22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

x= -3x2 +24x.由 题 意,可 得 x>1, 21-3x+3>2, 21-3x+3≤10, x<21-3x+3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得14 3 ≤x<6. ∴ S 与x 之 间 的 函 数 解 析 式 为 S=-3x2+24x,自变量x 的取值范 围是14 3≤x<6. 10. 作△ABC的高AD. ∴ ∠ADB=90°. ∵ ∠B=30°, ∴ AD=12AB= 1 2x. ∴ S=12BC ·AD=12 (12-x)· 1 2x=- 1 4x 2+3x. ∴ S 关于x 的函数解析式为S= -14x 2+3x(0<x<12). 11. 如图,∵ 四边形ABCD 是边长为 2的正方形, ∴ ∠A=∠B=90°,AB=2. ∴ ∠1+∠2=90°. ∵ 四边形EFGH 为正方形, ∴ ∠HEF=90°,EH=FE. ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. 在△AHE 和△BEF 中, ∠A=∠B, ∠2=∠3, EH=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHE≌△BEF. ∴ AE=BF=x,AH=BE=2-x. 在Rt△AHE 中,由 勾 股 定 理,得 EH2=AE2+AH2=x2+(2-x)2= 2x2-4x+4. ∴ y=2x2-4x+4(0<x<2). (第11题) 12. (1) ∵ △ABC 是等腰直角三 角形, ∴ 易得重叠部分也是等腰直角三角 形,即△AMH 是等腰直角三角形. 由题意,得AN=2tcm. ∴ AM=MN-AN=(20-2t)cm. ∴ MH=AM=(20-2t)cm. ∴ y= 1 2AM ·MH = 12 (20- 2t)2=2t2-40t+200,自变量t的取 值范围是0≤t≤10. (2) ∵ 当t=1时,y=2×12-40× 1+200=162, ∴ 重叠部分的面积为162cm2. (3) 当y=72时, 1 2 (20-2t)2=72, 解得t=4或t=16(不合题意,舍去), ∴ t=4. 13. (1) S=-t2+10t+100. (2) 由勾股定理,可得EF2=BE2+ BF2=t2+(2t)2=5t2(cm2),DF2= CD2+CF2=102+(20-2t)2= (4t2-80t+500)cm2,DE2=AE2+ AD2=(10-t)2+202=(t2-20t+ 500)cm2. ① 当 DE=DF 时,DE2=DF2,即 t2-20t+500=4t2-80t+500,解得 t1=0,t2=20,都不合题意,舍去. ② 当 DE=EF 时,DE2=EF2,即 t2-20t+500=5t2,解 得 t3 = -5-5 21 2 (不合题意,舍去),t4= -5+5 21 2 . ③ 当EF=DF 时,EF2=DF2,即 5t2=4t2 -80t+500,解 得t5 = 10 21-40,t6=-10 21-40(不合 题意,舍去). 综上所述,当△DEF 为等腰三角形 时,t=-5+5 212 或10 21-40. 第2课时 二次函数y=ax2 的 图象和性质 1. D 2. D 3. D 4. -2 5. (1) -3;y轴. (2) (-1,-1). (3) 图象如图所示. -4≤y≤0. (第5题) 6. C 7. A 8. ①②④ 9. 设直线l对应的函数解析式为y= kx+b. 把 A (3,0),B (0,3)代 入,得 3k+b=0, b=3, 解得 k=-1 , b=3. ∴ 直线l对应的函数解析式为y= -x+3. 设P(t,-t+3)(0<t<3). ∵ △AOP 的面积为3, ∴ 1 2×3 (-t+3)=3,解得t=1. ∴ 点P 的坐标为(1,2). 把P(1,2)代入y=ax2,得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2x2. 10. (1) ∵ 点A,B 在函数y= 1 4x 2 的图象上,点A,B 的横坐标分别为 -2,4, ∴ 易得A(-2,1),B(4,4). 设直线AB 对应的函数解析式为y= kx+b. ∴ -2k+b=1, 4k+b=4, 解得 k= 1 2 , b=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ∴ 直线AB 对应的函数解析式为y= 1 2x+2. (2) 在y= 1 2x+2 中,令x=0,则 y=2, ∴ 点C的坐标为(0,2). ∴ OC=2. ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×2× 2+12×2×4=6. (3) 4. [解析] 过OC的中点作直线 AB 的平行线P1P2 交抛物线于点 P1,P2,连接P1A,P1B,P2A,P2B, 此时△P1AB 的面积和△P2AB 的面 积都等于△AOB 的面积的一半.作直 线P1P2 关于直线AB 的对称直线, 交抛物线于点P3,P4,连接P3A,P3B, P4A,P4B,此时△P3AB 的面积和 △P4AB 的面积都等于△AOB 的面 积的一半.∴ 这样的点P 共有4个. 11. 1 6 [解析] 设点A,B 的横坐标 为a,则点A 的纵坐标为a2,点B 的 纵坐标为a 2 4.∵ BE∥x轴,∴ 点F 的 纵坐标为a 2 4.∵ F 是抛物线y=x2 上的点,∴ 点 F 的横坐标为x= y= 1 2a.∵ CD∥x 轴,∴ 点D 的 纵坐标为a2.∵ D 是抛物线y= x2 4 上 的点,∴ 点 D 的 横 坐 标 为 x= 4y=2a.∴ AD=a,BF=12a , CE=34a 2,OE=14a 2.∴ S△OFB S△EAD = 1 2BF ·OE 1 2AD ·CE = 1 2a× 1 4a 2 a×34a 2 =16. 12. (1) 令y=a(x+2)=0,得x=-2, ∴ 点A 的坐标为(-2,0). (2) 联立 y=a(x+2), y=ax2, ∴ x2-x-2=0. ∴ x=-1或x=2. ∴ B(-1,a),C(2,4a). ∵ 点B 关于x轴的对称点为B', ∴ B'(-1,-a). ∴ AB'2=(-2+1)2+(0+a)2= a2+1,AC2=(2+2)2+(4a-0)2= 16a2+16,B'C2=(2+1)2+(4a+ a)2=25a2+9. 若∠CAB'=90°,则 AB'2+AC2= B'C2,即 a2 +1+16a2 +16= 25a2+9, ∴ a=1. 若∠AB'C=90°,则AB'2+B'C2= AC2,即a2+1+25a2+9=16a2+16, ∴ a= 155 . 若∠ACB'=90°,则 AC2+B'C2= AB'2,即16a2+16+25a2+9=a2+ 1,此方程无解. 综上所述,a=1或a= 155 . 第3课时 二次函数y=a(x- h)2+k的图象和性质 1. D 2. C 3. C 4. 9 5. m≥-1 6. (1) ∵ y=a(x-4)2+8, ∴ 顶点C的坐标为(4,8). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD∥AB,CD=AB=4. ∴ 易得A(2,0),B(6,0). ∴ a(2-4)2+8=0,解得a=-2. (2) ∵ y=-2(x-4)2+8, ∴ 设平移后抛物线对应的函数解析 式为y=-2(x-4)2+8+k. 易知D(0,8),把(0,8)代入,得8= -32+8+k,解得k=32. ∴ 平移后抛物线对应的函数解析式 为y=-2(x-4)2+40,即 y= -2x2+16x+8. 7. C 8. B 9. C [解析] ∵ y=a(x-1)2-2, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=1. ① a>0,当x=1时,函数有最小值, 是-2;当x=-1时,函数有最大值, 是4a-2.∵ 函数的最大值与最小值 的差为3,∴ 4a-2-(-2)=3,解得 a=34.② a<0,当x=1时,函数有 最大值,是-2;当x=-1时,函数有 最小值,是4a-2.∵ 函数的最大值 与最小值的差为3,∴ -2-(4a- 2)=3,解得a=-34. 综上所述,a的 值为3 4 或-34. 10. 23 11. (1) ∵ 抛物线的顶点坐标为(2,0), ∴ 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-2)2. ∵ 该抛物线经过点(4,1), ∴ 1=a(4-2)2,解得a=14. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 1 4 (x-2)2=14x 2-x+1. (2) 存在. 联立 y= 1 4x , y= 1 4x 2-x+1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=1, y1= 1 4 , x2=4, y2=1. ∴ 点A 的坐标为 1,14 ,点B 的坐 标为(4,1). 作点B 关于直线l的对称点B',连接 AB'交直线l于点P,此时PA+PB 取得最小值. 易知点B'的坐标为(4,-3). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 28 第2课时 二次函数y=ax2 的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P10 1. 若二次函数y=-ax2的图象经过点(-3, 2),则该图象必经过点 ( ) A. (3,-2) B. (2,3) C. (2,-3) D. (3,2) 2. 下列抛物线中,开口最大的是 ( ) A. y=3x2 B. y=-2x2 C. y=-x2 D. y=- 1 2x 2 3. 当ab<0时,y=ax+b与y=ax2的图象大 致是 ( ) A. B. C. D. 4. 已知二次函数y=(m-1)xm 2-2的图象开口 向下,则m 的值是 . 5. 已知y=(k+2)xk 2+k-4 是二次函数,且当 x<0时,y随x的增大而增大. (1) k的值为 ,对称轴为 . (2) 若点A 的坐标为(1,m),则该函数图象上 点A关于对称轴对称的点的坐标为 . (3) 请在如图所示的平面直角坐标系中画出 该函数图象.根据图象可知,当-2≤x<1 时,y的取值范围是 . (第5题) 6. 已知抛物线y=ax2(a>0)过A(2,y1), B(-1,y2)两点,则下列结论中,一定正确 的是 ( ) A. y1>0>y2 B. y2>0>y1 C. y1>y2>0 D. y2>y1>0 答案讲解 7. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为 (1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线 y=ax2与该正方形有公共点,则实数 a的取值范围是 ( ) (第7题) A. 1 9≤a≤3 B. 1 9≤a≤1 C. 1 3≤a≤3 D. 1 3≤a≤1 8. (易错易混题)已知抛物线y=-x2,给出下 列说法:① 抛物线开口向下,顶点是原点; ② 当x>10时,y 随x 的增大而减小;③ 当 -1<x<2时,-4<y<-1;④ 若(m,p), (n,p)是该抛物线上两个不同的点,则m+ n=0.其中,正确的有 (填序号). 9. 如图,直线l过A(3,0)和B(0,3)两点,它与 二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于 点P.若△AOP 的面积为3,求该二次函数的 解析式. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 29 10. 如图,点A,B 在函数y= 1 4x 2的图象上.已 知点A,B 的横坐标分别为-2,4,直线AB 与y轴交于点C,连接OA,OB. (1) 求直线AB 对应的函数解析式. (2) 求△AOB 的面积. (3) 若函数y= 1 4x 2的图象上存在点P,使 △PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半, 则这样的点P 共有 个. (第10题) 答案讲解 11. 如图,垂直于x 轴的直线AB 分别 与抛物线C1:y=x2(x≥0)和抛物 线C2:y= x2 4 (x≥0)交于A,B 两 点,过点A 作CD∥x轴,分别与y轴和抛物 线C2交于点C,D,过点B 作EF∥x轴,分 别与y 轴和抛物线C1 交于点E,F,则 S△OFB S△EAD 的值为 . (第11题) 答案讲解 12. (2023·益阳)在平面直角坐标系 中,直线l:y=a(x+2)(a>0)与 x 轴交于点A,与抛物线y=ax2 交于B,C 两点(点B 在点C 的左边). (1) 求点A 的坐标. (2) 如图,若点B 关于x轴的对称点为B', 当以A,B',C 为顶点的三角形是直角三角 形时,求实数a的值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数