3>2, ∴ x1+x2 2 ≤2 ,x1>-1. ∴ x1≤ 1 2. ∴ -1<x1≤ 1 2. ∵ 函 数 的 最 大 值 为 y1 = a(x1-2)2-1,最小值为-1, ∴ y1-(-1)=1. ∴ a= 1(x1-2)2 . ∵ -1<x1≤ 1 2 , ∴ -3<x1-2≤- 3 2. ∴ 9 4≤ (x1-2)2<9. ∴ 1 9<a≤ 4 9. ② 点M,N 在图象的对称轴的异侧, 当y1≤y2时,x1<2, ∴ x1+x2 2 ≥2. ∵ x2-x1=3, ∴ x1≥ 1 2. ∴ 1 2≤x1<2. ∵ 函数的最大值为y2=a(x2- 2)2-1,最小值为-1, ∴ y2-(-1)=1. ∴ a= 1(x2-2)2 = 1(x1+1)2 . ∵ 1 2≤x1<2 , ∴ 3 2≤x1+1<3. ∴ 9 4≤ (x1+1)2<9. ∴ 1 9<a≤ 4 9. 综上 所 述,a 的 取 值 范 围 是 19 < a≤49. 第4课时 二次函数y=ax2+ bx+c的图象和性质 1. C 2. D 3. B 4. y2<y1=y3 5. 2 6. (1) 把(2,1)代入y=-x2+ax+ 1,得1=-4+2a+1,解得a=2. ∴ y=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2. ∴ 图象的顶点坐标为(1,2). (2) ① 把x=3代入y=-x2+2x+ 1,得y=-9+6+1=-2, ∴ n=-2. ② ∵ m 为点Q 的横坐标,点Q 到 y轴的距离小于2, ∴ |m|<2. ∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,顶 点坐标为(1,2), ∴ y的最大值为2. ∵ 2-1<1-(-2), ∴ 当x=-2时,y 取最小值,即 y=-4-4+1=-7. ∴ -7<n≤2. 7. A 8. B 9. 1 2<t< 3 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 30 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P11 1. 对于抛物线y=-3(x-m)2,下列说法中不 正确的是 ( ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=m C. 函数的最大值为0 D. 与x轴不相交 2. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y= ax+k与二次函数y=kx2+a的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 3. 已知二次函数y=(x-3)2-1,则当1≤x≤ 4时,该函数 ( ) A. 只有最大值3,无最小值 B. 有最大值3,有最小值0 C. 有最小值-1,有最大值3 D. 只有最小值-1,无最大值 4. 已知二次函数y=ax2+9,当x 分别取x1, x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x=x1+ x2时,函数值为 . 5. 已知抛物线y=-2(x+m)2-3,当x≥1 时,y随x 的增大而减小,则m 的取值范围 是 . 6. 如图,抛物线y=a(x-4)2+8与x 轴交于 点A,B,C 是抛物线的顶点,▱ABCD 的顶 点D 在y轴上. (1) 求a的值. (2) 若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经 过点D,求平移后抛物线对应的函数解析式. (第6题) 7. (易错易混题)已知A(-2,y1),B(1,y2), C(2,y3)是抛物线y=-2(x+1)2+k上的 三个点,则y1,y2,y3的大小关系为 ( ) A. y1>y3>y2 B. y3>y1>y2 C. y1>y2>y3 D. y3>y2>y1 8. (2023·广东)如图,抛物线y=ax2+c经过 正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点B 在 y轴上,则ac的值为 ( ) (第8题) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 答案讲解 9. 已知抛物线y=a(x-1)2-2(a≠0), 当-1≤x≤2时,函数的最大值与 最小值的差为3,则a的值为( ) A. 1 B. 3 4 C. 3 4 或-34 D. 5 4 或-34 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 31 10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= ax2+6与y轴交于点A,过点A 与x轴平 行的直线交抛物线y=2x2于B,C 两点,则 BC 的长为 . (第10题) 答案讲解 11. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1). 如图,直线y= 1 4x 与抛物线交于 A,B 两点,直线l 对应的函数解析式为 y=-1. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 直线l上是否存在一点P,使PA+PB 取得最小值? 若存在,求出点P 的坐标;若 不存在,请说明理由. (第11题) 12. 有下列关于二次函数y=-(x-n)2+n2+ 1(n为常数)的结论:① 该函数图象开口向 下;② 该函数的图象一定经过坐标轴上某 个定点;③ 该函数图象的顶点在函数y= x2+1的图象上;④ 当0≤x≤1时,若该函 数有最大值2,则n=±1.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案讲解 13. (2022·丽水)如图,点M(x1,y1), N(x2,y2)在二次函数y=a(x- 2)2-1(a>0)的图象上,且x2- x1=3. (1) 若二次函数的图象经过点(3,1). ① 求这个二次函数的解析式. ② 若y1=y2,求顶点到点M,N 所在直线 的距离. (2) 当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与 最小值的差为1,点M,N 在图象的对称轴 的异侧,求a的取值范围. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数